Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определения есть в конспекте.

 

Теорема . Если переменная величина имеет предел, то её можно представить в виде

суммы этого предела и некоторой бесконечно малой величины ( б.м.в).

Дано.

Доказать. .

Доказательство.

Так как , то по определению предела функции в точке имеем,

, т.е. . А это

Означает, что функция имеет предел, равный нулю, т.е. является б.м. функцией,

которую обозначим : . Отсюда , что и требовалось доказать.

Имеет место теорема, обратная для теоремы .

Если переменную величину можно представить в виде суммы некоторого числа

и ( б.м.в) , то число является пределом этой переменной величины, т.е. если

, то .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин

 

Теорема №1.Величина, обратная бесконечно малой, которая в нуль не обращается,

есть величина бесконечно большая (докажем для последовательности).

 

Дано. – (б.м.в.), .

Доказать. – (б.б.в.).

Доказательство.

 

Так как – (б.м.в.), то . По определению б.м. последовательности имеем,

. Рассмотрим величину , так как

 

. Обозначим тогда получим: , а это

означает, что – (б.б.в.), что и требовалось доказать.

 

Теорема № 2.Величина, обратная бесконечно большой есть величина бесконечно

малая.

 

Теорема № 3.Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых величин

есть величина бесконечно малая (докажем для последовательности).

( У Письменного доказательство проведено для функций).

 

Дано. – (б.м.в.), – (б.м.в.).

Доказать. – (б.м.в.).

 

Доказательство.

 

Так как – (б.м.в.), то . По определению б.м. последовательности имеем,

. И силу произвольности выберем его равным .

Аналогично рассуждая для , получим .

Выберем , тогда будут выполнены одновременно неравенства: и . Рассмотрим .

Таким образом, получим, . А это значит, что ,

т.е. – б.м. последовательность, что и требовалось доказать.

 

Теорема № 4.Произведение бесконечно малой величины на величину ограниченную есть

величина бесконечно малая.

 

Следствие №1. Так как всякая бесконечно малая величина ограничена, то из предыдущей теоремы вытекает, что произведение двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

 

Следствие №2.Произведение бесконечно малой величины на число есть величина бесконечно малая.

 

Следствие №3.Сумма двух бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая. ( )

 

Следствие № 4. Произведени двух бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая. ( )

 

Неопределённости: .

Теоремы о пределах, выражаемые равенствами.

Теорема №1.Предел суммы (разности) двух величин равен сумме (разности) их

пределов.

Теорема справедлива для любого конечного числа величин.

Доказательство проведём для функций и для суммы.

 

Дано. (1) , (2) .

Доказать. .

 

Доказательство.

 

Из (1)по теореме будем иметь , где – б.м.в.

Из (2)по теореме будем иметь , где – б.м.в.

 

Сложим два последних равенства и получим: . Здесь

–– б.м.в., как сумма б.м.в. Тогда по теореме, обратной будем иметь

, что и требовалось доказать.

Теорема № 2.Предел произведения двух величин равен произведению их

пределов. .

Доказательство проведём для функций.

 

Дано. (1) , (2) .

Доказать.

Доказательство.

Из (1)по теореме будем иметь , где – б.м.в.

Из (2)по теореме будем иметь , где – б.м.в.

Перемножим два последних равенства и получим: ,т.е.

. Выражение в скобках есть

б.м.в. Тогда по теореме, обратной будем иметь . Т.е.

, что и требовалось доказать.

Следствие.Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема № 3.Если и , то .

Дано. , .

Доказать. .

Доказательство.

Так как , то по теореме будем иметь , т.е. б.м.в. есть б.м.в.

или – б.м.в. Так как имеет предел, – ограничена, а значит ограничены и , и .

Рассмотрим выражение , которое будет представлять произведение б.м.в. на ограниченную. Получили, что ( ) есть б.м.в.,

т.е. , что и требовалось доказать.

 

Теорема № 4.Предел частного равен частному от деления пределов, если предел

знаменателя отличен от нуля.

Дано. , , где .

 

Доказать. .

Доказательство.

. При доказательстве воспользовались теоремой № 2 и теоремой № 3.

 

Первый замечательный предел.

Доказательство первого замечательного предела.

1). Докажем при . Пусть , угол задан в радианной мере. На чертеже

, дуга численно равна центральному углу , .

Из чертежа видно, что . Запишем площади полученных фигур и будем иметь следующее неравенство . Поделим полученное неравенство , будем иметь ( ). Так как ,то

. Разделим неравенство на и получим следующее или

. К последнему неравенству применим теорему о пределе промежуточной

переменной. . Получили, что .

2). Докажем при . Пусть , тогда , где . Поэтому .

Второй замечательный предел

.

Доказательство второго замечательного предела.

Рассмотрим переменную величину – числовую последовательность , где . Можно доказать, что эта последовательность возрастающая и ограниченная сверху , значит по теореме Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности делаем вывод, что ,

так как . Равенство справедливо при .

Докажем, что к числу стремится и функция при , ,

где – множество действительных чисел.

1 часть.Пусть . Докажем .

Любое действительное число заключено между двумя натуральными числами: (1). Отсюда следует , так как – числа положительные. Добавим к каждой части предыдущего неравенства число и получим (2). Возведём соответственно каждую часть последнего неравенства (2)в соответствующие степени неравенства (1)и получим

(3) .

Найдём пределы крайних частей неравенства (3)при и .

,

.

Применяя теорему о пределе промежуточной переменной к неравенству (3) , получим

(4).

2 часть.Пусть . Докажем .

Введём новую переменную или , где при .

Получили (5). Из (4)и (5)будем иметь ,что и требовалось

доказать.

Замечание.Если в формуле второго замечательного предела положить, что , где при , то получим . Можно записать

.

Получили две формы записи второго замечательного предела:

и .

Применяется второй замечательный предел для раскрытия неопределённости .

Функция называется экспоненциальной. Обратной функцией для данной будет являться функция и обозначается и называется натуральным логарифмом.

Справедливы следующие формулы , , , .

 

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.

 

 

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определения есть в конспекте.

 

Теорема . Если переменная величина имеет предел, то её можно представить в виде

суммы этого предела и некоторой бесконечно малой величины ( б.м.в).

Дано.

Доказать. .

Доказательство.

Так как , то по определению предела функции в точке имеем,

, т.е. . А это

Означает, что функция имеет предел, равный нулю, т.е. является б.м. функцией,

которую обозначим : . Отсюда , что и требовалось доказать.

Имеет место теорема, обратная для теоремы .

Если переменную величину можно представить в виде суммы некоторого числа

и ( б.м.в) , то число является пределом этой переменной величины, т.е. если

, то .

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-22

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...