Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Бесконечно малые и бесконечно большие величиныБесконечно малые и бесконечно большие величины Определения есть в конспекте.
Теорема . Если переменная величина имеет предел, то её можно представить в виде суммы этого предела и некоторой бесконечно малой величины ( б.м.в). Дано. Доказать. . Доказательство. Так как , то по определению предела функции в точке имеем, , т.е. . А это Означает, что функция имеет предел, равный нулю, т.е. является б.м. функцией, которую обозначим : . Отсюда , что и требовалось доказать. Имеет место теорема, обратная для теоремы . Если переменную величину можно представить в виде суммы некоторого числа и ( б.м.в) , то число является пределом этой переменной величины, т.е. если , то . Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин
Теорема №1.Величина, обратная бесконечно малой, которая в нуль не обращается, есть величина бесконечно большая (докажем для последовательности).
Дано. – (б.м.в.), . Доказать. – (б.б.в.). Доказательство.
Так как – (б.м.в.), то . По определению б.м. последовательности имеем, . Рассмотрим величину , так как
. Обозначим тогда получим: , а это означает, что – (б.б.в.), что и требовалось доказать.
Теорема № 2.Величина, обратная бесконечно большой есть величина бесконечно малая.
Теорема № 3.Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая (докажем для последовательности). ( У Письменного доказательство проведено для функций).
Дано. – (б.м.в.), – (б.м.в.). Доказать. – (б.м.в.).
Доказательство.
Так как – (б.м.в.), то . По определению б.м. последовательности имеем, . И силу произвольности выберем его равным . Аналогично рассуждая для , получим . Выберем , тогда будут выполнены одновременно неравенства: и . Рассмотрим . Таким образом, получим, . А это значит, что , т.е. – б.м. последовательность, что и требовалось доказать.
Теорема № 4.Произведение бесконечно малой величины на величину ограниченную есть величина бесконечно малая.
Следствие №1. Так как всякая бесконечно малая величина ограничена, то из предыдущей теоремы вытекает, что произведение двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
Следствие №2.Произведение бесконечно малой величины на число есть величина бесконечно малая.
Следствие №3.Сумма двух бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая. ( )
Следствие № 4. Произведени двух бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая. ( )
Неопределённости: . Теоремы о пределах, выражаемые равенствами. Теорема №1.Предел суммы (разности) двух величин равен сумме (разности) их пределов. Теорема справедлива для любого конечного числа величин. Доказательство проведём для функций и для суммы.
Дано. (1) , (2) . Доказать. .
Доказательство.
Из (1)по теореме будем иметь , где – б.м.в. Из (2)по теореме будем иметь , где – б.м.в.
Сложим два последних равенства и получим: . Здесь –– б.м.в., как сумма б.м.в. Тогда по теореме, обратной будем иметь , что и требовалось доказать. Теорема № 2.Предел произведения двух величин равен произведению их пределов. . Доказательство проведём для функций.
Дано. (1) , (2) . Доказать. Доказательство. Из (1)по теореме будем иметь , где – б.м.в. Из (2)по теореме будем иметь , где – б.м.в. Перемножим два последних равенства и получим: ,т.е. . Выражение в скобках есть б.м.в. Тогда по теореме, обратной будем иметь . Т.е. , что и требовалось доказать. Следствие.Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Теорема № 3.Если и , то . Дано. , . Доказать. . Доказательство. Так как , то по теореме будем иметь , т.е. б.м.в. есть б.м.в. или – б.м.в. Так как имеет предел, – ограничена, а значит ограничены и , и . Рассмотрим выражение , которое будет представлять произведение б.м.в. на ограниченную. Получили, что ( ) есть б.м.в., т.е. , что и требовалось доказать.
Теорема № 4.Предел частного равен частному от деления пределов, если предел знаменателя отличен от нуля. Дано. , , где .
Доказать. . Доказательство. . При доказательстве воспользовались теоремой № 2 и теоремой № 3.
Первый замечательный предел.
Доказательство первого замечательного предела. 1). Докажем при . Пусть , угол задан в радианной мере. На чертеже , дуга численно равна центральному углу , . Из чертежа видно, что . Запишем площади полученных фигур и будем иметь следующее неравенство . Поделим полученное неравенство , будем иметь ( ). Так как ,то . Разделим неравенство на и получим следующее или . К последнему неравенству применим теорему о пределе промежуточной переменной. . Получили, что . 2). Докажем при . Пусть , тогда , где . Поэтому . Второй замечательный предел . Доказательство второго замечательного предела. Рассмотрим переменную величину – числовую последовательность , где . Можно доказать, что эта последовательность возрастающая и ограниченная сверху , значит по теореме Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности делаем вывод, что , так как . Равенство справедливо при . Докажем, что к числу стремится и функция при , , где – множество действительных чисел. 1 часть.Пусть . Докажем . Любое действительное число заключено между двумя натуральными числами: (1). Отсюда следует , так как – числа положительные. Добавим к каждой части предыдущего неравенства число и получим (2). Возведём соответственно каждую часть последнего неравенства (2)в соответствующие степени неравенства (1)и получим (3) . Найдём пределы крайних частей неравенства (3)при и . , . Применяя теорему о пределе промежуточной переменной к неравенству (3) , получим (4). 2 часть.Пусть . Докажем . Введём новую переменную или , где при .
Получили (5). Из (4)и (5)будем иметь ,что и требовалось доказать. Замечание.Если в формуле второго замечательного предела положить, что , где при , то получим . Можно записать . Получили две формы записи второго замечательного предела: и . Применяется второй замечательный предел для раскрытия неопределённости . Функция называется экспоненциальной. Обратной функцией для данной будет являться функция и обозначается и называется натуральным логарифмом. Справедливы следующие формулы , , , .
Таблица эквивалентных бесконечно малых величин. 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины Определения есть в конспекте.
Теорема . Если переменная величина имеет предел, то её можно представить в виде суммы этого предела и некоторой бесконечно малой величины ( б.м.в). Дано. Доказать. . Доказательство. Так как , то по определению предела функции в точке имеем, , т.е. . А это Означает, что функция имеет предел, равный нулю, т.е. является б.м. функцией, которую обозначим : . Отсюда , что и требовалось доказать. Имеет место теорема, обратная для теоремы . Если переменную величину можно представить в виде суммы некоторого числа и ( б.м.в) , то число является пределом этой переменной величины, т.е. если , то . 12 |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-22 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |