Лекция 11. Неопределенный интеграл

Интегральное исчисление

Интеграл - одно из важнейших математических понятий. Он широко применяется во многих отраслях науки, техники, экономики; имеет мировоззренческое значение.

Цель:показать,что операция дифференцирования имеет обратную операцию – интегрирование. Эта операция неоднозначная, что следует из геометрического смысла неопределенного интеграла.

Задача: научиться различать является ли данный интеграл табличным (околотабличным); овладеть способами интегрирования, позволяющими сложные интегралы сводить к табличным.

Лекция 11. Неопределенный интеграл

11.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла

11.2. Свойства неопределенного интеграла.

11.3. Таблица интегралов.

11.4. Некоторые методы интегрирования:

- метод подстановки;

- интегрирование некоторых выражений, содержащих в знаменателе квадратный трехчлен;

- интегрирование по частям.

11.5. Понятие о неберущихся интегралах.

Первообразная и неопределенный интеграл.

При решении многих задач физики, математики требуется по заданной функции найти ее производную Но достаточно часто приходится сталкивать с обратными задачами, когда по известной производной требуется найти саму функцию .

Например, по закону измерения скорости V=V(t) необходимо найти закон движения S=S(t). Но . Таким образом, по известной производной следует найти функцию .

Определение. Операция отыскания функции по ее производной называется интегрированием, а раздел математики, изучающий способы интегрирования функций – интегральным исчислением.

Определение. Функция , определенная на промежутке называется первообразной для функции на том же отрезке, если для любого имеет место равенство

Примеры.

Очевидно, что если - первообразная для функции , то , где есть также первообразная той же функции.

Действительно, пусть , но и .

Вывод: если функция имеет хотя бы одну первообразную, то для нее существует бесчисленное множество первообразных.

Теорема 11.1.

Если некоторая первообразная функции , то выражение ,

где С – произвольная постоянная величина, исчерпывает множество всех

первообразных функции на данном промежутке.

Доказательство.

Пусть наряду с есть первообразная функции . Это означает, что:

отсюда , то есть ,

или .

иными словами, любые первообразные функции отмечаются на постоянную величину.

Функция имеющая на некотором промежутке первообразную, называется интегрируемой на этом промежутке.

Определение. Множество всех первообразных для функции на данном промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается следующим образом

– подынтегральная функция

– подынтегральное выражение

Очевидно, операция интегрирования ставит соответствие функции бесчисленное множество функций (первообразных) или говорят семейство функций.

Таким образом, с геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой бесчисленное множество (или семейство) интегральных кривых.

Пример – семейство кубических парабол.

Теорема существования неопределенного интеграла.Если

подынтегральная функция непрерывна на некотором отрезке, то она на

нем интегрируема.

Примеры.

, ,

Таблица основных интегралов.

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

Замечание. Не путать интегралы 9 с 11 и 10 с 12.

Задача успешного интегрирования состоит в умении свети интеграл к табличному.

Примеры.

Метод подстановки.

Метод подстановки (или метод замены переменной) – один из основных методов интегрирования. Рассмотрим , где – непрерывная и дифференцируемая функция. Тогда

(11.1)

Докажем.

Отсюда

Так как неопределенные интегралы определены с точностью до постоянной, то отбросив указанную постоянную, получим формулу (11.1).

Смысл использования замены - от заданного интеграла перейти к более простому или даже табличному.

Пример 1.

Замечание. Часто удобно вводить замену в неявном виде, то есть рассматривать новую переменную t как функцию от х .

Пример 2.

.

Пример 3

.

Пример.

Следует иметь в виду, что по частям находят интегралы типов:

а) ; ; ;

б) ; ; ;

в) ; ,

где a, b, k – действительные числа, n – целое положительное число.

При вычислении интегралов группы «а)» принимают xⁿ=u; при вычислении интегралов группы «б)» принимают dv=x^kdx.

Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим неопределенный интеграл Пусть известна одна из его первообразных полагаем C=0, то есть на отрезке . Из дифференцируемости следует, что она непрерывна на отрезке . Значит, удовлетворяет на этом отрезке теореме Лагранжа.

… …

Рассмотрим разность Разобьем отрезок . Произвольно на n элементарных отрезков точками

.

Для каждой разности, стоящей в квадратных скобках, используем теорему Лагранжа

Переходя в последнем равенстве к пределу при , получаем

(12.7)

(12.7) называется формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Эта формула устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами.

Возвращаясь к примеру 3, получаем

Пример 4.

Доказательство.

Таким образом, сравниваем левую и последнюю части, приходим к формуле (12.11).

Как и в случае с неопределенным интегралом, использование замены переменной позволяет упросить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом, в отличие от неопределенного интеграла, нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно найти пределы изменения новой переменной интегрирования t, когда .

Замечание. Как и в случае неопределенного интеграла, на практике новую переменную вводят как функцию . В этом случае пределы интегрирования новой переменной находятся совсем просто:

Пример. Вычислить

Решение. Пусть . Тогда . Если , то , если , то Следовательно,

Теорема 2. Пусть функции и непрерывны и имеют производные на отрезке . Тогда

(12.12)

Доказательство.

Как известно, . Проинтегрируем то равенство на отрезке .

Но , откуда и следует формула (12.12), которая называется формулой интегрирования по частям определенного интеграла.

Пример. Вычислить

Решение.

Пусть , . Тогда ,

Применяя формулу (12), получаем

Интегральное исчисление

Интеграл - одно из важнейших математических понятий. Он широко применяется во многих отраслях науки, техники, экономики; имеет мировоззренческое значение.

Цель:показать,что операция дифференцирования имеет обратную операцию – интегрирование. Эта операция неоднозначная, что следует из геометрического смысла неопределенного интеграла.

Задача: научиться различать является ли данный интеграл табличным (околотабличным); овладеть способами интегрирования, позволяющими сложные интегралы сводить к табличным.

Лекция 11. Неопределенный интеграл

11.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла

11.2. Свойства неопределенного интеграла.

11.3. Таблица интегралов.

11.4. Некоторые методы интегрирования:

- метод подстановки;

- интегрирование некоторых выражений, содержащих в знаменателе квадратный трехчлен;

- интегрирование по частям.

11.5. Понятие о неберущихся интегралах.