Применение стандартных неравенств

С помощью неравенства Коши можно обобщить и задачу из предыдущего пункта.

Задача № 1. Найдите из множества всех прямоугольников с заданным периметром тот, чья площадь наибольшая.

Решение. Обозначим стороны искомого прямоугольника символами x и y, а его периметр – символом р > 0, тогда задача стоит так: при каких x и y – положительных числах, удовлетворяющих условию , их произведение будет наибольшим. Применим неравенство Коши: , , т.е. . Итак, подозрительным на наибольшее значение произведения является число , но достигается ли оно при допустимых x и y? Да, достигается. Полагая из равенства , получаем .

Задача № 2. Найдите среди всех треугольников с заданным периметром тот, чья площадь наибольшая.

Решение. Если обозначим стороны произвольного треугольника x, y, z, то по условию

, и ,

где фиксированное число . Требуется определить наибольшее значение выражения

.

Применим неравенство Коши для n = 3

,

то есть , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда , то есть для равностороннего треугольника.

С помощью неравенства Коши можно находить наибольшее и наименьшее значения функции без использования производной. Для этого потребуются утверждения, вытекающие непосредственно из неравенства Коши:

1. Равенство в неравенстве Коши достигается, когда все, учавствующие в нём числа одинаковы.

2. Если сумма положительных чисел равна а, то произведение этих чисел принимает наибольшее значение при и это наибольшее значение равно .

3. Если произведение положительных чисел равно b, то их сумма принимает наименьшее значение при и это значение равно .

Задача № 1. Найти наименьшее значение функции , .

Решение. Представим функцию в виде суммы слагаемых

.

Найдем произведение этих слагаемых

.

Это означает, что своё наименьшее значение сумма слагаемых принимает при , то есть при .

.

Ответ: у = 4 – наименьшее значение функции, которое достигается при х = 1.

Задача № 2. Найти наибольшее значение функции на отрезке .

Решение. Возведём функцию в квадрат, получим:

, разделим обе части на 4:

.

Представим произведение в виде произведения

.

Найдём сумму этих множителей

,

то есть сумма принимает постоянные значения. Следовательно, функция , а значит и функция достигает наибольшего значения при .

Найдём значения функции в этих точках

Следовательно, наибольшее значение функции равно при .

Задача № 3. При каких значениях х функция достигает наибольшего значения?

Решение. Запишем функцию в виде

.

Найдем сумму этих 5 сомножителей

.

Применим неравенство Коши для n = 5

Следовательно, функция достигает наибольшего значения равного , если

Ответ: при функция достигает наибольшее значение.

Задача № 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции .

Решение. Найдём область определения функции .

1) - наименьшее значение, так как .

2) Применим неравенство Коши для n = 2 для слагаемых и .

, то есть функция имеет наибольшее значение , оно достигается, если

Действительно, .

Ответ:

.

Заключение

Обычно экстремальные задачи или задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции решаются с помощью производной. Но в этом учебном году программа изучения математики в 10 классе изменилась и нам приходится решать данные задачи без знания производной функции. Эта проблема и подтолкнула к рассмотрению темы данной работы. Данная работа имеет большое значение, с одной стороны, как для математики, так и для её приложений, а с другой стороны, помогает развивать геометрические представления, формировать необходимые умения и навыки для решения экстремальных задач. Изучая литературу по теме моей работы, я столкнулся ещё с одной интересной задачей:

Задача. Молодой предприниматель Юрий Михайлов в свете экономического кризиса решил выкупить нерентабельное провинциальное перерабатывающее предприятие и пригласил экономиста Германа Ковалевича помочь с расчетами по оптимизации расходов. Одна из задач поставленных перед Германом была следующая: найти, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим.

Оказывается, наименьший расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой.

В нашей стране выпускаются ежегодно сотни миллионов банок консервов в жестяной упаковке. Экономия 1% жести на изготовление каждой банки позволит за счет сэкономленного материала дополнительно изготовить несколько миллионов новых банок. Вместе с тем промышленность нередко выпускает консервы в жестяной таре, не обеспечивая наименьший расход материала на изготовление банки. Это обусловлено рядом причин: стремлением минимизации отходов при изготовлении банок, соображениями торговой эстетики. Возможностями транспортировки и т.д.

Для того, чтобы составить математическую модель этой задачи и решить её необходимы знания производной функции и формула вычисления объёма цилиндра. Возможно, целесообразно будет в следующем году исследовать вопрос: « Решение задач на оптимизацию с применением производной».

Литература

1. Кузнецова Е. П. и др. Математика: учебник для 10 класса. – Мн.: Народная асвета, 2013.-287 с.

2. Беляева Э.С., Монахов В.М.. Экстремальные задачи. М.1977.-59 c.

3. Натансон И.П. Простейшие задачи на максимум и минимум. М.1951.-87 c.

4. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с.

Рецензия