Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дифференциальные уравнения второго порядкаДифференциальное уравнение второго порядка (д.у. II) содержит вторую производную некоторой функции, саму эту функцию, независимую переменную и первую производную. Д.у. II может быть записано в виде или Определение.Общим решением д.у.II называется функция зависящая от двух произвольных постоянных , такая, что 1) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных 2) каковы бы ни были начальные условия , можно найти такие значения при которых функция удовлетворяет этим условиям. Определение.Всякая функция, полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением д.у.II. Заметим, что начальные условия для д.у. II представляют собой заданные значения функции и ее производной при одном и том же данном значении независимой переменной Их обычно записывют или т. е. задать начальные условия для нахождения частного решения д.у. II – значит задать три числа: Пример.Дано д.у.II . Проверим, что его общим решением является функция Найдем первую и вторую производные этой функции Подставив в данное уравнение, получим
или –
верное равенство. Найдем частное решение этого уравнения при заданных начальных условиях Подставим эти условия в выражения y и
или Решив эту систему, получим значения постоянных при которых из общего решения выделим искомое частное решение Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка и способы их решения.
Дифференциальные уравнения второго порядка, Допускающие понижение порядка Рассмотрим некоторые типы д.у. II, решение которых сводится к решению дифференциальных уравнений первого порядка. 1-й тип. Простейший тип таких уравнений – это Дифференциальное уравнение содержит только вторую производную и некоторую функцию от х (ни сама функция y, ни ее первая производная в уравнение не входят). Уравнение вида решается последовательным интегрированием два раза. Пример 1. Получили уравнение первого порядка отсюда – общее решение исходного уравнения (содержит две произвольные постоянные и ). Аналогично решаются и дифференциальные уравнения порядков выше второго, если они имеют такой же вид, например: Пример 2. – общее решение данного уравнения. Пример 3. –
общее решение уравнения. Обратите внимание, общее решение дифференциального уравнения третьего порядка содержит три произвольные постоянные , а дифференциального уравнения четвертого порядка – уже четыре Допускают понижение порядка и дифференциальные уравнения вида 2-й тип. т. е. уравнения, в которые явно не входит сама искомая функция у. Решаются такие уравнения подстановкой где вспомогательная функция. Тогда Подставив в данное уравнение, получим уравнение – дифференциальное уравнение первого порядка. Пример 4. Решить уравнение (9)
Положим и уравнение примет вид – (10) это линейное уравнение первого порядка относительно функции Решаем его подстановкой где
Получим
Функция Исходное уравнение (9) решалось подстановкой Поэтому Интегрируя, получим – общее решение уравнения (9).
Пример 5. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям Применим подстановку Получим уравнение . Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции р. Разделим переменные:
Интегрируя, получим
Откуда
Используем второе начальное условие получим
Следовательно,
а после интегрирования
Применим первое начальное условие получим
Искомым частным решением будет Еще одним типом уравнений, допускающих понижение порядка, является уравнение вида Й тип
т. е. уравнение, не содержащее явно независимую переменную х. Здесь порядок уравнения понижается на единицу путем следующей замены: где Здесь р – новая вспомогательная функция, а у играет роль независимой переменной. Тогда т. е.
Заметим, что вторая производная получена по правилу дифференцирования сложной функции. Подставив выражения в данное уравнение, получим
–
уравнение первого порядка относительно р как функции от у. Пример 6. Найти общее решение уравнения (11) Полагаем получим – (12)
это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приведя его к виду и интегрируя, получим
Так как исходное уравнение (11) решалось с помощью подстановки получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно искомой функции у от х .
Но так как произвольные постоянные, также произвольные постоянные. Поэтому полученный общий интеграл данного дифференциального уравнения можно записать в виде т.е. или
Пример 7.Найти частное решение уравнения при начальных условиях Применим подстановку Тогда Получим уравнение первого порядка:
Разделив уравнение на получим Это линейное уравнение первого порядка относительно функции Решаем его подстановкой Тогда
Интеграл справа берем по частям с помощью подстановки
Тогда
Таким образом,
Тогда функция
Таким образом, , или
Найдем значение из начальных условий
Таким образом
Заметим, что константа может быть обозначена как с, т. к. – произвольная константа тоже произвольная постоянная. Таким образом, Найдем с из первого начального условия
Искомое частное решение имеет вид
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |