Теорема № 3. (о пределе промежуточной переменной )

Еслидве переменные имеют один тот же предел, а третья переменная,

заключена между ними, то она имеет тот же предел.

(докажем для последовательности).

( У Письменного доказательство проведено для функций).

Дано. (1) , (2) , .

Доказать. .

Доказательство.

Из (1) по определению предела последовательности, имеем

или , или .

Из (2) по определению предела последовательности, имеем

или , или .

Выберем номер , тогда будут выполняться все три

подчёркнутые неравенства, т.е. . Тогда получили, что

, т.е. , значит доказали, что

.

Первый замечательный предел.

Доказательство первого замечательного предела.

1). Докажем при . Пусть , угол задан в радианной мере. На чертеже

, дуга численно равна центральному углу , .

Из чертежа видно, что . Запишем площади полученных фигур и будем иметь следующее неравенство . Поделим полученное неравенство , будем иметь ( ). Так как ,то

. Разделим неравенство на и получим следующее или

. К последнему неравенству применим теорему о пределе промежуточной

переменной. . Получили, что .

2). Докажем при . Пусть , тогда , где . Поэтому .

Следствия из первого замечательного предела.

1. . Докажем. .

2. . Докажем. Сделаем замену

.

3. . Докажем. Сделаем замену

.

Второй замечательный предел

.

Доказательство второго замечательного предела.

Рассмотрим переменную величину – числовую последовательность , где . Можно доказать, что эта последовательность возрастающая и ограниченная сверху , значит по теореме Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности делаем вывод, что ,

так как . Равенство справедливо при .

Докажем, что к числу стремится и функция при , ,

где – множество действительных чисел.

1 часть.Пусть . Докажем .

Любое действительное число заключено между двумя натуральными числами: (1). Отсюда следует , так как – числа положительные. Добавим к каждой части предыдущего неравенства число и получим (2). Возведём соответственно каждую часть последнего неравенства (2)в соответствующие степени неравенства (1)и получим

(3) .

Найдём пределы крайних частей неравенства (3)при и .

,

.

Применяя теорему о пределе промежуточной переменной к неравенству (3) , получим

(4).

2 часть.Пусть . Докажем .

Введём новую переменную или , где при .

Получили (5). Из (4)и (5)будем иметь ,что и требовалось

доказать.

Замечание.Если в формуле второго замечательного предела положить, что , где при , то получим . Можно записать

.

Получили две формы записи второго замечательного предела:

и .

Применяется второй замечательный предел для раскрытия неопределённости .

Функция называется экспоненциальной. Обратной функцией для данной будет являться функция и обозначается и называется натуральным логарифмом.

Следствия из второго замечательного предела.

1. /в силу непрерывности функции , можно поменять местами знак функции и знак / .

Получили формулу первого следствия: .

2. .

3. = .

Получили формулу третьего следствия: .

4. .

5. .

Эквивалентные бесконечно малые величины.

Определение. Две бесконечно малые называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1, т.е. , и обозначается это так: .

Определение.Две бесконечно малые называются бесконечно малыми одного порядка малости, если предел их отношения равен постоянному числу .

Пример: , значит бесконечно малые и являются бесконечно малыми одного порядка малости.

Определение.Если при , то бесконечно малая называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Пример: , значит – бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Замечание.При вычислении пределов можно одну бесконечно малую заменять другой ей эквивалентной более простой. Замену эквивалентными можно выполнять в частном и в произведении.

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.