Построение кривой нормального распределения по опытным данным.

При проведении экспериментов полученные распределения результатов могут подчиняться различным математическим законам.

Так, например, в технологи машиностроения большое практическое значение имеют законы нормального распределения (закон Гаусса), равнобедренного распределения (закон Симпсона), закон равной вероятности и др., а также функции распределения, представляющие собой композицию этих законов. Многочисленные исследования показывают, что распределение действительных размеров деталей, изготовленных на металлорежущих станках, чаще всего подчиняются закону нормального распределения.

Кривая распределения при нормальном законе характеризуется рядом параметров:

1. Поле рассеивания размеров w, определяемое по полученному полигону распределения размеров или по предельным значениям размеров х_mах и x_min.

2. Центр группирования отклонений, положение которого в поле рассеивания соответствует среднему значению действительных размеров

. (5.1)

3. Среднеквадратическое отклонение размеров от среднего значения x_ср

(5.2)

Использование практических кривых распределения в виде ломаных линий (полигон распределения) для вывода общих закономерностей затруднительно. Поэтому их заменяют подходящими теоретическими кривыми, изображающими определенные законы распределения, задаваемые математическими уравнениями. В этих уравнениях вида у = f(x) отклонение размера служит аргументом, а его функция у представляет собой вероятность получения такого отклонения. Для удобства сопоставления практической кривой с теоретической обе кривые строят в одном масштабе. При этом вся площадь, охватываемая кривой, численно равна единице.

Уравнение этой кривой в координатах с началом в центре группирования (закон Гаусса) имеет вид

где е - основание натурального логарифма

Если поместить кривую распределения в систему координат, началом которой служит точка нулевого рассеивания, то она будет кривой распределения размеров. Если же в качестве нулевого принять среднее значение х_ср размера, то значения абсциссы представят собой значения погрешности обработки, а закон распределения размеров будет законом распределения погрешностей обработки деталей, входящих в партию.

Законы распределения размеров используются в технологии машиностроения для установления надежности проектируемого технологического процесса в плане обеспечения обработки заготовок без брака; расчета количества вероятного брака при обработке и т.д.

Содержание работы:

1. Составление вариационного ряда по результатам измерения (размеры и износы деталей, зазоры в сопряжениях, погрешности формы, шероховатость поверхностей, твердость, триботехнические характеристики, параметры, полученные в результате испытаний агрегатов и т.п.).

2. Определение частоты и частости.

По результатам заполняют графы табл. 5.1. Столбцы с 1 по 5 аналогичны таблице 3.1.

Таблица 5.1 Таблица для статистической обработки результатов измерений

№ интервала	Границы интервала	Середина интерва­ла	Частота пi	Частость mi		φ(ti)	yi

3. Построение полигона и гистограммы распределения.

(1-3 пункты выполняются аналогично пунктам практического задания №3.)

4. Определение основных статистических характеристик выборки для нормального закона распределения:

а) математического ожидания (средней величины выборки);

в) среднего квадратичного отклонения.

(4 пункт выполняется аналогично пунктам практического задания №4)

5. Для построения теоретической кривой нормального распределения необходимо определить теоретические частоты φ(t) в каждом интервале размеров. Известно, что

Значения функции φ(t) для различных нормированных отклонений t_i приведены в таблице 5.2.

Полученные значения нормированных величин t_i, заносятся в графу 6, а теоретические частоты φ(t) - в графу 7 табл. 5.1. Для приведения кривой нормального распределения к тому же масштабу, что и кривая распределения фактических размеров, ординаты φ(t) необходимо умножить на масштабный коэффициент

K_m= ,

где: а - цена (длина) интервала должна быть не менее цены деления шкалы измерительного прибора и определяется по формуле а = R/K.

Полученные значения теоретических частот в приведенном масштабе y_i, заносятся в графу 8 табл. 5.1. По данным графы 8 строится теоретическая кривая нормального распределения. Для этого полученные значения теоретических частот у, откладывают на графике по серединам интервалов на оси ординат и соединяют плавной кривой (рис. 5.1).

Площадь, ограниченная кривой нормального распределения, выражает в установленном масштабе полное количество обработанных заготовок данной партии деталей. Часть площади, ограниченная полем допуска размера исследуемого элемента детали и кривой нормального распределения, определяет количество годных деталей.

6. Надежность обеспечения требуемой точности обработки заготовок характеризуется запасом точности ψ данной операции, который определяется по формуле

,

где T - допуск размера; w - поле рассеивания размера.

Таблица 5.2 - Значения

Рис. 5.2. Теоретическое распределение размеров деталей

7. Определение вероятности выхода полученных значений изучаемого параметра за пределы допустимой величины (для размеров деталей, например, вероятного брака деталей при обработке).

Когда запас точности ψ > 1,0 , обработка заготовок может быть осуществлена без брака (при условии правильной настройки станка, обеспечивающей совмещение вершины кривой рассеивания с серединой поля допуска). При ψ < 1,0 брак деталей является весьма вероятным. При ψ > 1,2 процесс обработки считается надежным. Для всех законов распре­деления размеров условием обработки заготовок без брака является выражение w < Т, показывающее, что поле фактического рассеивания размеров меньше установленного допуска. Для закона нормального распределения это выражение приобретает вид 6σ<Т .

Вероятный процент брака всей партии изготовленных деталей вычисляется следующим образом. При рассеивании размеров, соответствующем нормальному закону распределения, принимается, что 6σ = х_тах – х_min . Для определения количества годных деталей необходимо найти площадь, ограниченную кривой и осью абсцисс на длине поля допуска

.

Вероятный процент брака вычисляется по формуле

,

где Ф(z) - нормированная функция Лапласа (определяется по таблице 5.3).

При этом

; .