Различные порядки неопределённости.

Логические проблемы и даже противоречия, с которыми сталкиваются математики при рассмотрении "бесконечно больших" или "бесконечно малых" величин, различающихся между собой и даже принадлежащих различным порядкам, происходят единственно из того факта, что математики рассматривают в качестве бесконечного то, что является попросту неопределённым. В целом они не склонны обращать внимание на эти проблемы, но всё же эти проблемы существуют и не становятся от этого менее серьёзными, ибо они способствуют появлению в математической науке множества нелогичностей или, если угодно, "паралогичностей", и такая наука теряет всякое реальное значение и смысл в глазах тех, кто не позволяет затуманивать своё мышление простой игрой слов. Приведём некоторые примеры противоречий, проистекающих из построений тех учёных, которые допускают существование бесконечных величин, при приложении ими этого понятия к геометрическим величинам: если прямая считается бесконечной, то её бесконечность должна быть меньше и даже бесконечно меньше, чем бесконечность поверхности, например, плоскости, в которой содержится как эта линия, так и бесконечное число других линий, а бесконечность плоскости будет, в свою очередь, бесконечно меньшей, чем бесконечность трёхмерного пространства. Самой невозможности сосуществования всех этих якобы бесконечностей, некоторые из которых считаются бесконечными в одинаковой степени, а другие в разной степени, достаточно, чтобы доказать, что ни одна из них не может быть поистине бесконечной, даже помимо рассмотрений каких-либо соображений более высокого метафизического порядка. Поскольку значение этих истин, безусловно, невозможно переоценить, снова считаем необходимым повторить: очевидно, что, если предполагать наличие множественности различных бесконечных, каждое из них будет ограничено другим, что равнозначно тому, что они будут исключать друг друга. При этом, "инфинитисты" (у которых это словесное нагромождение "бесконечности бесконечностей", по правде говоря, кажется, производит некоторую, если можно так выразиться, "умственную интоксикацию") не отступают перед лицом таких противоречий, поскольку, как уже было сказано, они не видят проблемы в утверждении существования различных бесконечных чисел и, следовательно, в утверждении, что одна бесконечность может быть больше или меньше другой; но абсурдность таких утверждений слишком очевидна, и тот факт, что они широко употребляются в современной математике, ничего не меняет, но только показывает, до какой степени в наше время утеряно чувство элементарной логики. Ещё одно не менее вопиющее противоречие может быть обнаружено в случае примера с замкнутой, следовательно, очевидно и наглядно конечной поверхностью, которая тем не менее (как утверждается) содержит бесконечное количество линий – например, сфера, которая содержит бесконечное количество окружностей; здесь мы имеем конечную ёмкость, содержимое которой бесконечно – как, вместе с тем, обстоит дело и в том случае, когда признаётся (как у Лейбница) "актуальная бесконечность" элементов непрерывного множества.

Напротив, нет никакого противоречия в допущении сосуществования множества неопределённых величин различных порядков. Так, линия, неопределённая в одном измерении, может в этом смысле рассматриваться как составляющая простую неопределённость первого порядка; поверхность, неопределённая в двух измерениях и объемлющая неопределённое множество неопределённых линий, может рассматриваться как неопределённость второго порядка; а трёхмерное пространство, объемлющее неопределённое количество неопределённых поверхностей, таким же образом будет неопределённостью третьего порядка. Здесь важно ещё раз подчеркнуть, что, как мы сказали, "поверхность объемлет неопределённое количество линий", а не "состоит из неопределённого количества линий", так же как линия не состоит из точек, а скорее заключает в себе неопределённое множество точек; то же самое в случае объёма по отношению к поверхностям – трёхмерное пространство является ничем иным, как неопределённым объёмом*. Вместе с тем, всё это, по сути, повторяет сказанное нами по поводу "неделимых" и "структуры континуума"; как раз вопросы такого рода, именно в силу их сложности, требуют наиболее строгого изложения. В этом отношении также следует добавить, что если с некоторой точки зрения можно обоснованно считать, что линия порождается точкой, поверхность линией, а объём поверхностью, это в сущности предполагает, что точка, линия или поверхность смещаются посредством непрерывного движения, включающего неопределённое множество последовательных** положений; и такой способ рассмотрения совершенно отличен от рассмотрения всех этих положений по отдельности, то есть от рассмотрения этих точек, линий и поверхностей как постоянных и определённых, в качестве составляющих части или элементы линии, поверхности или объёма, соответственно. Таким же образом, только наоборот, при рассмотрении поверхности как пересечения двух объёмов, линии как пересечения двух поверхностей и точки как пересечения двух линий, эти пересечения, конечно же, никоим образом не должны рассматриваться как части объёмов, поверхностей и линий; они представляют собой только их пределы или края, как заметил Лейбниц.

* Здесь Генон скорее сближается со взглядами тех континуалистов, которые считали, что континуум получает протяжённость и непрерывность не посредством "движения" своих составляющих, а посредством самого себя (см. прим. к гл. 15). В любом случае, взгляды Генона на природу континуума, как и на дискретную онтологию, не обнаруживают "наиболее строгого изложения", а являются крайне невнятными, что ярко проявляется в гл. 23. (прим. перев.)

** "Последовательность" может иметь место только в случае дискретного, но не континуального. О взглядах Генона на "порождение" линии, плоскости и т.д. "движением" см. прим. к гл. 15. (прим. перев.)

Согласно только что сказанному, каждое измерение как бы вводит новый градус неопределимости в пространство, то есть в пространственный континуум, поскольку он подвержен неопределённому возрастанию протяжённости, и таким образом каждое измерение составляет то, что можно обозначить как последовательные степени неопределённого¹; и можно сказать, что неопределённая величина некоторого порядка или степени содержит неопределённое множество неопределённых величин низшего порядка или предыдущей степени. Поскольку применительно ко всему этому речь идёт только о неопределённом, эти соображения, так же как и иные подобного рода, имеют совершенно приемлемый характер при любой точке зрения, ибо между множественными различными неопределёнными величинами не существует несовместимости, так как эти величины, несмотря на их неопределённость, всё же в принципе конечны по своей природе и, как и все иные частные и обусловленные возможности, ввиду этого прекрасно могут сосуществовать внутри всеобщей Всевозможности – а одна лишь она является бесконечной, поскольку она тождественна универсальному Всему². Эти же самые соображения принимают невозможные и абсурдные формы только когда неопределённое смешивается с бесконечным; так, в случае понятия "бесконечного множества" мы снова имеем пример, в котором кроется противоречие, присущее так называемому обусловленному бесконечному, – оно искажает здесь другую идею, идею множества, хотя саму по себе не противоречивую, но этим самым превращаемую практически в неузнаваемую.

1 Ср.: Символизм креста, гл. 12.

2 Ср.: Множественность состояний сущего, гл. 1.

Мы только что говорили о различных степенях неопределимости в отношении величин, взятых в порядке возрастания; применяя то же понятие к порядку убывания, мы выше уже обосновали соображение различных порядков бесконечно малых величин, возможность которых тем более очевидна в свете отмеченного нами ранее соответствия между неопределённо возрастающими и неопределённо убывающими величинами. Среди неопределённых величин различных порядков величины, принадлежащие к порядкам после первого, всегда будут неопределённы по отношению к величинам предыдущего порядка, а также по отношению к определённым величинам; и, в свою очередь, в отношении бесконечно малых величин различных порядков равным образом можно обоснованно считать, что величины каждого из порядков являются бесконечно малыми не только по отношению к обычным величинам, но и по отношению к бесконечно малым величинам предыдущих порядков³. Не существует абсолютной разнородности между неопределёнными величинами и обычными величинами, как и между бесконечно малыми величинами и обычными величинами; коротко говоря, это вопрос различия только в степени, но не в роде, поскольку в действительности рассмотрение неопределённости любого порядка или степени никогда не выводит нас за пределы области конечного; к тому же видимость коренной разнородности между различными порядками величин (по сути, совершенно невнятная) становится возможной только в результате ошибочного представления о бесконечном. Для устранения такой разнородности должен быть введён тип континуальности, весьма отличный от рассмотренного Лейбницем в отношении переменных и их пределов и значительно лучше укоренённый в реальности, ибо вопреки конструкциям Лейбница различие между переменными и постоянными величинами в принципе подразумевает различие их природы.

3 Согласно установившейся практике, мы употребляем термин "инфинитезимальные" [infinitesimal] (бесконечно малые) для обозначения неопределённо убывающих величин, а неопределённо возрастающие величины называем просто "неопределёнными"; достаточно странно, что Карно называл и те, и другие "инфинитезимальными" [infinitesimal], вопреки не только установившейся практике, но и очевидному происхождению этого термина. Хотя мы и продолжаем употреблять термин "бесконечно малые" ["инфинитезимальные" – infinitesimal], мы должны заметить, что этот термин обладает одним существенным недостатком, а именно, он очевидно происходит от слова "бесконечный" ["infinitesimal" от "infinity" – прим. перев.], что едва ли позволяет ему соответствовать обозначаемой им идее; для адекватного его употребления следует, так сказать, не принимать во внимание его происхождения или, по крайней мере, придать ему чисто "исторический" характер, как проистекающему из концепции "прочно укоренённых фикций" Лейбница.

При таких условиях, сами обычные величины могут некоторым образом рассматриваться как бесконечно малые относительно неопределённо возрастающих величин, по крайней мере, при рассмотрении переменных, ибо, если величина может быть задана столь большой, сколь угодно относительно другой, то, в свою очередь, эта другая будет подобным образом столь малой, сколь угодно относительно первой. Мы заметили, что должны рассматриваться переменные, потому что бесконечно малая величина всегда должна пониматься как в принципе переменная, и это ограничение свойственно самой её природе; вместе с тем, величины, принадлежащие двум различным порядкам неопределённости, неизбежно являются переменными относительно друг друга, и это свойство взаимной и обоюдной переменности совершенно симметрично, ибо, согласно сказанному только что, считать одну величину неопределённо возрастающей относительно другой равнозначно тому, чтобы считать эту другую величину неопределённо убывающей относительно первой; без этой взаимной переменности не может быть ни неопределённого возрастания, ни неопределённого убывания, а только определённые находимые соотношения между двумя величинами.

Таким же образом, если имеет место изменение положения двух тел А и Б, сказать, что тело А находится в движении относительно тела Б равнозначно тому, чтобы сказать, что тело Б находится в движении относительно тела А, по крайней мере, если рассматривать только изменение их положения само по себе; в этом отношении, понятие взаимного движения являтся столь же симметричным, как и только что рассмотренное понятие взаимной переменности. Поэтому, согласно Лейбницу – который использовал это понятие для демонстрации недостаточности картезианского механицизма как физической теории, стремившейся дать объяснения всем природным явлениям, – невозможно различить состояния движения и покоя при рассмотрении только изменений положения; для их различения необходимо привлечь нечто иного порядка, а именно понятие силы, которая является непосредственной причиной таких изменений, и которая может быть приписана только одному телу, и, таким образом, обнаруживает нахождение причины изменений в одном теле и только в нём одном⁴.

4 См.: Лейбниц, Discours de Métaphysique, гл. 18; ср.: Царство количества и знамения времени, гл. 14.

Глава 21.