Фигура — термин, формально применимый к произвольному множеству точек; тем не менее, обычно фигурой называют множества на плоскости, которые ограничены конечным числом линий.

Диаметр фигуры

Рассмотрим круг диаметра d. Расстояние между любыми двумя точками М и N этого круга (рис.1) не превосходит d. В то же время можно найти две точки А и В нашего круга, удаленные друг от друга в точности на расстояние d.

Рассмотрим теперь вместо круга какую-нибудь другую фигуру. Что можно назвать "диаметром" этой фигуры?

Сказанное выше наводит на мысль назвать диаметром фигуры наибольшее из расстояний между ее точками. Иначе говоря, диаметром фигуры F (рис. 2) называется такое расстояние d, что, во-первых, расстояние между любыми двумя точками М и Nфигуры не превосходит d, и, во-вторых, можно отыскать в фигуре F хотя бы одну пару точек А, В, расстояние между которыми в точности равно d.

Пусть, например, фигура F представляет собой полукруг (рис.3).

Обозначим через А и В концы ограничивающей его полуокружности. Тогда ясно, что диаметром фигуры F является длина отрезка АВ. Вообще, если фигура F представляет собой сегмент, ограниченный дугой l и хордой а, то в случае, когда дуга l не превосходит полуокружности, диаметр фигуры F равен а (т.е. длине хорды); в случае же, когда дуга l больше полуокружности, диаметр фигуры F совпадает с диаметром всего круга.

Понятно, что если F представляет собой многоугольник, то его диаметром является наибольшее из расстояний между вершинами. В частности, диаметр любого треугольника равен длине его наибольшей стороны. Приведенное определение диаметра фигуры неявно предполагает, что каждая рассматриваемая "фигура" представляет собой замкнутое множество (т.е. к фигуре причисляются все ее граничные точки). Например, если F — открытый круг диаметра d(т.е. круг, к которому не причисляются точки ограничивающей его окружности), то точная верхняя грань расстояний между двумя точками фигуры F равна d; однако в этом случае не существует двух точек фигуры F, расстояние между которыми в точности равно d. Если же мы причислим к фигуре F все граничные точки (т.е. будем рассматривать замкнутый круг), то эта верхняя грань будет достигаться: найдутся две точки А и В, расстояние между которыми равно d.

Фигуры постоянной ширины

Пусть F — ограниченная выпуклая фигура и l— некоторая прямая. Проведем к фигуре F две опорные прямые, параллельные l (опорная прямая — прямая, имеющая хотя бы одну общую точку с фигурой F и вся фигура F расположена по одну сторону от l).

Расстояние h между этими двумя опорными прямыми называется шириной фигуры F в направлении l.

Нетрудно заключить, что высота равностороннего треугольника является его наименьшей шириной, а его сторона — наибольшей шириной. У круга ширина в любом направлении одна и та же: она равна диаметру круга.

Существует бесконечное множество фигур постоянной ширины, т.е. таких выпуклых фигур, у которых во всех направлениях ширина одинакова. Простейшим примером такой фигуры является треугольник Релло, изображенный на рис.6. Он представляет собой пересечение трех кругов радиуса h, центры которых находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной h.

Вообще, если F — правильный многоугольник с нечетным числом вершин и h — длина наибольшей из его диагоналей, то, соединяя каждые две соседние его вершины дугой окружности радиуса h с центром в противоположной вершине, мы получаем фигуру постоянной ширины h (рис.7).

Это построение проходит и в том случае, если многоугольник диаметра h с нечетным числом сторон является правильным, но из каждой его вершины исходят две диагонали длины h (рис.8).

Прежде всего, отметим, что диаметр фигуры постоянной ширины равен ее ширине: d=h. Через каждую граничную точку фигуры постоянной ширины d проходит хотя бы один диаметр этой фигуры (т.е. хорда, имеющая длину d). Границу фигуры постоянной ширины d нельзя разбить на две части меньшего диаметра.

Всякие два диаметра фигуры постоянной ширины всегда пересекаются (либо внутри фигуры, либо на ее границе, рис.8, 9). При этом, если два диаметра АВ и АС имеют общую граничную точку А, то дуга ВС радиуса d с центром в точке А целиком лежит на границе фигуры (рис.10).

Наконец, отметим, что если F — фигура постоянной ширины и АВ — ее диаметр, то прямые l₁ и l₂, проходящие через точки А и В и перпендикулярные к отрезку АВ, являются опорными прямыми фигуры F (рис.11).