Следует обратить внимание на различие временных баз, используемых при наращении и учете.

PV₂ = PV₁ • (1 + n₁ • i ) • (1 - n₂ • d ) =

= 50'000 • (1 + 100 / 365 • 0,4) • (1 - 25 / 360 • 0,25) = 54'516 руб.

Следовательно, сумма, получаемая при учете данного обязательства, составит 54'516 руб.

ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ И ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

Краткая теория.

До сих пор мы рассматривали случаи финансовых операций, состоящих из отдельного разового платежа, например, получение и погашение долгосрочной ссуды.

Вместе с тем, погашение такой ссуды возможно не только единовременным платежом, но множеством распределенных во времени выплат.

В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей.

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций:

с ценными бумагами,

в управлении финансами предприятий,

при осуществлении инвестиционных проектов,

в кредитных операциях,

при оценке бизнеса,

при оценке недвижимости,

выборе альтернативных вариантов финансовых операций

и т. п.

Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

· член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа;

· период ренты (t) – временной интервал между членами ренты;

· срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;

· процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.

Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей.

В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:

· В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют

o годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году;

o срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года.

· По числу начислений процентов различают

o ренты с начислением 1 раз в год;

o ренты с начислением mраз в год;

o непрерывное начисление.

· По величине членов ренты могут быть

o постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами;

o переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами.

· По числу членов ренты они бывают

o с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно;

o с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно.

· По вероятности выплаты ренты делятся на

o верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита;

o условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события.

· По методу выплаты платежей выделяют

o обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, – с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);

o ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).

Обобщающими характеристиками финансовых потоков являются:

· наращенная сумма;

· современная величина потока платежей.

Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.

Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i).

Рассмотрим определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной ренты:

где

FVA – наращенная сумма ренты;

R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;

i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;

n – срок ренты в годах,

s _n;i – коэффициент наращения ренты.

Однако рассматриваемая формула используется только при начислении процентов один раз в год, но возможны случаи и неоднократного начисления процентов в течение года, тогда используют следующую формулу:

где

j – номинальная ставка процентов.

Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году.

Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:

Также нередки случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ≠ m.

Тогда формула, по которой можно определить наращенную величину финансовой ренты примет вид:

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода.

Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов.

Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i) раз.

Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов один раз в год формула примет вид:

Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз в год:

Помимо наращенной суммы обобщающей характеристикой потока платежей является современная величина.

Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов.

Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.

В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать.

В простейшем случае, для годовой обычной ренты с выплатами в конце каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная величина финансовой ренты равна:

Дробь в формуле – коэффициент приведения ренты (a_n;i), значения которого табулированы для широкого круга значений, поскольку зависят от ставки процентов (i) и от числа лет (n).

Рассмотрим расчет современной величины ренты для различных ее видов:

· годовая рента с начислением процентов несколько раз в год:

· срочная рента при начислении процентов один раз в год:

· срочная рента с неоднократным начислением процентов в течение года, при условии, что число выплат не равно числе начислений, т.е. p ≠ m :

Последовательные платежи в виде постоянной обычной годовой ренты определяются основными параметрами:

R – размер платежа;

n – срок ренты в годах;

i – годовая ставка процентов.

Однако при разработке условий финансовой операции могут возникать ситуации, когда заданной величиной является одна из двух обобщающих характеристик и неполный набор параметров ренты.

В таких случаях находят недостающий параметр.

При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:

а) наращенная сумма.

Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем (FVA), тогда величину последующих взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i можно определить по формуле:

б) современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:

Современная величина ренты пренумерандо рассчитывается путем умножения современной величины обычной ренты на соответствующий множитель наращения.

Если денежные поступления осуществляются достаточно длительное время и их число заранее не может быть известно, то такой поток называется бессрочным аннуитетом или вечной рентой.

В этом случае определение будущей величины такого аннуитета не имеет смысла.

Для данного вида финансовой ренты имеет смысл только характеристика современной величины потока платежей.

Поток, даже с неограниченным числом платежей все же имеет конечную приведенную стоимость, поскольку с финансовой точки зрения, деньги, поступающие через много лет, сейчас практически ничего не стоят.

Для бессрочного аннуитета постнумерандо формула современной величины принимает следующий вид:

При больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведенной величины срочного аннуитета можно пользоваться формулой бессрочного аннуитета, поскольку полученный приблизительный результат не слишком будет отличаться от точного значения, т.к. при сроке более 40-50 лет коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно отличаются друг от друга.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо в общем виде определяется из приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо, скорректированного на коэффициент (1 + i), т.е. отличается на величину первого платежа.

Если промежутки между последовательными поступлениями являются бесконечно малой величиной, то такой аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью.

При начислении непрерывных процентов для получения формул определения наращенной или современной величины потока платежей необходимо перейти к пределу, откуда:

· наращенная величина потока платежей

где

σ – сила роста.

· современная величина потока платежей

В финансовых операциях возможны ситуации, когда величина платежа либо увеличивается, либо уменьшается с течением времени, например, под влиянием инфляции.

В таких случаях говорят о нерегулярных потоках платежей.

Нерегулярные потоки платежей характеризуются присутствием хотя бы одного нерегулярного параметра: период ренты или размер платежа.

Для получения их обобщающих характеристик требуется прямой счет, т.е. вычисление соответствующих характеристик по каждому платежу и последующему их суммированию.

Однако в ряде случаев можно применять следующую формулу:

Примеры решения задач.

Задача 6.1:

На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%.

Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

Можно определить наращенную сумму постоянной ренты, воспользовавшись финансовыми таблицами, содержащими коэффициенты наращения ренты.

FVA = R • s_{5 ; 30} = 500 • 9,0431 = 4'521,55 руб.

Сумма взносов в течение 5 лет составит:

P = n • R = 5 • 500 = 2'500 руб.

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

I = FVA - P = 4'521,55 - 2'500 = 2'021,55 руб.

Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 2'021,55 руб.

Поэтапное решение:

* Взносы поступают в конце периода.

Таким образом, получается такая же сумма, как и по формуле наращения аннуитета.

Задача 6.2:

Рассмотрим предыдущую задачу, изменив условия: проценты начисляются поквартально.

Решение:

В этом случае рента с начислением процентов 4 раза в год, а общее количество начислений составит 20 раз.

Отсюда сумма всех взносов с начисленными на них процентами будет равна:

Отсюда сумма начисленных процентов будет равна:

I = FVA - P = 4'840,76 - 2'500,00 = 2'340,76 руб.

Переход от годового начисления процентов к ежеквартальному начислению заметно увеличил как наращенную сумму, так и сумму процентов.

Задача 6.3:

Определить по данным предыдущего примера современную величину ренты.

Решение:

Современная величина ренты составит:

Таким образом, все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 1'217,78 руб.

Задача 6.4:

Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50 тыс. руб.

Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.

Решение:

В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:

Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4'568 руб.

Задача 6.5:

Сумма 10 тыс. долларов предоставлена в долг на 5 лет под 8% годовых.

Определить ежегодную сумму погашения долга.

Решение:

Известна современная величина долга, отсюда:

Таким образом, ежегодно необходимо будет возвращать сумму 2'504,56 руб.

Можно произвести проверку: сумма долга с начисленными на нее процентами к концу пятого года будет составлять:

FV = 10'000 • (1 + 0,08)⁵ = 14'693,28 руб.

Наращенная сумма для потока платежей размером 2'504,56 руб. составит:

Следовательно, величина члена финансовой ренты определена верно.

Незначительное расхождение вызвано округлением расчетов.

Задача 6.6:

По приведенным данным о денежных потоках рассчитать для каждого наращенную величину, если потоки имеют место в конце года.

Процентная ставка 12% годовых.

Решение:

Для решения данной задачи произведем прямой расчет наращенной суммы по каждому периоду, представив данные в виде таблиц.

Наращение суммы для потока А:

Таким образом, наращенная сумма потока А через пять лет составит 1'325,21 рублей.

Наращение суммы для потока В:

Для потока В наращенная сумма через пять лет составит 765,59 рублей.

Если воспользуемся формулой, то

· для потока А наращенная величина составит:

FVA = 100 • (1 + 0,12)⁴ + 200 • (1 + 0,12)³ + 200 • (1 + 0,12)² +

+ 200 • (1 + 0,12)¹ + 300 = 1'325,22 руб.

· для потока В наращенная величина составит:

FVA = 200 • (1 + 0,12)⁴ + 200 • (1 + 0,12)² + 200 = 765,58 руб.