Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Простейшим д .у.1 является уравнение вида Как известно из курса интегрального исчисления, функция y находится интегрированием
Определение. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Его можно записать в виде Проинтегрируем обе части уравнения, получим так называемый общий интеграл (или общее решение). Пример. Решение.Запишем уравнение в виде Проинтегрируем обе части уравнения: (общий интеграл дифференциального уравнения). Определение.Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции можно представить в виде произведения функций
, ,
т. е. есть уравнение имеет вид
Чтобы решить такое дифференциальное уравнение, нужно привести его к виду дифференциального уравнения с разделенными переменными, для чего разделим уравнение на произведение Действительно, разделив все члены уравнения на произведение , получим – дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Для решения его достаточно почленно проинтегрировать При решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом (правилом) разделения переменных. Первый шаг. Если дифференциальное уравнение содержит производную , ее следует записать в виде отношения дифференциалов:
Второй шаг.Умножим уравнение на , затем сгруппируем слагаемые, содержащие дифференциал функции и дифференциал независимой переменной .
Третий шаг.Выражения, полученные при , представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых содержит только одну переменную ( ). Если после этого уравнение примет вид то, разделив его на произведение , получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными.
Четвертый шаг. Интегрируя почленно уравнение, получим общее решение исходного уравнения (или его общий интеграл).
Рассмотрим уравнения
№ 1. № 2. № 3. Дифференциальное уравнение № 1 является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, по определению. Разделим уравнение на произведение Получим уравнение
Интегрируя, получим или Последнее соотношение есть общий интеграл данного дифференциального уравнения. В дифференциальном уравнении № 2 заменим умножим на , получим
общее решение дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение № 3 не является уравнением с разделяющимися переменными, т. к., записав его в виде или ,
видим, что выражение в виде произведения двух множителей (один – только с y, другой – только с х) представить невозможно. Заметим, что иногда нужно выполнить алгебраические преобразования, чтобы видеть, что данное дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными. Пример № 4. Дано уравнение Преобразуем уравнение, вынося общий множитель слева Разделим левую и правую части уравнения на произведение получим
Проинтегрируем обе части уравнения:
откуда – общий интеграл данного уравнения. (а) Заметим, что если постоянную интегрирования записать в виде , то общий интеграл данного уравнения может иметь другую форму:
или – общий интеграл. (б) Таким образом, общий интеграл одного и того же дифференциального уравнения может иметь различную форму. Важно в любом случае доказать, что полученный общий интеграл удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Для этого нужно продифференцировать по х обе части равенства, задающего общий интеграл, учитывая, что y есть функция от х. После исключения с получим одинаковые дифференциальные уравнения (исходное). Если общий интеграл , (вид (а)), то
Если общий интеграл (вид (б)), то
Получим то же уравнение, что и в предыдущем случае (а). Рассмотрим теперь простые и важные классы уравнений первого порядка, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными. |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |