Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.

Распределение одной сл\в, входящей в систему, найденное при условии, что другая сл\в приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Усл закон распр можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.

Усл плотность распределения вычисляется по формулам:

; . Усл плотность распр обладает всеми св-ми плотности распределения одной сл\в.

Условным м\о искретной сл\вY при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.

Для непрерывных сл\в: , где f(y/x) – усл плотность сл\в Y при X=x.

Усл м\о M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.

Пример. Найти условное математическое ожидание составляющей Y при X= x1=1 для дискретной двумерной сл\в, заданной таблицей:

;

Аналогично определяются усл дисперсия и условные моменты системы сл\в.

28. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) с док-вом для дискретной сл\величины. Пример.

Теорема.Если сл\в Х принимет только неотриц знач и имеет мат\о, то для любого положительного числа А верно неравенство: . Доказательство для дискретной сл\в Х:Расположим значения дискр сл\в Х в порядке возрастания, из кот часть значений будет не больше числаА, а др часть будут больше А, т.е

Запишем выражение для м\о M(X): , где

- в-ти т\ч сл\в Х примет значения . Отбрасывая первые k неотрицательных слагаемых получим: . Заменяя в этом неравенстве значения меньшим числом, получим неравенство: или . Сумма в-тей в левой части представляет сумму в-ей событий , т.е в-ть соб Х>А. Поэтому . Т.к события и противоположные, то заменяя выражением , придём к др форме неравенства Маркова: . Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным сл\в.

Закон больших чисел. Теорема Бернулли с док-м и её значение. Пример.

К законам больших чисел относятся т Чебышева (наиболее общий случай) и т Бернулли (простейший случай)

Теорема БернуллиПусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых в-ть появления события А равно р. Возможно определить примерно относительную частоту появления события А.

Теорема. Если в каждом из n независимых испытаний в-ть р появления события А постоянно, то сколь угодно близка к 1 в-ть т\ч отклонение относительной частоты от в-ти р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний р достаточно велико.

m – число появлений события А. Из всего сказанного выше не следует, что с увеличением число испытаний относительная частота неуклонно стремится к в-ти р, т.е. . В теореме имеется в виду только в-ть приближения относительной частоты к в-ти появления события А в каждом испытании.

В случае, если вероятности появления события А в каждом опыте различны, то справедлива следующая теорема, известная как теорема Пуассона. Теорема. Если производится п независимых опытов и вероятность появления события А в каждом опыте равна рi, то при увеличении п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей рi.