Электрический ток в активном сопротивлении совпадает по фазе с приложенным к нему напряжением.

Средние значения тока и напряжения за полный период равны нулю (поскольку мгновенные значения за положительный и отрицательный полупериоды равны и противоположны по знаку), а за положительный полупериод (по определению):

=0.637 I_m ; U_ср = 0.637 U_m

Действующие значения тока и напряжения (по определению):

= 0,707 I_m; U = 0.707 U_m

Мощность электрических потерь, рассеиваемая на резисторе (среднее значение мгновенной мощности p(t) за полупериод основной частоты источника электрической энергии):

p_R(t) [Вт] = u_R(t) [В] i_R(t) [А] = U_msinwt I_msinwt = U_mI_m (1 - cos2wt) / 2

где U_mI_m / 2 = UI- постоянная составляющая активной мощности, U_m, I_m - максимальные значения напряжения и тока, U, I - действующие значения напряжения и тока, U_mI_mcos2wt / 2 - переменная составляющая активной мощности, которая изменяется с двойной частотой источника электрической энергии и не создает активных потерь, поскольку среднее значение за период от этой составляющей равно нулю.

Если измерение синусоидальных сигналов тока и напряжения производится синхронизированными (в одно и то же мгновение) дискретными средствами (Аналого-Цифровыми Преобразователями - АЦП), то в соответствии с методом мгновенных значений:

где N - число мгновенных замеров на полупериоде (для точного воспроизведения формы сложного сигнала рекомендуется выбирать N = 50-100); i_k , u_k - синхронно замеренные мгновенные значение тока и напряжения (1<k<N)

2.1.3. Основные соотношения при постоянном напряжении(см. верхние графики)

Внешнее напряжение, которое будет приложено к резистору после включения ключа Sw:

u(t) = U = const

Электрическая ток в момент времени t₁ после включения ключа Sw скачком нарастет до величины:

i_R(t) = I_R = U_R / R = const

Активная мощность электрических потерь P_R на резисторе R от протекающего по нему постоянного тока I_R выражается следующими зависимостями:

P_R = U_RI_R = I_R²R = U_R² / R = const

При отключении постоянного напряжения в момент времени t₂ ток и мощность скачком изменяются до нуля.

Конденсаторы

На схеме приняты следующие обозначения:

E - источник электродвижущей силы (ЭДС);

r₀ - внутреннее сопротивление источника ЭДС;

r - сопротивление проводников и электронных коммутаторов;

Sw - коммутирующий ключ.

Определения

Конденсатор - это реактивный (запасающий энергию) элемент электрической цепи, который имеет свойство накапливать, сохранять и отдавать электрический заряд Q, создаваемый в его электрическом поле от протекающего тока i_C под воздействием приложенного электрического напряжения u_C.

Емкость (С) - это количественный показатель, характеризующий свойство конденсатора накапливать электрический заряд в электрическом поле:

C [Ф] = Q [К] / u_C [В]

Соотношения основных величин:

1 Ф = 10⁶ мкФ = 10⁹ нФ = 10¹² пФ

Электрическая энергия, запасенная в конденсаторе (емкостном накопителе энергии) составляет:

W (Джоуль) = C u_C² / 2

2.2.2. Основные соотношения при переменном синусоидальном напряжении(см. нижние графики)

Внешнее напряжение, которое будет приложено к конденсатору после включения ключа Sw1:

u_C(t) = U_msinwt

Электрический ток (в соответствии с определением тока) будет иметь вид:

i_C(t) = dQ / dt = С du_C(t) / dt = wС U_mcoswt = I_mcoswt,

где wС = 2pfC - реактивная проводимость конденсатора (1 / wС = Xc - реактивное сопротивление конденсатора). В расчетах принимается, что конденсатор "идеальный", т.е. не имеет активных токов утечки (активной составляющей сопротивления).

Электрический ток в конденсаторе опережает приложенное к нему напряжение на 90^о.

Реактивная мощность конденсатора:

q_C(t) = u_C(t) i_C(t) = U_msinwt I_mcoswt = U_mI_m sin2wt / 2.

Реактивная мощность конденсатора не имеет постоянной составляющей, а только переменную, которая изменяется с двойной частотой источника электрической энергии. При этом за период основной частоты источника электрической энергии T емкость дважды запасает электрическую энергию от источника (когда ток и напряжение находятся в одной фазе), а затем дважды отдает ее источнику (когда ток и напряжение находятся в противофазе), т.е. происходит обмен энергией без каких-либо ее потерь (среднее значение мощности за период равно нулю).

2.2.3. Основные соотношения при постоянном напряжении (см. верхние графики)

Внешнее напряжение, которое будет приложено к конденсатору в момент времени t₁ после включения ключа Sw1:

u_C(t) = U = const

Если приложенное к конденсатору внешнее напряжение постоянно и изменения напряжения на конденсаторе не происходит: (du_C(t) / dt = 0), то ток в установившемся режиме в цепи отсутствует. Он будет существовать только в переходных режимах (включения/отключения постоянного напряжения). При этом будут происходить переходные процессы заряда/разряда емкости.

Ток и напряжение при заряде конденсатора определяются из уравнения равновесия напряжений в контуре в соответствии со вторым законом Кирхгофа, согласно которому внешнее напряжение U уравновешивается текущим напряжением на заряжающемся конденсаторе u_C(t) и падением напряжения на активном сопротивлении r (внутреннем сопротивлении источника электрического напряжения, сопротивлении утечки конденсатора, контактных сопротивлениях цепи):

i_C(t)r + u_C(t) = U или rCdu_C(t) / dt + u_C(t) = U

u_C(t) = U(1 – e^-t/t) и, соответственно, для тока: i_C(t) = Сdu_C(t) / dt = (U/r)e^-t/t,

где t = rC - постоянная времени заряда емкости (при расчетах принимается, что переходные процессы в цепи завершаются через три постоянных времени).

Таким образом, в начальный момент времени при t = t₁ = 0 напряжение на емкости u_C(t₀) = 0, а затем плавно (по экспоненте) нарастает до максимального установившегося значения U_Cm, равного напряжению внешнего источника: U_Cm = U.

Ток в начальный момент времени при t = t₁ = 0скачком нарастает до своего максимального значения i_C = I_Cm = U / r, величина которого ограничивается активным сопротивлением r, а затем плавно (по экспоненте) спадает до нуля.

При размыкании ключа Sw1 накопленный на конденсаторе заряд (и, соответственно, напряжение) может достаточно долго сохраняться в зависимости от качества его диэлектрика, расположенного между пластинами. Если же в момент времени t₂ замкнуть ключ Sw2, то образуется другая замкнутая электрическая цепь и начнется переходный процесс разряда конденсатора.

Ток и напряжение при разряде конденсатора определяются из уравнения равновесия напряжений в контуре в соответствии со вторым законом Кирхгофа, но в случае, когда внешнее напряжение U = 0:

i_C(t)r + u_C(t) = 0 или rdu_C(t) / dt + u_C(t) = 0

Решением этого дифференциального уравнения будут следующие выражения:

u_C(t) = U_C0 e^-t/t и, соответственно, для тока: i_C(t) = -(U_C0 / r)e^-t/t,

где U_C0 - остаточное напряжение на конденсаторе, которое осталось на его пластинах после предыдущего заряда и возможного саморазряда за длительное время (в частности, возможно, что U_C0 = U).

Таким образом, в момент времени t₂ ток разряда конденсатора изменяет свой знак на противоположный (по сравнению с током заряда) и скачком нарастает до максимальной величины U_C0 / r, а затем плавно (по экспоненте) спадает до нуля. Напряжение на конденсаторе по экспоненте уменьшается от U_C0 до нуля.

Катушки индуктивности

На схеме приняты следующие обозначения:

E - источник электродвижущей силы (ЭДС);

r₀ - внутреннее сопротивление источника ЭДС;

r - сопротивление проводников и электронных коммутаторов;

Sw - коммутирующий ключ.

Определения

Катушка индуктивности - это реактивный (запасающий энергию) элемент электрической цепи, который имеет свойство накапливать электрическую энергию W в магнитном поле электрической катушки и противодействовать любому изменению протекающего по ней тока i_L под воздействием приложенного внешнего электрического напряжения u_L за счет наведения в катушке ЭДС самоиндукции e_L(t).

Индуктивность (L) - это количественный показатель, характеризующий свойство катушки индуктивности накапливать электрическую энергию в магнитном поле:

L [Гн] = w²mS / l

где w - число витков катушки, S, l - размеры катушки, m - магнитная проницаемость среды.

Основные соотношения:

1 Гн = 10³ мГн = 10⁶ мкГн

Электрическая энергия, запасенная в катушке индуктивности (индуктивном накопителе энергии), составляет:

W[Дж] = Li_L² / 2

ЭДС самоидукции e_L(t) - это электродвижущая сила, возникающая в катушке при любом изменении протекающего по ней тока в соответствии с законом электромагнитной индукции (закон Ленца), которая уравновешивает приложенное к катушке внешнее напряжение u_L(t):

u_L(t) = - e_L(t) = L di_L(t) / dt

2.3.2. Основные соотношения при переменном синусоидальном напряжении (см. нижние графики)

Внешнее напряжение, которое будет приложено к катушке индуктивности после включения ключа Sw1:

u_L(t) = U_m sinwt = L di_L(t) / dt

Электрический ток, протекающий по катушке индуктивности, может быть определен после разделения переменных и интегрирования этого уравнения:

i_L(t) = - (U_m /wL) coswt = - I_mcoswt,

где wL = 2pfL = X_L - индуктивное сопротивление катушки индуктивности. В расчетах принимается, что катушка индуктивности "идеальная", т.е. не имеет активной составляющей сопротивления.

Электрический ток отстает по фазе относительно приложенного к катушке индуктивности напряжения на 90^о

Реактивная мощность катушки индуктивности:

q_L(t) = u_L(t) i_L(t) = -U_msinwt I_mcoswt = U_mI_m sin2wt / 2

Реактивная мощность катушки индуктивности не имеет постоянной составляющей, а только переменную, которая изменяется с двойной частотой источника электрической энергии. При этом за период основной частоты источника электрической энергии катушка индуктивности дважды запасает электрическую энергию от источника (когда ток и напряжение находятся в одной фазе), а затем дважды отдает ее источнику (когда ток и напряжение находятся в противофазе), т.е. происходит обмен энергией без каких-либо ее потерь.

2.3.3. Основные соотношения при постоянном напряжении (см. верхние графики)

Внешнее напряжение, которое будет приложено к катушке индуктивности в момент времени t₁ после включения ключа Sw1: u(t) = U = const .

В момент времени t₁, после включения ключа Sw1образуется замкнутая электрическая цепь (см. схему), в которой в соответствии со вторым законом Кирхгофа внешнее напряжение U уравновешивается противо-ЭДС самоиндукции e_L(t) и падением напряжения на активном сопротивлении r (внутреннем сопротивлении источника электрического напряжения, сопротивлении катушки индуктивности, контактных сопротивлениях цепи):

i_L(t)r + e_L(t) = U или i_L(t)r + L di_L(t) / dt = U

Ток в цепи и ЭДС самоиндукции определяются из решения этого дифференциального уравнения относительно i_L(t) в виде экспонент:

i_L(t) = (U/r) (1 – e^-t/t) и, соответственно, для ЭДС: e_L(t) = -U e^-t/t,

где t = L/r - электромагнитная постоянная времени цепи (при расчетах принимается, что переходные процессы в цепи завершаются через три постоянных времени).

Таким образом, в начальный момент времени при t = t₁ = 0 ток в цепи i_L(t₀) = 0, а затем плавно (по экспоненте) нарастает до максимального установившегося значения I_Lm, которое ограничивается только величиной активного сопротивления I_Lm = U/r (внутренним сопротивлением источника напряжения, собственным активным сопротивлением катушки индуктивности, контактными сопротивлениями цепи).

При этом в катушке индуктивности запасется электрическая энергия W_L = L I_Lm² / 2. Если в момент времени t₂ разорвать электрическую цепь ключом Sw1, то запасенная в индуктивности электрическая энергия, стремясь разрядиться, создаст вероятность перенапряжения на обмотке катушки индуктивности с возможностью пробоя ее электрической изоляции. Для исключения этого нежелательного явления рекомендуется катушки индуктивности (например, обмотки возбуждения реле, контакторов и пр.) шунтировать диодами, включенными параллельно обмотке таким образом, что бы при разрыве цепи возникающая ЭДС самоиндукции разряжалась через шунтирующий диод, что эквивалентно включению ключа Sw2.

ЭДС самоиндукции e_L(t₀) в начальный момент времени при t = t₁ = 0скачком нарастает до своего максимального значения, находясь в противофазе с внешним приложенным к катушке напряжением и уравновешивая его e_L(t₀) = E_Lm = -U, а затем плавно (по экспоненте) спадает до нуля.

Источники тока и ЭДС

Источник тока - это один из типов источников электрической энергии, у которого внутреннее сопротивление настолько велико (r_о ®¥), что изменения сопротивления нагрузки (Rн) не оказывают влияния на изменение общего сопротивления электрической цепи и, следовательно, тока в электрической цепи (ток в нагрузке остается стабильным при изменение сопротивления нагрузки).

ИсточникЭДС - это один из типов источников электрической энергии, у которого внутреннее сопротивление настолько мало (r_о® 0) , что при изменении сопротивления нагрузки (Rн) и, соответственно тока, не происходит падения напряжения внутри источника (напряжение на нагрузке остается стабильным при изменении тока нагрузки).

3. Последовательное соединение элементов*

*На электрической схеме представлен один из возможных примеров реализации последовательной электрической цепи с различными типами элементов. Возможна любая иная комбинация элементов. На схеме приняты следующие обозначения: E - источник электродвижущей силы (ЭДС); r₀ - внутреннее сопротивление источника ЭДС; r - сопротивление проводников и электронных коммутаторов; Sw - коммутирующий ключ.