Элементарные операции с дискретными изображениями

При моделировании сложных многомерных процессов в АСНИ приходится осуществлять операции с целым массивом данных, представляемых в матричном виде, т.е. с изображениями.

Сложение (алгебраическое) двух изображений, представленных в цифровой форме, определено только в случае, когда оба они имеют одинаковые размеры.

Элементы суммы изображений в матричном виде определяются в виде

С(i,j)=A(i,j) B(i,j). (2.31)

Суммирование изображений различных размеров возможно только в пределах совпадающих фрагментов с конкретной привязкой координат суммируемых пикселов, поэтому суммирование изображений и возможно только в пределах матицы с соответствующей переиндексацией и приведением их к единой системе отсчета, как это показано на рис.2.15.

Операция суммирования используется при наложении двух изображений или при моделировании действия шумов.

Умножение двух изображений определено

только тогда, когда число столбцов одного изображения , равно числу строк второго изображения .

Рис.2.15

Результирующее изображение определяется в виде

.

Элементы получаемого изображения определяются соотношением

.(2.32)

Умножение изображений на постоянный коэффициент приводит к новому изображению

,

элементы которого определятся в виде

С(i,j)=kA(i,j). (2.33)

Прямым матричным произведением называется матрица, получаемая как произведение каждого элемента одной матрицы на другую матрицу.

Различают левое и правое произведения, которые не совпадают между собой.

Левое прямое произведение матричного изображения размером PxQ на матричное изображение размером МхN представляет собой составное матричное изображение размером PMxQN вида

,(2.34)

где каждый из составных элементов имеет размер матрицы , т.е. (PxQ), а означает знак прямого матричного произведения.

Прямое матричное произведение изображений обладает следующими свойствами при операциях :

– умножение

, (2.35)

– сложение

, (2.36)

– транспонирование

, (2.37)

– обращение

.(2.38)

Операции с цифровыми изображениями требуют учета особенностей операций с матрицами.

Обращение и транспонирование изображений

Изображение, представляемое квадратной матрицей, т.е. изображение, у которого число строк равно числу столбцов: M=N, может быть подвергнуто преобразованию обращения, обозначаемому как,по отношению к исходному изображению могут быть определены соотношениями вида

, , (2.39)

где I - единичная матрица.

Если матрица существует, то исходная матрица изображения называется неособенной (невырожденной). В противном случае она называется особенной (вырожденной).

Если у некоторой матрицы есть обратная, то эта обратная матрица единственна.

Матрица изображения, обратная относительно обратной, совпадает с исходной матрицей, т.е.

[ ] = . (2.40)

Для произведения неособенных матриц справедливо соотношение

(2.41)

и для умножения на коэффициент k

. (2.42)

При блочной структуре матрицы изображения и условии, что составляющие ее подматрицы F₁₁ и F₂₁ не являются особенными, обратную матрицу определяют по формуле

. (2.43)

Транспонирование изображений заключается в таком преобразовании матриц, когда строки транспонированного изображения совпадают со столбцами исходного , а строки - со столбцами . Размерность изображения (MxN) изменяется на (NxM).

Для любого изображения существует правило

[ ] = . (2.44)

Если = , то изображение (и, следовательно, матрица) является симметричным.

Транспонирование произведения любых изображений может быть определено как

. (2.45)

Обращение изображений, представляемых неособенной матрицей , также будет выражаться неособенной матрицей и запишется в виде

. (2.46)