Теорема о существовании определенного интеграла.

Если подынтегральная функция y=f(x) непрерывна на отрезке , то она на нем интегрируема. (без доказательства)

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

В первых двух примерах интегралы достаточно просто вычисляются, исходя из их геометрического смысла. В третьем случае это не представляется возможным.

Таким образом, возникает задача вычисления определенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим неопределенный интеграл Пусть известна одна из его первообразных полагаем C=0, то есть на отрезке . Из дифференцируемости следует, что она непрерывна на отрезке . Значит, удовлетворяет на этом отрезке теореме Лагранжа.

… …

Рассмотрим разность Разобьем отрезок . Произвольно на n элементарных отрезков точками

.

Для каждой разности, стоящей в квадратных скобках, используем теорему Лагранжа

Переходя в последнем равенстве к пределу при , получаем

(12.7)

(12.7) называется формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Эта формула устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами.

Возвращаясь к примеру 3, получаем

Пример 4.

Дифференцирование определенного интеграла по переменному верхнему пределу (теорема Барроу).

Рассмотрим определенный интеграл c переменным верхним пределом , где Очевидно,

Заменяя x=t, получаем определяет площадь под кривой y=f(t) при

(12.8)

Рис. 12.2

Результат (12.8) формулируется как теорема Барроу: производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции.

Свойства определенного интеграла.

1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

что и требовалось доказать.

2.

3. , где

Рис.12.3

4.

5.

6.Пусть для возрастает на отрезке . Значит , если

7. Пусть на отрезке ,тогда

Действительно, если , то . Следовательно, .

Откуда .

Или

Легко иллюстрируется на основании геометрического смысла.

8.Пусть функция непрерывна на отрезке и m и M – ее наименьшее и наибольшее значения соответственно на этом отрезке. Тогда

(12.9)

Доказательство. По условию . В соответствии со свойством (12.7)

Откуда вытекает неравенство (9)

Если на отрезке , то свойство легко иллюстрируется геометрически: площадь под кривой y=f(x) заключена между площадями прямоугольников с тем же основанием (b-a) и высотами

9. Теорема о среднем. Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке и - одна из ее первообразных (с=0). Значит . В соответствии с теоремой Лагранжа на отрезке существует точка в которой . Используя формулу Ньютона-Лейбница, имеем

Или окончательно

(12.10)

Полученный результат (10) формулируется как теорема о среднем: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдется такая точка , что справедливо равенство (10)

Если на отрезке ,то теорема о среднем легко иллюстрируется геометрически: на отрезке всегда существует такая точка что площадь под кривой y=f(x) на равна площади прямоугольника со сторонами (b-a) и f( )

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 1. Пусть на отрезке задана непрерывная функция y=f(x) , и меющая первообразную F(x) , и пусть существует функция , такая, что

1. ; 2. …. и…. непрерывны на отрезке ; 3. непрерывна на отрезке . Тогда справедливо равенство

(12.11)

Доказательство.

Таким образом, сравниваем левую и последнюю части, приходим к формуле (12.11).

Как и в случае с неопределенным интегралом, использование замены переменной позволяет упросить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом, в отличие от неопределенного интеграла, нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно найти пределы изменения новой переменной интегрирования t, когда .

Замечание. Как и в случае неопределенного интеграла, на практике новую переменную вводят как функцию . В этом случае пределы интегрирования новой переменной находятся совсем просто:

Пример. Вычислить

Решение. Пусть . Тогда . Если , то , если , то Следовательно,

Теорема 2. Пусть функции и непрерывны и имеют производные на отрезке . Тогда

(12.12)

Доказательство.

Как известно, . Проинтегрируем то равенство на отрезке .

Но , откуда и следует формула (12.12), которая называется формулой интегрирования по частям определенного интеграла.

Пример. Вычислить

Решение.

Пусть , . Тогда ,

Применяя формулу (12), получаем