Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теоремы о возмущении операторов Нетера
Теорема 1.10. Пусть - оператор Нетера, а - вполне непрерывный оператор, тогда , также оператор Нетера, причем Доказательство. Воспользуемся необходимостью условий первой теоремы Аткинсона и найдем такой линейный оператор , что , , тогда будут иметь место соотношения Так как и как композиции ограниченного и вполне непрерывного операторов являются вполне непрерывными, то и будут операторами Фредгольма. Следовательно, по второй теореме Аткинсона - оператор Нетера. Для определения заметим, что . С другой стороны, . По предыдущей теореме и . Следовательно, , . Отсюда получаем, что . Смысл доказанной теоремы очевиден: возмущение нетерова оператора вполне непрерывным не выходит из класса нетеровых операторов и не меняет индекса оператора. Теоремы (2.9) и (1.10) очевидным образом обобщают известные факты сингулярных интегральных уравнений с рядом Коши. Теорема 2.10. Для того, чтобы где , достаточно, чтобы были обратимыми операторы и (например, ), где - какой-либо регуляризатор оператора . Доказательство. Имеем , , где - вполне непрерывные операторы. Отсюда, учитывая обратимость оператора получаем , где - вполне непрерывный оператор. Следовательно, . (10.1) Аналогично получаем соотношения ( - вполне непрерывный оператор), (10.2) Из соотношений (10.1) и(10.2) и второй теоремы Аткинсона следует, что оператор , будет оператором Нетера. Из (10.2) получаем по теореме о композиции операторов Нетера соотношение Так как то что и требовалось доказать. В заключение этой серии теорем мы докажем следующий результат, принадлежащий Аткинсону: Теорема 3.10. Для любого оператора Нетера существует такое , что каждый ограниченный оператор , удовлетворяющий условию , также будет нетеровым оператором и его индекс равен индексу оператора : Доказательство. По первой теореме Аткинсона существует такой оператор и такие конечномерные операторы и , что . (10.3) Тогда (10.4) Если столь мала, что то операторы и обратимы, следовательно, по теореме Никольского операторы и являются операторами Нетера. Более того, они квазифредгольмовы, а тогда по второй теореме Аткинсона - оператор Нетера. Равенство вытекает из (10.3) и (10.4). Теорема 4.10. Пусть , - операторы Нетера. Предположим, что существует семейство операторов зависящее от комплексного, вообще говоря, параметра , которое удовлетворяет следующим требованиям: . , . . В плоскости комплексного переменного существует непрерывная кривая Г конечной длины, соединяющая точки и , такая, что вдоль нее выполняется для всякого наперед заданного неравенство , (10.5) как только , . Для всех оператор - нетеров. При этих условиях и имеет один и тот же индекс: . Доказательство. Для каждого существует такая дуга кривой Г, содержащая строго внутри себя точку ,что для всех выполняется равенство Это заключение вытекает из свойства , если учесть равенство и воспользоваться теоремой 3.10. Из системы дуг воспользовавшись леммой Гейне-Бореля, можно выделить конечное покрытие Сравнивая индексы оператора на соседних интервалах, начиная с того, которому принадлежит , получим равенство , что и требовалось доказать. Заметим, что операторы и , удовлетворяющие условиям теоремы 4.10, называются гомотопными. В § 15 будет приведен пример приложения теоремы 4.10. Полное описание всех допустимых возмущений нетерова оператора дает следующая теорема: Теорема 5.10. Пусть - оператор Нетера и . Для того, чтобы оператор был оператором Нетера, имеющим тот же индекс, что и , необходимо и достаточно, чтобы он был представим в виде а) или (10.5) б) где - обратимые операторы, - вполне непрерывные ( конечномерные): , Доказательство. Достаточность вытекает из теорем 1.9 и 1.10. Необходимость: так как и - операторы Нетера, то по первой теореме Аткинсона существует такой оператор , что где - конечномерные операторы. Отсюда заключаем, что также оператор Нетера, а операторы и имеют нулевой индекс, так как Следовательно, по теореме Никольского , (10.6) где - обратимые операторы, а , - конечномерные. Применяя к первому из равенств (10.6) оператор слева, а ко второму - справа, получим (10.7) Из первого соотношения (10.7) получаем формулу(10.5). Из второго соотношения (10.7) следует второе равенство (10.5). Теорема доказана. Следствие1. Пусть - операторы Нетера, имеющие одинаковый индекс. Тогда , , где и имеют тот же смысл, что и выше. Следствие 2. Пусть , - операторы Нетера. Тогда справедлива формула , где , , - конечномерные операторы, - обратимые операторы. Доказательство вытекает из следствия 1 и того, что операторы и являются операторами Нетера, имеющими один и тот же индекс.
Характеристические операторы
В теории сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши важную роль играют так называемые характеристические сингулярные операторы , ( - гладкий, простой, замкнутый контур; , - заданные функции, удовлетворяющие условию ). В зависимости от коэффициентов и индекс æ оператора может быть положительным, нулевым или отрицательным, а - характеристика этого оператора может иметь лишь три формы: 1) - в случае , 2) (0,0) - в случае , 3) - случае . Многие вопросы теории сингулярных уравнений с ядром Коши решаются при помощи выделения на полного сингулярного оператороа его характеристической части. Естественно обобщить эту операцию на случай произвольного оператора Нетера . Пусть . Покажем, что оператор можно представить в виде , где - конечномерный оператор, оператор Нетера имеет - характеристику вида . Воспользуемся конструкцией из леммы Шмидта . (11.2) Ясно, что индекс оператора равен , так как отличается от на конечномерный оператор. Мы покажем, что оператор не имеет других нулей, кроме тривиального. Отсюда будет следовать, что его - характеристика имеет вид . Таким образом, из (11.2) получим представление(11.1) при и . Обращаем внимание на то, что суммирование ведется в пределах от до по числу функционалов . Число элементов равно , следовательно, элементов хватит для образования суммы . Пусть - какое-либо решение уравнения . Так как , то Учитывая это, положим в (11.2) и применим к обеим частям полученного равенства функционалы . В результате получим
Отсюда, ограничиваясь значениями и учитывая равенства , получаем для . Это означает, что является решением уравнения , т.е. . Из равенств вытекает, что все , т.е. , что и требовалось доказать. Пусть . Покажем, что имеет место представление (11.1), где имеет - характеристику вида . Положим (11.3) (на этот раз , поэтому суммирование ведется лишь до ) Ясно, что и нам достаточно показать, что . Рассмотрим уравнение , т.е. . (11.4) Аналогично предыдущему легко показать, что у этого уравнения нет решений, кроме нулевого. В самом деле, . Следовательно, если - какое-либо решение уравнения (11.4), то , Учитывая равенства , получаем, что . Соотношение (11.4) при обращается в и, следовательно, , где - произвольные постоянные, а дефектные функционалы оператора . Подставляя полученное выражение в равенство , будем иметь , . Учитывая равенства , заключаем, что , а , что и требовалось доказать. Итак, , а так как , то и . Таким образом, оператор представим в виде (11.1) при и . Ясно, что определение характеристической части оператора в указанном выше смысле не будет однозначным. Замечание. Рассмотрим совокупность операторов вида , где - фиксированный оператор Нетера, имеющий положительный индекс , а пробегает всевозможные вполне непрерывные операторы. Как мы знаем и, следовательно, . Отсюда число нулей каждого из операторов не меньше, чем . Минимально возможное число нулей равно , и оно действительно достигается при . В терминах характеристической части оператора удобно формулировать теоремы о возмущении нетеровых операторов. Одна из таких теорем приводится ниже. Пусть - оператор Нетера, , , где - характеристическая часть оператора , - вполне непрерывный оператор. Через обозначим многочлен от степени с постоянными коэффициентами. Теорема 1.11. Пусть оператор удовлетворяет условию , где - некоторый вполне непрерывный оператор. Тогда оператор при всех постоянных значениях , таких, что является оператором нетера и . Доказательство. При выполнении условий и оператор имеет нулевой индекс. Следовательно, по теореме Никольского он представим в виде , где - обратимый, а - вполне непрерывный операторы, действующие в пространстве . Легко убедиться непосредственной проверкой, что оператор можно представить в виде (см. § 10, формула 10.5) , (11.5) где - обратимый оператор, а определяется равенством . (11.6) Так как и вполне непрерывны, то - вполне непрерывный оператор, следовательно, по теореме 5.10 из представления (11.5) вытекает, что - оператор Нетера и . Теорема 1.11 доказана Е.А. Ивановым.
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |