Радиус и интервал сходимости степенного ряда

Функциональный ряд вида:

называется рядом по степеням (x - a), где с₁,с₂, …,с_n…. - коэффициенты ряда и a – некоторое число.

Если a = 0, то имеем ряд по степеням х:

Доказано, что для степенных рядов область сходимости может меняться от одной точки до всей числовой оси, возможны 3 случая:

1) ряд сходится в одной точке x=a;

2) ряд сходится в некотором интервале (a - R; a + R), симметричном относительно точки x = a и называемом интервалом сходимости;

3) ряд сходится на всей числовой оси (-¥; +¥)

Число R, называемое радиусом сходимости степенного ряда, можно определить по следующей формуле

В граничных точках х = a ± R вопрос о сходимости ряда должен рассматриваться для каждой граничной точки в отдельности.

Область сходимости степенного ряда – это его интервал сходимости и, возможно, одна или обе его граничные точки x = a - R и x = a + R .

Решение типовых примеров.

1. Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд.

Общий член ряда:

Найдем а_n+1 , заменив в формуле общего члена ряда n на (n+1)

Вычислим предел:

По признаку Даламбера делаем вывод.

· Предел существует и равен ряд сходится.

 

2. Исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд.

Рассмотрим абсолютные величины членов данного ряда.

Следовательно, члены данного ряда монотонно убывают по абсолютной величине.

Найдем

 

· По признаку Лейбница ряд сходится, причем

Если

то погрешность вычисления .

 

3. Найти радиус сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала сходимости.

Имеем

 

 

 

 

Вычислим радиус сходимости ряда:

 

Интервал сходимости данного ряда: (-7; 7)

 

 

Исследуем сходимость ряда на концах интервала в точках х = -7 и х = 7.

 

При х = -7 ряд примет вид:

 

Исследуем на сходимость полученный знакочередующийся ряд по признаку Лейбница:

1. Каждый предыдущий член ряда больше последующего:

2.Предел общего члена ряда равен нулю:

 

Оба условия признака Лейбница выполняются и ряд сходится, т.е. точка

х = -7 принадлежит области сходимости данного степенного ряда..

При х = 7 ряд принимает вид:

.

Исследуем на сходимость знакоположительный ряд

Данный ряд расходится как гармонический ряд,.

Поэтому точка х = 7 не принадлежит области сходимости числового ряда.

 

Следовательно, область сходимости данного степенного ряда хÎ[-7; 7)

 

Тема 8. Функции многих переменных

 

Решение типовых примеров

1. Найти частные производные функции z = 3x + x²y³.

Написать уравнение линий уровня f(х; у) = с при с = 0 и с = 1.

Найти grad z в точке М₀(-1; 1).

 

· Найдем частные производные первого порядка:

Учитывая формулы и обычные правила дифференцирования функции одной переменной, находим частные производные первого порядка. При этом следует помнить, что при вычислении частной производной по х, мы считаем у постоянной. Аналогично, при нахождении частной производной по у считаем х постоянной.

 

 

· Найдем частные производные второго порядка:

 

· Запишем уравнения линий уровня.

 

Как известно, линии уровня образуют на плоскости семейство параллельных кривых, на каждой из которых функция принимает постоянное значение f(x,y) = c.

При с = 0 имеем линию уровня: 3x + x²y³ = 0.

При с = 1 уравнение линии уровня: 3x + x²y³ = 1

При переходе от одной линии уровня к другой значение функции изменяется. Направление наибольшего возрастания указывает вектор

 

 

· Найдем градиент z в точке М₀(-1; 1).

Имеем

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи Семестрового задания №2 (Контрольной работы №2)

 

1. Задачи №1-30

 

Вычислить пределы

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

2. Задачи №31-60

Найти производные заданных функций

31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60

3. Задачи №61-90

Исследовать функцию и построить ее график

61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90

4. Задачи №91-120

Найти неопределенные интегралы

91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120

5. Задачи №121-150

а). Вычислить определенный интеграл

b). Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

в). Вычислить несобственный интеграл 2 рода

г). Вычислить несобственный интеграл 1 рода

121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150

6. Задачи №151-180

Найти:

а) общее решение (общий интеграл) однородного дифференциального уравнения,

б) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

в) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

7. Задачи №181-210

Исследовать на сходимость:

а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд;

б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд, вычислить приближенно S » S₄ и S » S₈ и оценить погрешность вычислений;

в) найти радиус cходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах полученного интервала.

181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210

8. Задачи №211-240

1. Найти частные производные второго порядка функции z = f(х;у).

2. Написать уравнение линии уровня f(х; у) = С при С = 0 и С = 1.

3. Найти grad z в точке М₀.

211
212
213	123456
	Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...