Функции и использование свойств монотонных функций

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax² + bx + c. Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

1. Ветви параболы — могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a < 0).Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;

2. Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a < 0) значение.

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы, абсцисса которой рассчитывается по формуле:

.

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x₀ тоже будет точкой экстремума. Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

1. Выписать уравнение параболы y = ax² + bx + c и найти ее вершину по формуле: x₀ = −b/2a;

2. Найти значение исходной функции в этой точке: f (x₀). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Под корнем стоит квадратичная функция y = x² + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x₀ = −b/(2a) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x₀ = −3 функция y = x² + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит x₀ — точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x². Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1 < 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2x − x² ≥ 0 ⇒ x² + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

3. x₀ = −b/(2a) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x₀ = −1 принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x₀, а также на концах ОДЗ:

y(−3) = y(1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Экстремальные задачи с геометрическим содержанием

· Исследование площади прямоугольника данного периметра

Задача. Периметр прямоугольника 24 см, а его основание х см. Задайте формулой зависимость площади прямоугольника S от х. При каком значении х получится прямоугольник наибольшей площади?

Решение.

S=x(12-x). По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0<х<12.

Проведём небольшое исследование. Для этого заполним таблицу

Выберем ещё каких-либо два допустимых значения х, например х= 3,5 и х = 9,5

И вычислим соответствующее им значение S:S= 29,75; S= 23,75.

Проанализировав полученные результаты, можно высказать гипотезу:

Из всех прямоугольников данного периметра наибольшей площадью обладает прямоугольник со сторонами 6 см×6 см, т. е. квадрат.

Проверить данную гипотезу мы можем пользуясь методом нахождения наибольшего и наименьшего значения квадратичной функции S= 12x-x².

Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку

a = −1 < 0.

Вершина параболы: x₀ = −b/(2a) = 12/2=6.

S(0)=S(12)=0.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, в точке x₀ = 6 функция S= 12x-x² принимает наибольшее значение.

Ответ:6.

Теперь я могу дать ответ на задачу 1, сформулированную во введении.

Р = 40 км. a – первая сторона, 20 – а – вторая сторона.

S = а (20 - а) = - а² + 20 а. x₀ = −b/(2a) = -20/-2=10.

Следовательно, наибольший четырехугольник – квадрат со стороной 10, т.е. наибольшая площадь – 100 км².

Можно сделать вывод, что Пахом вполне мог получить земли больше с меньшими усилиями.

· Исследование периметра прямоугольника данной площади

Задача. Площадь прямоугольника 144 см², а его основание х см. При каком значении х получим прямоугольник наименьшего периметра?

Проведём небольшое исследование. Для этого заполним таблицу

Выберем ещё каких-либо два допустимых значения х, например х= и х =

И вычислим соответствующее им значение Р:

На основании проведённого исследования можно высказать гипотезу:

Из всех прямоугольников данной площади наименьшим периметром обладает прямоугольник со сторонами 12 см×12 см, т. е. квадрат.

Теперь я могу дать ответ на задачу 2, сформулированную во введении:

Размеры щита 3 м × 3 м.

Данную гипотезу мы не можем проверить способом, использованным в предыдущей задаче, т. к. функция имеет вид: Р = 2(х + 144/х).

Докажем следующее утверждение: Если переменные х и y обратно пропорциональны и принимают только положительные значения, то их сумма принимает наименьшее значение.

Доказательство. Пусть ху = k. При х=у имеем х ² = k, х =√ k, х + у = 2√ k.

Значит, нужно доказать, что если х >0, у > 0 и ху = k, то х + у ≥ 2√ ху, а это следует из неравенства Коши.