Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Основы теории, методические указания и контрольные работыТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КИНЕМАТИКА
Основы теории, методические указания и контрольные работы для студентов по направлениям подготовки 110300 «Агроинженерия» И 270100 «Строительство» очной и заочной форм обучения
Кострома 2007 УДК 531.1+378.147–322.1 ББК 22.23+74.58 Т 33
Составители: д.т.н., профессор кафедры деталей машин ФГОУ ВПО Костромская ГСХА С.Н. Разин и ассистент А.Е. Березкина
Рецензенты: доцент кафедры “Сельскохозяйственные машины”, к.т.н. М.С. Волхонов и декан архитектурно-строительного факультета, доцент И.А. Яцюк ФГОУ ВПО Костромская ГСХА
Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства, протокол № 5 от 28 октября 2006 г., и методической комиссией архитектурно-строительного факультета, протокол № 5 от 17 октября 2006 г., ФГОУ ВПО Костромская ГСХА. Т 33 Теоретическая механика. Кинематика : основы теории, методические указания и контрольные работы для студентов по направлениям подготовки 110300 «Агроинженерия» и 270100 «Строительство» очной и заочной форм обучения / сост. С.Н. Разин и А.Е. Березкина. – Кострома : Изд-во КГСХА, 2007. – 35 с. Пособие содержит изложение теоретического материала в виде кратких ответов на вопросы по кинематике, выносимые на экзамен, и примеры решения типовых задач. После изложения теоретического материала приведены 4 задания по основным разделам кинематики: кинематика точки, поступательное и вращательное движения твердого тела, плоскопараллельное движение твердого тела, сложное движение точки. В качестве прототипа выбраны методические указания и контрольные задания по “Теоретической механике”, под редакцией С.М. Тарга, издательство «Высшая школа», 1982. Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по направлениям подготовки 110300 «Агроинженерия» и 270100 «Строительство» очной и заочной форм обучения. УДК 531.1+378.147–322.1 ББК 22.23+74.58 Костромская государственная Сельскохозяйственная академия, 2007 Оглавление
Указания Решение каждой из задач необходимо начинать наразвороте тетради(на четной странице, начиная со второй). Сверху указывается номер задачи, выполняется чертеж в соответствующем масштабе и записывается условие задачи. Текст задачи не переписывается. Чертеж должен быть аккуратным и наглядным, с нанесением всех размеров и обозначений. Решение задачи необходимо сопровождать краткими пояснениями. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента. Работы, не отвечающие перечисленным требованиям, проверяться не будут, и будут возвращены для переделки Естественные оси координат. Естественные оси двигаются вместе с точкой и изменяют свое положение в пространстве. Этих осей три (рис.6): касательная, главная нормаль, бинормаль. Единичный вектор касательной - (тау) направлен по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуги. Соприкасающаяся плоскость - предельное положение плоскости, проходящей через т. М1, лежащую на кривой и касательную в т. М, при стремлении т. М1 к т. М. Единичный вектор главной нормали - перпендикулярен , лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории. Плоскость перпендикулярная касательной называется нормальной. Единичный вектор бинормали - перпендикулярен соприкасающейся плоскости и направлен в ту сторону, откуда вращение от к , по кратчайшему пути, видно происходящим против часовой стрелки. Плоскость ( , ) называется спрямляющей. 5. Скорость при векторном способе задания движения. Пусть за время Δt точка переместилась из М в М (рис.7) , вектор Δ - вектор перемещения. Средней скоростью точки за время Δt называется вектор ср = Δ /Δt. Скоростью точки в данный момент времени называется предел, к которому стремится отношение вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло, при стремлении последнего к нулю : = lim Δ /Δt Δt Из рис. 7 видно, что: (t) + Δ = (t+Δt) тогда: Δ = (t+Δt) - (t), и = lim Δ /Δt = lim( (t+Δt) - (t)) / Δt = d / dt. Δt Δt то есть, скорость точки в данный момент времени равна первой производной от радиуса вектора по времени. Из рисунка видно, что вектор скорости в данный момент времени занимает положение касательной. Скорость измеряется в м/с. 6. Ускорение при векторном способе задания движения. Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое оно произошло: ср=Δ /Δt. Ускорением точки в данный момент называется предел этого отношения при стремлении промежутка времени к нулю. = lim Δ /Δt = lim( (t+ Δt) - (t))/ Δt. Δt Δt Ускорение равно первой производной от скорости или второй производной от радиуса вектора по времени: = d /dt = d /dt . Ускорение ср, а значит и ускорение в данный момент времени - направлено в сторону вогнутости траектории (рис.8). Ускорение измеряется в м/с2. 7. Скорость при координатном способе задания движения. Известно, что: =d /dt,но =x· +y· +z· , тогда (т.к. , , - const): = dx/dt· +dy/dt· +dz/dt· , (1) С другой стороны: = v · +v · +v · . (2) сравнивая (1) и (2) получим: vх = dx/dt; vу = dy/dt; v = dz/dt, т.е. проекция скорости на ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени. Зная проекции можно найти модуль скорости: = , а так же направляющие косинусы: соs( ; ) = vx / | | ; соs( ; ) = vy / | |; соs( ; ) = vz / | |. 8. Ускорение при координатном способе задания движения. Известно, что: = d /dt, но = vx· + vy· + vz· , тогда: = dv x /d t · +dvy /d t · +dvz /dz · , (1) с другой стороны : = ах · + ау · + аz· . (2) сравнивая (1) и (2) получим: а x =dv x /dt =d x / dt ; аy=dvy/ dt =d y / dt ; а =dvz /dt =d z / dt . то есть: проекция ускорения на ось равна первой производной от проекции скорости на ту же ось, или второй производной от соответствующей координаты по времени. Модуль ускорения : | | = , направляющие косинусы: соs ( ; ) = аx / | | ; соs( ; ) = аy / | |; соs ( ; ) = аz / | |. Формула Эйлера.
Пусть за время Δt тело повернулось на угол Δφ, тогда т. М опишет дугу окружности длиной Δs (рис.11а). Найдем скорость т.М: vM = lim Δs / Δt = lim (R ∙ Δφ)/ Δt = R∙ω. Δt Δt
Ускорение касательное : a τ = d vM /dt = d(R ∙ ω)/dt = R ∙ dω/dt = R ∙ ε. an = vM /ρ = ω2R2/R = ω2R. тогда полное ускорение: аМ = = R . Угол наклона полного ускорения к радиусу не зависит от R: tgα = aτ / an = ε / ω2. Скорость т.М можно найти и с помощью векторного произведения: , это и есть формула Эйлера.Здесь - радиус вектор точки М (рис 11б). Взяв производную от этой формулы, получим: =d /dt=d /dt× + ×d /dt = × + ×( × ). Можно проверить, что первое слагаемое есть - a τ, а второе - an . Теорема о сложении ускорений. Теорема: Ускорение точки тела, совершающего плоское движение, геометрически складывается из ускорения точки выбранной за полюс, нормального и тангенциального ускорений при вращении этой точки вокруг полюса: Воспользуемся теоремой о сложении скоростей: . Возьмем производную. тогда поскольку: d /dt = , a d /dt= , то: , но: , а d /dt = , тогда: . Здесь: - вектор нормального (центростремительного) ускорения при вращении точки В вокруг точки А. Он направлен от точки В к точке А (рис.20), - вектор тангенциального (касательного) ускорения при вращении точки В вокруг точки А. Он направлен перпендикулярно АВ в сторону углового ускорения . По величине: = ω ∙AB; = ε ∙AB. Задача К1 По заданным уравнениям движения точки в плоскости xy: (табл. К1) требуется найти уравнение траектории и для момента времени t1 = π/6 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Построить на рисунке все найденные скорости и ускорения в соответствующих масштабах. Указания. Задача К1 относиться к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 = π/6 c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует применить известные из тригонометрии формулы: При выборе масштабов построения траектории, скоростей и ускорений следует учитывать, что они должны быть стандартными, то есть из ряда: 1, 2 , 25 , 4 , 5. При этом изображаемые вектора должны быть достаточно крупными (50 - 100 мм). Таблица К1
Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости xy: , (x, y – в сантиметрах, t - в секундах). Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1=1c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу. или Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим: следовательно: Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (рис. К1): 2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:
и при t = 1c: 3. Аналогично найдем ускорение точки: . и при t = 1c: ax = 0,87 см/с2, ay = - 0,12 см/с2, a = 0,88 см/с2. 4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство: . Получим: Подставив полученные ранее значения, найдем, что при t = 1c: aτ = 0,66 см/с2. 5. Нормальное ускорение точки: Подставляя сюда найденные числовые значения a1 и a1τ, получим, что при t = 1 c: an = 0,58 см/с2. 6. Радиус кривизны траектории: Подставляя сюда числовые значения υ1 и a1n , найдем, что при t = 1 c: ρ = 3,05 см. При построении скоростей следует в данном случае выбрать масштаб: μv = 0,02 , тогда: l vx = │vx │ / μv = 1,11/0,02 ≈ 56 мм, l vy = │vy │ / μv = 0,73/0,02 ≈ 37 мм; или μv = 0,01 , тогда: l vx = │vx │ / μv = 1,11/0,01 = 111 мм, l vy = │vy │ / μv = 0,73/0,01 = 73 мм. При построении ускорений следует выбрать масштаб: μa = 0,01 , тогда: l ax = │ax │ / μa = 0,87/0,01 = 87 мм, l ay = │ay │ / μa = 0,12/0,01 = 12 мм; l aτ = │aτ │ / μa = 0,66/0,01 = 66 мм, l an = │an │ / μa = 0,58/0,01 = 58 мм. Найденные длины отрезков откладываем из точки с координатами: при t = 1c: Замечание: при построении следует учесть, что l ay необходимо отложить вниз, так как: ay < 0, а aτ – по направлению скорости, так как aτ > 0. Задача К2 Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0-К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней равны соответственно: у колеса 1 – r1=2 см, R1=4 см, у колеса 2 – r2=6 см, R2=8 см, у колеса 3 – r3=12 см, R3 = 16 см. На ободьях колес расположены точки А, В, и С. В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где: - закон вращения колеса 1, s4(t) – закон движения рейки 4, ω2(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2, υ5(t) – закон изменения скорости груза 5 и т.д. (везде φ - выражено в радианах, s - в сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s4, s5 и υ4, υ5 – вниз. Определить в момент времени t1 = 2 c указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (υ – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (υ5 – скорость груза 5 и т.д.). Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит. Таблица К2
Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колеса 2 с радиусами R2 и r2 и колесо 3 радиуса R3, скрепленное с валом радиуса r3, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s1=f(t). Дано: R2=6 см, r2=4 см, R3=8 см, r3=3 см, s1=3t3 (s- в сантиметрах, t – в секундах), А – точка обода колеса 3, t1 = 3 c. Определить: ω3, υ4, ε3, αA в момент времени t = t1. Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса Ri), через υi, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса ri), - через ui. 1. Определим сначала угловые скорости все колес как функции скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость (1) Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то υ2= υ1 или ω2R2= υ1. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u2= υ3 или ω2R2= ω3R3. Из этих равенств находим: Тогда для момента времени t1 = 3 c получим: ω3=6,75c-1. 2. Определим υ4. Так как υ4 = υB = ω3r3, то при t1=3 c: υ4=20,25 см/с. 3. Определяем ε3. Учитывая, что ε3= =1,5t. Тогда при t1=3 с получим: ε3=4,5 с-2. 4. Определяем aA. Для точки А: , где численно Тогда, для момента времени t1=3 с, имеем: Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2. Задача К3 Плоский механизм состоит из стержней 1, 2 , 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0 – К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длина стержней: l1 = 0,4 м, l2 = 1,2 м, l3 = 1,4 м, l4 = 0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0-4) или в табл. К3б (для рис. 5-9); при этом в табл. К3а ω1 и ω4 – величины постоянные. Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти». Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 – против хода часовой стрелки и т.д.). Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3, б). Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение - от точки В к b (на рис. 5-9). Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности. При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства , где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то ; В – точка, ускорение которой нужно определить (если точка В движется по дуге окружности радиуса l, то , где численно ; входящая сюда скорость υB определяется так же, как и скорости других точек механизма). Таблица К3а (к рис. К3.0 – К3.4)
Таблица К3б (к рис. К3.5 – К3.9)
Пример К3. Механизм (рис. К3, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами. Дано: a=60º, b=150º, g=90º, j=30º, q=30º, AD = DB, l1 = 0,4 м, l2 = 1,2 м, l3 = 1,4 м, w1 = 2 с-1, e1 = 7 с-2 (направление w1 и e1 – против хода часовой стрелки). Определить: uB, uE, w2, aB, e3. Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3, б). 2. Определяем uВ. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти uВ, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление w1, можем определить ; численно
(1) Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки).Затем, вычисляя эти проекции, находим (2) 3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB; это точка С3, лежащая на пересечении перпендикуляров к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |