Эквивалентная регуляризация операторов

Введем следующие определения. Левый регуляризатор называеся левым эквивалентным, если уравнения и эквивалентны, т.е. каждое решение одного является в то же время решением другого.

Правый регуляризатор называется првым эквивалентным, если уравнения и однозначно разрешимы или неразрешимы, причем в первом случае любое решение уравнения , представимо в виде . Это означает, что уравнение разрешимо для всех , так как любой такой элемент является решением уравнения , .

Таким образом, в случае правой эквивалентной регуляризация не может произойти ни потери решений, ни приобретения новых решений, так как каждое решение регуляризованного уравнения порождает решение исходного уравнения

, и наоборот, если - решение уравнения , то , найденное из уравнения , будет удовлетворять уравнению .

Теорема 1.13. (об эквивалентной регуляризации).

Если - оператор Нетера, то его всегда можно эквивалентно регуляризировать: слева, если , и справа, если .

Доказательство. При применим к слева какой- либо регуляризатор , так что

, (13.1)

где - вполне непрерывный оператор. Заметим, что . Воспользовавшись формулой (11.1), представим в виде

(13.2)

где имеет - характеристику , а - вполне непрерывный оператор.

Из (13.1) и(13.2) получим

.

Оператор - вполне непрерывный и поэтому - левый регуляризатор оператора , а так как уравнение не имеет решений, отличных от нулевого, то регуляризация.

Если , то применим к оператору справа какой-либо его регуляризатор :

.

В данном случае . Опять будем исходить из представления

,

где имеет - характеристику , а - вполне непрерывный оператор. Имеем

.

Так как - вполне непрерывный оператор, то -левый регуляризатор оператора . Уравнение разрешимо при любом , так как имеет - характеристику . Следовательно, по определению, эквивалентный регуляризатор.

Отметим следующее важное обстоятельство. В случае положительного индекса после левой равносильной регуляризации получается уравнение с оператором, ядро которого совпадает с ядром исходного оператора ( соответствующие однородные уравнения имеют одни и те же решения). В случае же отрицательного индекса ( при правой эквивалентной регуляризации) это не так. А именно, , где - любой правый равносильный регуляризатор. Для доказательства вспомним (см. доказательство теоремы о композиции операторов Нетера), что число нулей оператора равно , где , следовательно, , так как и , что и требовалось доказать.

Следующее утверждение часто используется на практике при установлении эквивалентности уравнений.

Лемма. Пусть - ограниченный оператор. Для того, чтобы уравнения и были эквивалентны при любом свободном члене , необходимо и достаточно, чтобы оператор не имел других нулей, кроме тривиального .

Доказательство. Начнем с достаточности. Любое решение уравнения удовлетворяет и уравнению , и наоборот, если - решение уравнения , т.е. , то .

Необходимость докажем так. Пусть . Уравнения и по предположению эквивалентны, причем второе уравнение сводится к однородному , у которого обязательно будет нулевое решение . Это решение должно удовлетворять и исходному уравнению , откуда , следовательно, любой нуль оператора

Является тривиальным, что и требовалось установить.

Из доказанного утверждения следует, что в случае отрицательного индекса нельзя эквивалентным образом слева регулиризировать нетеров оператор . В самом деле, индекс регуляризатора должен быть положительным и у него в соответствии с замечанием, сделанным в конце § 11, будет минимум нулей, что, согласно лемме, исключает равносильность данного и регуляризованного уравнений.

Необходимые и достаточные условия левой эквивалентной регуляризациии содержит следующая теорема С.Г. Михнина.

Теорема 2.13. Для того, чтобы оператор допускал левую эквивалентную регуляризацию, необходимо и достаточно, чтобы он был оператором Нетера с неотрицательным индексом.

Доказательство. Достаточность условий теоремы вытекает из теоремы 1.13 об эквивалентной регуляризиции.

Для доказательства необходимости заметим, что по теореме 2.8. оператор нормально разрешим. Далее, , так как по условию уравнения и эквивалентны. Остается доказать, что конечно и .

Уравнения и эквивалентны при любом . Следовательно, условием необходимым и достаточным для разрешимости уравнения будут равенства, обеспечивающие разрешимость уравнения Фредгольма :

, (13.3)

где - решение уравнения .

Условия (13.3) перепишем в виде

, . (13.4)

Таким образом, функционалы удовлетворяют уравнению и условия (13.4) являются необходимыми и достаточными для разрешимости уравнения

. Отсюда следует, что эти функционалы исчерпывают ядро оператора , хотя, быть может, среди них есть и линейно-зависимые, т.е. . Так как , то и . Теорема доказана.

Рассмотрим теперь вопрос об эквивалентной регуляризации оператора справа.

Теорема 3.13. Для того, чтобы оператор Нетера имел эквивалентный правый регуляризатор, необходимо и достаточно, чтобы индекс оператора был неположительным.

Доказательство. Достаточность условий теоремы вытекает из теоремы 1.13 об эквивалентной регуляризации.

Необходимость: пусть - эквивалентный праый регуляризатор. Предположим, вопреки тому, что требуется доказать, что . Следовательно, , т.е. , а это противоречит тому, что уравнение разрешимо для любого .

Теорема 4.13. Пусть - оператор Нетера, . Для того, чтобы его правый регуляризатор был эквивалентным регуляризатором, необходимо и достаточно, чтобы его - характеристика имела вид .

Доказательство. Необходимость: пусть - правый эквивалентный регуляризатор. Тогда и уравнение должно быть разрешимым при любом , следовательно, и .

Достаточность: так как - характеристика оператора имеет вид , то уравнение разрешимо при любом , т.е. - эквивалентный регуляризатор.

Теорема 2.13 дает полную характеристику множества операторов, допускающих левую эквивалентную регуляризацию. В случае гильбертова пространства можно дать такую же характеристику множества операторов, допускающих левую регуляризацию вообще (не обязательно эквивалентную ); И.Ц.Гохберг доказал, что для того, чтобы оператор допускал левую регуляризацию, необходимо и достаточно, чтобы он был нормально разрешим и имел конечное число нулей. Однако для произвольных банаховых пространств этот факт уже не имеет места. И.Нисто доказал, что для существования левого регуляризатора у оператора небходимо и достаточно, чтобы было конечным числом и образ имел в топологическое дополнение.

Аналогичное утверждение справедливо и для правой регуляризации. Для существования у оператора правого регуляризатора необходимо и достаточно, чтобы был конечным числом и ядро имело в топологическое дополнение.