Необхідність формалізації причиново-наслідкових — відношень у вивченні економічних процесів

Для вивчення процесів взагалі та економічних процесів зокрема існують різноманітні формальні методи. Один з них - метод причинового аналізу - має на меті створити такий опис системи пов'язаних між собою змінних, який дає змогу вказати змінні, що є "причинами" і "наслідками" та прогнозувати значення останніх по перших. Введемо наступне визначення.

ВИЗНАЧЕННЯ 3.3. Подія - це вектор, компонентами якого можуть бути різноманітні параметричні зміни, які виникають внаслідок процесів, що відбуваються в системі. Надалі будемо позначати події великими латинськими літерами А,В, С та ін.

ВИЗНАЧЕННЯ 3.4. Причиновий зв'язок - це таке поєднання процесів реальної дійсності, при якому зміна одного з них є наслідком зміни іншого. З визначення 3.4 випливає, що наслідок має визначене розташування у просторі та часі.

ВИЗНАЧЕННЯ 3.5. Оператор - це речовинний пристрій або наділений структурний процес, який забезпечує виконання причи­нового зв'язку. Оператор складається зорганізованих компонентів. Вони також оператори, бо являють собою пристрої для перетворення однієї події в іншу. Для того, щоб оператор знаходився в області поперед­ньої події, він повинен бути відповідним чином погоджений у просторі та часі.

З метою спрощення події можуть розумітися як поля, що беруть початок в операторі, який їх утворює, але розповсюджуються у просторі та часі від свого початкового просторово-часового місце­знаходження. Таким чином, між двома подіями може існувати причиновий зв'язок тільки у тому випадку, коли деякий оператор здійснює перетворення. Тому перша подія є причиною другої тільки тоді, коли перша погоджується з деяким оператором, який на неї реагує і має здатність спричиняти другу [28].

Тепер ми можемо дати більш формальне трактування причиновості, застосовуючи наступне визначення.

ВИЗНАЧЕННЯ 3.6. Подію А назвемопричиною події В тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови:

1) існує оператор, який породжуєВ, реагує на А і створений таким чином, що зв'язок між А і В можна розкласти у послідовність сумісних компонентів з полями подій, які перетинаються;

2) здійснення події А погоджене з існуванням оператора умови 1), - він завжди існує у полі події А;

3) коли умови 1) і 2) виконуються, оператор є ізольованим від полів подій, які відрізняються від А, причому ні А, ні В не присутні заздалегідь, тоді здійснення А завжди починається до початку здійсненняВ;

4) коли умови 1) і 2) виконуються, А тягне за собоюВ; тобто протягом деякого проміжку часу здійснення А завжди супрово­джується здійснюваннямВ, хоча В може бути присутнім без А або ж обидві події можуть бути відсутні.

Виходячи з вищевикладеного, сформулюємо стисло основні особливості, притаманніпричиновому висновку:

а) одна подія не є безпосередньою причиною іншої, якщо немає жодного діючого оператора, який міг би бути основою цього зв'язку;

б) подія не може бути причиною іншої події, якщо перша подія не узгоджується з існуючими операторами;в) причинами події не можуть бути інші події, які здійснюються після цієї події;

г) якщо подія А здійснюється без наступного здійснення подіїВ,то А не є причиноюВ за даних обставин.

Таким чином, процедури причинового аналізу акцентують увагу на конфігураціях подій у часі або в конкретні моменти часу, а не на змінах взагалі. Причинова обумовленість породжує моделі подій, а вивчення останніх може забезпечити розуміння причинових відношень, які їх породжували. Це має дуже важливе значення з точки зору питань вирішення задач керування [28].

3.3. Про алгебру каузацій. Причиновий аналіз як один із засобів формалізації причиново-наслідкових відносин на різних класах економічних моделей

Розглянемо зараз питання, які безпосередньо пов'язані із побудовоюалгебри каузацій (каузація - встановлення зв'язку двох явищ або фактів). У суворій формі каузація встановлює причиново-наслідкові зв'язки між явищами або фактами. У більш широкому розумінні каузація встановлює вплив одних явищ або фактів на інші і відображується у моделях знань у вигляді каузальних сіток і сценаріїв. При вузькому розумінні каузація в тих же моделях призводить до причиново-наслідкових сіток.

У [28] подано одну з можливих формальних методик побудови каузальних теоретичних моделей, яка базується на застосуванні спеціального виду математичних формулювань - течієвих графів, які являють собою рівняння, що описують ці моделі у наочній формі. При застосуванні невеликої кількості правил, що піддаються інтерпретації, можна отримати формалізовані математичні висновки, викори­стовуючи лише процедури накреслювання і вивчення цих графів.

Течієвіграфи - це міст між якісними теоріями і більш абстрактними представленнями інших теорій, які використовують мову рівнянь. Побудова течієвого графу починається із введення визначень усіх змінних, які підлягають розгляду. Кожна змінна позначена на діаграмі символом або абревіатурою. Фактично процес конструювання течієвого графу припускає розгляд однієї змінної у деякий момент часу і дослідження її причи­нових відношень з іншими змінними системи. Процедура побудови діаграми, яку розглянуто нижче, застосовується тільки длябезпо­середніх причинових відношень.

ВИЗНАЧЕННЯ 3.7. Причинове відношення назвемобезпосе­реднім, якщо зміна значень однієї із змінних зумовлює зміну значень другої змінної без необхідної зміни будь-якої третьої змінної між ними, яка спеціально вказується.

Суцільна (пряма) лінія між символами позначає безпосередній причиновий зв'язок для даної пари змінних. Стрілка вказує напрямок причиновості - у бік залежної змінної (наслідку). Записувати це будемо у вигляді: Х→У, тобто Х є причиною для наслідку У.

Причину бажано розміщати на графі ліворуч або зверху, а наслідок - праворуч або знизу.

Кожний причиновий шлях позначається єдиним визначаючим символом.

Шляховий символ припускає дві інтерпретації. Перша - він ясно виражає, що оператор повинен встановлювати визначене причиново-наслідкове відношення і дає способи специфікації оператора при обговоренні. Друга - символ виражає кількісний опис оператора.

Як кількісна характеристика символ може означати харак­теристичну таблицю, складну формулу або число.

У цій лекції розглядаються лише лінійні перетворення, і шляховий символ є структурним коефіцієнтом часткового причи­нового відношення. Звичайно, для позначення шляхових символів, використовуються стандартні літериа, с, е,p, f, g, q тощо (символ b резервується для інших цілей). Якщо літер недостатньо, додаються індекси. При індексуванні структурному коефіцієнту завжди припи­суються два індекси: перший індекс характеризує залежну (тобто вихідну) змінну (наслідок) даного відношення; другий - незалежну (тобто вхідну) змінну (причину).

Наприклад, Х ª Yозначає, що Х є причиноюY, а символ "а" характеризує тип операції, яка перетворює змінну Х у змінну Y. У подальшому припускається, що це перетворення - лінійне. У цьому випадку "а" виявляється також структурним коефіцієнтом,який описує це саме лінійне перетворення. Запис Х а ху Yозначає те саме, що було наведено вище, але тут структурний коефіцієнт визначається індексом більш конкретно.

Подання причинового зв'язку у вигляді Z1 ª²¹ Z2означає, що Z1 є причиною Z2 і " a21" знову позначає структурний коефіцієнт, що описує як величинаZ1перетворюється у величину Z2.

Якщо числова оцінка значення структурного коефіцієнта невідома, але відомий його знак, то корисна інформація на пояс­нюючій діаграмі також буде наведена. Наприклад, якщо зростання Хпризводить до зростанняY, то це будемо записувати у вигляді:

а yx(+)

X Y

Розглянемо деякі можливі ситуації, які виникають при побудові теоретичної моделі економічного процесу, у вигляді течієвих графів і процедури укладання по них структурних рівнянь:

1.Вітки:

XНаведена на рис.3.1 діаграма,означає, що

Х- безпосередня причина як дляZ,так і

a dдля Y.Крім того,Y- безпосередня

причина Z.

Y с Z

Рисунок 3.1 - Вітки

2. Петлі:

Діаграми, які наведені на рис.3.2 а), б), в)ілюструють:

а) X Y а) Х - причина Y, а Y - причина X

б) б) опосередкована петля зворотного зв'язку У

X залежить від X, Z залежить від Y, а Xзалежить

adвід Z;

Y c Z

в)

V в) опосередкована петля зворотного зв'язку, яка a може залишитись невідміченою у якісній теорії,

W g стає явною, як тільки діаграма буде накреслена.

X d Y f Z

Рисунок 3.2 - Петлі

3. Прості петлі:

a ↓ ↑ a

X, X, X→ а Наведені на рис.3.3 всі три зображення еквіва-

Рисунок 3.3 – Прості петлі лентні.

Символом "а" позначена операція або множина операцій, які перетворюють змінну Ху наступну,але ту саму, змінну X.

4.Відсутність стрілок:

Відсутність стрілки свідчить про відсутність (за наявністю серйозних аргументів) - або невизначеність причинового зв'язку у даній системі. У випадку невизначеності зв'язку, тобто кожного разу, коли виникають сумніви, краще додати стрілку. При подальшому вивченні системи накопичуються серйозні аргументи, що дозволяють або ліквідувати стрілку, або ж залишити її, або ж змінити її напрямок. Процедура накопичування вказаних аргументів визначається принципами причинового виводу.

5. Збурення:

Збурення позначається окремим символом поряд із збурюваль­ною змінною: напрямок стрілки - від збурення до змінної.

Uy Зображення на діаграмі (рис.3.4) зовнішніх

збурень означає , що Х впливає наY, але на Y

впливають ще інші невизначені фактори, які

X a Yнаведені сукупно через Uy.

Рисунок 3.4 - Збурення

Збурювальні члени звичайно позначаються літерою U із нижнім індексом. Індекс визначається тією змінною, на яку впливає це збурення.

Для ідентифікації стрілки, яка іде від збурень до залежних змінних користуються двома угодами. З одного боку, збурювальний фактор можна розглядати у вигляді змінної із своїми внутрішніми властивостями, яка вимірюється у деякій специфічній шкалі. Стрілки позначаються літерами- а, с, р тощо із двома нижніми індексами: перший збігається із символом залежної змінної, другий - із літерою U, показуючи, який саме фактор розглядається. Наприклад, стрілка від U до Vпозначається, як ауи. З іншого боку, збурювальний фактор може бути виражений у тій самій шкалі, що і залежна змінна, на яку він впливає. У цьому випадку немає необхідності позначати стрілку, бо вона завжди означає одне і те саме перетворення: залежна змінна змінюється на ту саму величину, що і збурювальна. Це - тотожнє перетворення із структурним коефіцієнтом, який дорівнює одиниці, що є умовою відсутності мітки.

6. Нелінійні співвідношення:

Для зазначення на діаграмі ситуації, коли перетворення має такий вигляд лише при перевищенні вхідної змінної деякого порогу, вводиться спеціальне правило. Стрілка перекреслюється короткою поперечною рисою, помічається, з якого значення вхідної змінної діє причиновий оператор. На рис. 3.5 наведено приклад, на якому обмежувач на діаграмі вказує на нелінійність.

Нелінійні відношення досить складні і в нашому курсі не розглядаються.

Х YОднак, зауважимо, що єдиний обмежувач може

5aбути легко виключений шляхом перетворення

Рисунок 3.5 – Нелінійні діаграми у дві інші - одна застосовується нижче співвідношення значення граничного, а друга - вище (рис.З.6).

Х X X

3 d <=> a d d

a

Y c Z Y c Z Y c Z

для Х≥3 для Х<3

Рисунок 3.6 - Нелінійні співвідношення

Для зображення взаємодії змінних іноді використовують інший вид побудови діаграм. В кінці стрілок від взаємодіючих змінних вміщається коло, яке відмічає залежну змінну зовні і містить всередині символ (звичайно f або g), що виражає спеціальне пере­творення значення вхідних змінних у значення залежної змінної. Наведена на рис.3.7 діаграма означає вираз виду: Z=Х*У. Альтер­нативою зображення мультиплікативної взаємодії схеми, яка представлена на рис.3.7 є рис.3.8:

X

Y

X Z

Рисунок 3.8 – Нелінійне співвідношення

Y (альтернативне зображення)

Рисунок 3.7 – Нелінійне

співвідношення

7. Аналіз потокових графів:

У подальшому розглядаються тільки стійкі системи, всі змінні яких у час спостереження були стабілізовані в незмінюваних або статичних значеннях. Обмеження нелінійності відношень потребує виміру змінних у інтервальній шкалі, так, що виконуються власти­вості адитивності та пропорційності. Взагалі не потрібно, щоб шкала була інтервальною, достатньо її деякого наближення. Техніка виміру в соціальних та економічних науках досить розвинута, щоб забез­печити прийнятну апроксимацію інтервального виміру для аналізу багатьох каузальних систем.

8. Складання рівнянь:

Значення змінної, що визначається єдиним входом, дорівнює значенню входу, помноженому на структурний коефіцієнт:

a)X a Y <=> Y=aX;

б)

X а Y<=> Y=aX+3.

Значення змінної, що визначається однією або декількома вхідними величинами, дорівнює сумі вхідних значень, помножених відповідно на їх структурні коефіцієнти. Порядок підсумовування не має ніякого значення, тобто володіє властивістю комутативності:

X

a

Z <=> Z=aX+cY або Z=cY+aX;

c

Y

Uy <=> Y=aX+1*Uy=aX+Uy абоY=Uy+aX

X а Y

9. Зображення структурних рівнянь:

Для кожної залежної змінної шляхи, які відходять від змінної, при написанні рівняння для цієї змінної, не враховуються, але кожна вхідна стрілка вказує член, який повинен бути врахований. Змінна із петлею зворотного зв'язку розглядається так само, як й інша змінна: рівняння для неї містить члени для кожної з її безпосередніх входів навіть у тому випадку, коли ця вхідна змінна міститься в деякій іншій петлі зворотного зв'язку. В економічної літературі (у тому числі і економетричній) залежні змінні називаються ендогенними змінними, а змінні, значення яких визначаються зовнішніми для системи числами — екзогенними.

10. Правило редукції:

Якщо одна змінна визначає іншу, а та, в свою чергу, визначає третю, то значення третьої змінної може бути виражене як значення першої змінної помножене на добуток структурних коефіцієнтів вздовж ланцюга. Цей самий принцип застосовується, коли ланцюг має більш ніж дві ланки:

A c ac

X Y Z <=> Z=acX <=> X Z

Щоб виразити значення залежної змінної через численні безпосередні та посередні входи, спочатку отримують окремі впливи вздовж кожного ланцюга по правилах п.8 - складання рівнянь і п.10 - правилу редукції. Потім підсумовують усі впливи відповідно до правила 8 пп. с) і д). Приклад наведений на рис. 3.9.

W W

a a

Z Z <=> Z=aW+cdX

d cd

Y X

c

X

Рисунок 3.9 – Правило редукції

Коли на вхідну змінну діють декілька непрямих вхідних джерел через одну й ту саму проміжну змінну, ланцюг від кожного джерела визначається автономно,так якби інших джерел не було. Наприклад, дивись рис. 3.10.

W W

a ad

d

Y Z => Z <=> Z=adW+cdX

C cd

X

Рисунок 3.10 – Правило редукції

Це правило краще застосовувати, коли існує декілька вхідних змінних, а не одна. Якщо проміжна змінна схильна до збурення, збурювальний член інтерпретується як ще одне джерело.

Якщо джерело і залежна змінна пов'язані багатьма шляхами, то зв'язок між ними дорівнює сумі впливів вздовж кожного окремого шляху. Вплив вздовж шляху знаходиться за правилами складання рівнянь - п.8 і правилом редукції. Порядок підсумовування не має значення. Ситуацію, що відповідає цьому випадку, наведено на рис. 3.11.

Х X X

d <=> ac d або (аc+d)

a

Y c Z Z Z

<=> Z=acX+dX або Z=(ac+d)X

Рисунок 3.11 – Правіло редукції

Правило, наведене на рис. 3.11 свідчить, що вплив однієї змінної на іншу відбувається по усіх ланцюгах, які зв'язують обидві ці змінні.

11. Додаткова інтерпретація правил:

Правило редукції для ланцюга означає що, якщо всі коефіцієнти вздовж ланцюга додатні, то зростання джерела зумовлює зростання кінцевої змінної, а спадання джерела зумовлює спадання кінцевої змінної. З іншого боку, єдиний від'ємний знак де-небудь вздовж лан­цюга призводить до протилежного правила напрямку зміни від входу до виходу. У загальному випадку, якщо в ланцюгу відсутні від'ємні коефіцієнти або число їх парне, то і зміна у джерелі веде до зміни залежної змінної того самого знаку. Якщо у ланцюгу з'являється непарне число від'ємних коефіцієнтів, зміни у значенні вхідної змнінної зумовлюють зміни кінцевої змінної у протилежних напрямках.

12. Потокові графи із петлями:

ВИЗНАЧЕННЯ 3.8. Ланцюг стрілок, що відходить від деякої змінної і повертається, врешті-решт, назвемо петлею, за умови, що вздовж всього шляху жодного разу не змінюються напрями стрілок і, що увесь шлях не проходить ні через одну змінну більше, ніж один раз, за винятком змінної, яка прийнята за початок, через яку, вважається, шлях проходить двічі.

На рис. 3,12 - 3.15 наведені приклади течієвих графів із петлями.

a

X Y

Рисунок 3.12 - Проста петля

Z

C d

X a Y

Рисунок 3.12 - Петля взаємодії

а) б)

W a X V a W f Z

C e c e

Y d Z X d Y

Рисунок 3.14 - Опосередковані петлі зворотного зв’язку

V W Z

G c e f

X d Y

Рисунок 3.15 - Граф з однією петлею (WXY)

На рис 3.16 наведені більш складані графи систем.

W a X

c d f

Y e Z

Рисунок 3.16 - Система із трьома петлями (XY), (ХYZ), (Z)

На системі, яку наведено на рис. 3.16 показаногніздо петель,тобто множину петель, ланцюжки яких частково перехрещуються. Петлю гнізда необхідно ідентифікувати як окрему, якщо тільки ця петля відмінна від інших, до крайньої міри, єдиною стрілкою. Петлі, які є суміжними, не породжують гнізда.

13. Ефект зворотного зв'язку:

"Ефект зворотного зв'язку" петлі, що позначається літероюL,дорівнює добутку коефіцієнтів вздовж петлі.

Приклад обчислення L наведено на мал. 3.17.

а) V a W f Z б) V a W

c e c d g

X d Y X e Y f Z

Lwxyz=cdef Lwxyz=cefg, Lwyz=dfg

Рисунок 3.17 - Ефект зворотного зв'язку

Ефект зворотного зв'язку, "зворотний ефект", допускає змістовну інтерпретацію. Він вказує, на скільки одиниць зміниться змінна петлі протягом одного циклу змін вздовж всієї петлі, що пройшов після початкової зміни значення на одну одиницю.

Ланцюжок стрілок являє собою "відкритий" шлях, якщо вздовж неї немає жодного обертання напрямку і, якщо стрілки цього шляху не направляються ні на одну змінну більше одного разу. Приклад відкритого шляху для системи, яка має один відкритий шлях між W та Z (WXYZ)і два відкриті шляхи між Y та Z (YZ)(ZXY)наведено на рис 3.18:

W a X V

C f e

Y d Z

Рисунок 3.18 - Приклад відкритого шляху

14. Ефект відкритого шляху:

"Ефект відкритого шляху", що позначається через Е, дорівнює добутку коефіцієнтів вздовж усього ланцюга відкритого шляху. Приклади обчислення ефекту відкритого шляху, наведено на рис. 3.19 і 3.20.

f

W a X e Y d Z => Ewxyz=acd

c g

Рисунок 3.19 – Приклад обчислення ефекту відкритого шляху

W a X

Ewx=a; Exy=c; Eyz=d;

c e => Ewxy=ac; Ewxyz=acd;

Exyz=cd; Eyzx=de; Ezxy=ec.

Y d Z

Рисунок 3.20 – Приклад обчислення ефекту відкритого шляху

15. Стичні шляхи:

Дві петлі назвемо"стичними", якщо їх ідентифікатори містять один або декілька загальних символів.

Петля дотикається відкритого шляху, якщо будь-який символ з ідентифікатора відкритого шляху (за винятком найпершого) присутній також в ідентифікаторі петлі.

Ідентифікатори петель і відкритих шляхів являють собою список змінних, які ідуть вздовж відповідних шляхів. На рис. 3.21 наведено приклад, у якому петля (WX)дотикається відкритого шляху (VWZ)але не (WZ), а петлі (WX) (XY)стикаються.

a

W d X f Y

c e

g

Z

Рисунок 3.21 – Приклад стичних шляхів

Концепція "дотику" дає змогу визначити релевантний зворотний зв'язок таким чином. Нехай змінна Х буде вхідною змінною для Y, тобто Х впливає на Yбезпосередньо або опосередковано, а Yне впливає на Х ні прямо, ні опосередковано. Очевидно, від Х до Yповинен бути один або декілька відкритих шляхів. Якщо в цій системі присутні такі петлі, то релевантний зворотний зв'язок дляХ-Y - відношення є множина всіх петель, що дотикаються хоча б одного із відкритих шляхів від Х до Y, плюс додаткові петлі, які дотикаються петель першої множини, плюс нові петлі, що дотикаються попередніх і тому інше.

16. Редукція петель:

Основні принципи аналізу графів систем із петлями були запропоновані для технічних додатків Самуелем Месоном у 1951 р. Основне правило формулюється наступним чином:

Повний ефект впливу Т деякої вхідної змінної на довільну залежну змінну може бути розрахований наступним чином: нехай Е, E1, Е2,...суть окремі ефекти відкритих шляхів входу на залежну змінну;L, L1 , L2 ,... - зворотні ефекти для всіх окремих петель, які забезпечують релевантні зворотні зв'язки.

Тоді

(E+E1 +E2 +…)(1-L)(1-L1 )(1-L2 )… *

Т =

(1-L)(1-L1 )(1-L2 )…

де [•]* є спеціальний оператор, який позначає, що спочатку і в чисель­нику, і в знаменнику відбувається множення, потім викреслюються члени, які дорівнюють добуткам ефектів дотичних шляхів, і тільки потім відбувається ділення.

Розглянемо приклад обчислення повного ефекту впливу. Нехай задано діаграму системи

A c

X Y Z

Оскільки міжХ і Z, існує тільки один відкритий шлях з ефектом Ехyz =ас і тільки одна петля із своїм зворотним ефектом Ly=d, отримаємо

Exyz(1-Ly1) * Exyz-ExyzLy *

T= =

1-Ly 1-Ly

Відкритий шлях від Х доZі петля (Y) дотикаються один одного, тому оператор [•]* вимагає знищення члена ExyzLy. У результаті отримаємо:

Exyz ac

Tzy= =

Ly 1-d

Про властивості стабільності з єдиною петлею свідчить значення ефекту зворотного зв'язку. Якщо абсолютна величина зворотного ефекту більша за одиницю або дорівнює їй (тобто, величина зворотного ефекту ≤ -1 або ≥+1), система буде нестійкою. Якщо величина зворотного ефекту знаходиться між "-1" і "+1", то система з єдиною петлею буде стійкою.

Система з багатьма петлями може бути нестійкою, навіть якщо кожна індивідуальна петля окремо породжувала б стійкість. І, навпаки, якщо на діаграмі присутня тільки одна петля, то її вплив позначається просто у поправці всіх коефіцієнтів відкритих шляхів її дотичних на множник 1/[1-L].

На рис. 3.22 наведено приклад, який включає найбільш важливі моменти стичних шляхів і редукпії петель.

X₁

a₂₁ a₃₁

X₂ a₃₂ X₃ a₄₃ X₄

a₅₂ a₂₃ a₃₄

X₅

Рисунок 3.22 – Приклад стичних петель і редукції петель

Від X1до X5 існують два відкритих шляхи:

Е125=a21a52

E1325=a31a23a52

У системі дві петлі:

L23=a32a23 і L34=a21a52 • а43а34

Тому повний ефект від X1до Х5 дорівнює:

(E125+E1325)(1-L23)(1-L34)*

T=

(1-L23)(1-L34)

Спочатку розкриємо дужки знаменника, тому що він є і в чисельнику і в знаменнику.

У результаті перемноження дужок отримаємо:

1-L23-L34+L23L34.

Два ефекти в останньому члені належать до дотичних петель, тому даний член відкидається. Отже:

[1-L23-L34+L23L34]*=1-L23-L34.

З урахуванням цього співвідношення перепишемо формулу для Т51 у вигляді

[(E125+E1325)(1-L23)(1-L34))]*

T51= 1-L23-L34

Добуток у верхній частині відношення має вигляд:

E125+E1325=E125L23-E1325L23-E125-L34-E1325L34

Підкреслені члени виразу містять співмножник - ефекти, які належать до дотичних шляхів, тому миїх опускаємо. У результаті такої процедури отримаємо:

E125+E1325-E1250*L34 E125(1-L34)+E1325

T51= =

L23L34 1-L23-L34

Підставляючи тепер замість кожного ефекту їх більш конкретне значення, отримаємо:

a21a52(1-a43a34)+a31a23a32

T51=

A32a23-a43a34

17. Зведена форма системи:

Як тільки будуть отримані всі повні ефекти, які пов'язують кожну залежну змінну зі всіма вхідними змінними, можна побудувати зведену форму діаграми, щоб показати зв'язок кожної залежної змінної безпосередньо із вхідними і відкинути проміжні змінні. На рис. 3.23 наведено приклад, в якому в діаграмі наведеної форми петлі відсутні.

X₁ X₁ T₄₁

X₄

a₂₁ a₃₁ T₂₁ T₃₁

X₂ a₃₂ X₃ a₄₃ X₄ => T₅₁ X₃

a₅₂ a₂₃ a₃₄ X₂

X₅ X₅

Рисунок 3.23 – Приклад діаграми з відсутністю петель

18. Частковий добуток:

Петлі можуть бути еліміновані із графа перетворенням їх у гіпотетичні "вхідні" змінні, що лежать між петлею і рештою частини графа. На рис.3.24 наведено діаграму, яка введенням новіх – гіпотетичніх змінніх Y₀ та Z₀ елімінує її петлі.