Тема. Нелинейное программирование

Параграф 1. Конечномерные задачи без ограничений

(Галлеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи: Учебное пособие. – М.: Едиториал УРСС, 2002. Глава 1, с. 32-33, 40-41)

Задачи 1

В задачах 1.1 – 1.14 без ограничений найти стационарные точки, проверить их на экстремальность, а также найти все локальные и глобальные минимумы и максимумы.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

Глава 1. Экстремальные задачи

Параграф 2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами

(Галлеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи: Учебное пособие. – М.: Едиториал УРСС, 2002. Глава 1, с. 32-33, 40-41)

Задачи 2

2.1. ;

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.Найти минимум линейной функции , , на единичном шаре

Задание №3

Тема 3. Теория игр. Дерево решений

Задача 3.1.Компания, производящая стиральный порошок, работает в условиях свободной конкуренции. Порошок выпускается блоками, причем цена одного блока в будущем месяце является неопределенной: 10 руб. с вероятностью 0,3; 15 руб. с вероятностью 0,5; 20 руб. с вероятностью 0,2. Полные затраты (ПЗ) на производство блоков стирального порошка определяется зависимостью

Постройте таблицу решений и определите суточный выпуск продукции компании (в блоках), при котором среднесуточная прибыль будет максимальной.

Задача 3.2.Спрос на некоторый товар, производимый монополистом, определяется зависимостью , где - достоверно неизвестный уровень дохода потребителей, - цена товара. По оценкам экспертов,

Полные затраты на производство товара определяются зависимостью Сколько товара должен выпускать монополист и по какой цене продавать, чтобы максимизировать свою ожидаемую прибыль?

Задача 3.3.Молодой российский бизнесмен предполагает построить дискотеку неподалеку от университета. По одному из допустимых проектов предприниматель может в дневное время открыть в здании дискотеки столовую для студентов и преподавателей. Другой вариант не связан с дневным обслуживанием клиентов. Представленные бизнес-планы показывают, что план, связанный со столовой, может принести доход в 250 тыс. руб. Без открытия столовой бизнесмен может заработать 175 тыс. руб. Потери в случае открытия дискотеки со столовой составят 55 тыс. руб., а без столовой – 20 тыс. руб. Определить наиболее эффективную альтернативу на основе средней стоимостной ценности в качестве критерия.

Задача 3.4.Небольшая частная фирма производит косметическую продукцию для подростков. В течение месяца реализуется 15, 16 или 17 упаковок товара. От продажи каждой упаковки фирма получает 75 руб. прибыли. Косметика имеет малый срок годности, поэтому, если упаковка не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. Поскольку производство одной упаковки обходится в 115 руб., потери фирмы составляют 115 руб., если упаковка не продана к концу месяца. Вероятность продать 15, 16 или 17 упаковок за месяц составляют соответственно 0,55; 0,1 и 0,35. Сколько упаковок косметики следует производить ежемесячно? Какова стоимостная ценность этого решения? Сколько упаковок можно было бы производить при значительном продлении срока хранения косметической продукции?

Задача 3.5.Магазин «Молоко» продает в розницу молочные продукты. Директор магазина должен определить, сколько бидонов сметаны следует закупить у производителя для торговли в течении недели. Вероятность того, что спрос на сметану в течение недели будет 7,8,9 или 10 бидонов, равны соответственно 0,2; 0,2; 0,5 и 0,1. Покупка одного бидона сметаны обходится магазину в 70 руб., а продается сметана по цене 110 руб. за бидон. Если сметана не продается в течение недели, она портится, и магазин несет убытки. Сколько бидонов сметаны желательно приобретать для продажи? Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?

Задача 4.1.Найти наилучшие стратегии по критериям: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,4) для следующей платежной матрицы игры с природой (элементы матрицы – выигрыши):

.

Задача 4.2.Директор лицея, обучение в котором осуществляется на платной основе, решает, следует ли расширять здание лицея на 250 мест, на 50 мест или не проводить строительных работ вообще. Если население небольшого города, в котором организован платный лицей, будет расти, то большая реконструкция могла бы принести прибыль 250 тыс. руб. в год, незначительное расширение учебных помещений могло бы приносить 90 тыс. руб. прибыли. Если население города увеличиваться не будет, то крупное расширение обойдется лицею в 120 тыс. руб. убытка, а малое – 45 тыс. руб. Однако информация о том, будет изменяться население города, отсутствует. Постройте дерево решений и определите лучшую альтернативу, используя критерий Вальда. Чему равно значение ОДО для наилучшей альтернативы в отсутствие необходимой информации?

Пусть при тех же исходных данных государственная статистическая служба предоставила информацию об изменении численности населения: вероятность того, что численность населения останется неизменной или будет уменьшаться, равна 0,3. Определите наилучшее решение, используя критерий максимизации ожидаемой денежной оценки. Чему равно значение ОДО для наилучшей альтернативы при получении дополнительной информации? Какова ожидаемая ценность дополнительной информации?

Задача 4.3.При крупном автомобильном магазине планируется открыть мастерскую по предпродажному обслуживанию и гарантийному ремонту автомобилей. Консультационная фирма готова предоставить дополнительную информацию о том, будет ли рынок благоприятным или нет. Эти сведения обойдутся магазину в 13 тыс. руб. Администрация считает, что эта информация гарантирует благоприятный рынок с вероятностью 0,5. Если рынок будет благоприятным, то большая мастерская принесет прибыль в 60 тыс. руб., а маленькая – 30 тыс. руб. При неблагоприятном рынке магазин потеряет 65 тыс. руб., если будет открыта большая мастерская, и 30 тыс. руб. -–если откроется маленькая. Не имея дополнительной информации, директор оценивает вероятность благоприятного рынка как 0,6. Положительный результат обследования гарантирует благоприятный рынок с вероятностью 0,8. При отрицательном результате рынок может оказаться благоприятным с вероятностью 0,3. Постройте дерево решений и определите:

· Следует ли заказывать консультационной фирме дополнительную информацию, уточняющую конъюнктуру рынка?

· Какую мастерскую следуют открыть при магазине: большую или маленькую?

· Какова ожидаемая денежная оценка наилучшего решения?

· Какова ожидаемая ценность дополнительной информации?

Задача 4.4.Фирма, производящая вычислительную технику, провела анализ рынка нового высокопроизводительного персонального компьютера. Если будет выпущена крупная партия компьютеров, то при благоприятном рынке прибыль составит 250 тыс. руб., а при неблагоприятных условиях фирма понесет убытки в 185 тыс. руб. Небольшая партия техники в случае ее успешной реализации принесет фирме 50 тыс. руб. прибыли и 10 тыс. руб. убытков – при неблагоприятных внешних условиях. Возможность благоприятного и неблагоприятного исходов фирма оценивает одинаково. Исследование рынка, которое может провести эксперт, обошлось фирме в 15 тыс. руб. Эксперт считает, что с вероятностью 0,6 рынок окажется благоприятным. В то же время при положительном заключении благоприятные условия ожидаются лишь с вероятностью 0,8. При отрицательном заключении с вероятностью 0,15 рынок также может оказаться благоприятным. Используйте дерево решений для того, чтобы помочь фирме выбрать правильную технико-экономическую стратегию. Ответьте на следующие вопросы:

Следует ли заказывать эксперту дополнительное обследование рынка?

Какую максимальную сумму фирма может выплатить эксперту за проделанную работу?

Какова ожидаемая денежная оценка наилучшего решения?

Задача 6.1.Акционерное общество (АО) заключило контракт на покупку нового оборудования для производства железобетонных блоков стоимостью 750 000 дол. В соответствии с условиями контракта 150 000 дол. в качестве аванса необходимо уплатить через 2 месяца, а остальную сумму – через 6 месяцев, когда оборудование будет установлено. Чтобы расплатиться полностью и в указанные сроки, руководство АО планирует создать целевой фонд, предназначенный для инвестиций. Поскольку инвестиционная деятельность принесет дополнительную наличность к моменту расчета за приобретенное оборудование, отложить следует не всю сумму в 750 000 дол., а меньшую. Сколько именно, зависит от имеющихся возможностей и правильности организации процесса инвестирования. Акционерное общество решило сосредоточиться на 4 направлениях (12 возможностях) использования средств целевого фонда. Данные для решения финансового планирования приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Руководство АО ставит перед собой три основные цели:

1) при данных возможностях инвестирования и утвержденного графика выплат должна быть разработана стратегия, минимизирующая наличную сумму денег, которые АО направляет на оплату оборудования по контракту;

2) при разработке оптимальной стратегии средний индекс риска инвестиционных фондов в течение каждого месяца не должен превышать 6. Этот показатель индекса риска, как предполагается отвечает возможностям менеджера по управлению проектами;

3) в начале каждого месяца (после того, как сделаны новые инвестиции) средняя продолжительность погашения инвестиционных фондов не должна превышать 2,5 месяца. Причины те же, что и в п.2.

Среди потенциально реализуемых проектов выбрать наиболее экономически эффективные, при этом проекты повышенной рискованности должны компенсироваться менее рискованными, а долгосрочные проекты должны выполняться одновременно с более краткосрочными?

Задача 6.2.

В табл. 5.3 отражены пять проектов, которые конкурируют между собой за получение инвестиционных фондов компании. Мы видим, какие наличные деньги будут получены на вложение одного доллара.

У компании имеется 1 000 000 дол. для инвестиций. Она хочет максимизировать сумму денег, накопленных к конечному периоду. Сформулировать задачу линейного программирования и получить решение?

Задача 6.3.Необходимо построить в регионе электростанцию большой мощности. В данном регионе имеются возможности:

a₁ – построение большого водохранилища и гидроэлектростанции;

a₂ - сооружение тепловой электростанции на основном (газовом ) топливе и резервном (мазуте);

a₃ – сооружение атомной электростанции.

Возможные решения . Экономическая эффективность каждого варианта рассчитана проектным институтом, который учитывал затраты на строительство и эксплуатационные расходы.

Случайные факторы, от которых зависит экономическая эффективность вариантов капиталовложений, объединим в четыре возможных состояния природы - - с учетом окупаемости:

- цены на газ и мазут низкие и климатические условия благоприятные;

- цены на газ и мазут высокие и климатические условия благоприятные;

- цены на газ и мазут низкие и климатические условия неблагоприятные;

- цены на газ и мазут высокие и климатические условия неблагоприятные;

Таблица 7.2

A					min
Гидроэлектростанция a1
Тепловая электростанция a2
Атомная электростанция a3
max

Найти оптимальное решение для инвестирования средств?

Задача 8.1.Оптимальная величина страхования. Ювелир владеет бриллиантом стоимостью 100 000 дол. и желает застраховать его от кражи. Страховка покупается по правилу: цена страховки составляет 20% суммы, которую страхуют. Например, если бриллиант страхуется на всю стоимость (100 000 дол.), страховка стоит 20 000 дол., если на половину цены (50 000), то страховка обходится в 10 000 дол. Если ювелир будет знать (построит) свою функцию полезности, он сможет рассчитать, на какую оптимальную сумму следует застраховать дорогую вещь?

Задача 8.2.Спрос на страхование. Пусть финансовое состояние индивида оценивается заданным значением W. Предполагается, что можно вычислить вероятность p потери некоторой части этого состояния, определяемой суммой (например, в результате пожара). Индивид может купить страховой полис, в соответствии с которым ему возместят нанесенный ущерб в размере q. Плата за страхование составляет , где доля страхования в объеме нанесенного ущерба. Проблема состоит в определении значения q?

Задание №4

Тема: Портфели

См. Учебник: Барбаумов В.Е. и др. Финансовые инвестиции: Учебник/В.Е. Барбаумов, И.М. Гладких, А.С. Чуйко. – М.: Финансы и статистика, 2003. 544 с.

(Глава 2 . Портфели рискованных активов и инвестиций)

ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ

И ДИСПЕРСИЯ ДОХОДНОСТИ

ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

ЗАДАЧИ

2.1. Портфель ценных бумаг содержит три вида акций, информация о которых приведена в табл. 2.2.1.

Таблица 2.2.1

Определить ожидаемую доходность и среднеквадратичное отклонение доходности данного портфеля ценных бумаг, если известны коэффициен­ты корреляции между доходностями ценных бумаг: ρ₁₂ = 0,20, ρ₁₃= 0,50, ρ₂₃ = 0,30.

2.2.Даны три вида ценных бумаг, ковариационная матрица доходностей
которых имеет следующий вид:

Найти среднеквадратичное отклонение доходности портфеля ценных бу­маг, если доли средств, инвестированных в ценные бумаги, соответственно равны: -0,1; 0,6; 0,5.

2.3. Даны два вида ценных бумаг, информация о которых приведена в
табл. 2.2.2.

Таблица 2.2.2

Определить ожидаемую доходность и среднеквадратичное отклонение доход­ности портфеля из этих двух ценных бумаг, если:

а)Θ₁=-2; Θ₂ = 3;

6) Θ₁ =0,25; Θ₂ = О,75.

2.4. Имеются три вида ценных бумаг, информация о которых приведена в табл. 2.2.3.

Таблица 2.2.3

Найти ожидаемую доходность и среднеквадратичное отклонение доход­ности портфеля из данных трех ценных бумаг, если:

а) Θ₁ = -0,25; Θ₂ = 0,8; Θ₃ - 0,45;
6) Θ₁ =0,4; Θ₂ = 0,1; Θ₃ = 0,5.