Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Проект изучения темы «Степенная функция» (9-10 класс). Урок обобщения и систематизации.Проект изучения темы «Степенная функция» (9-10 класс). Урок обобщения и систематизации. Выполнили: Гаранин А., Ершова О., Пеплин Ф. Обзор математической литературы 1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, 1978. Приводится подробный разбор видов графиков степенной функции в зависимости от показателя. Имеются удачно подобранные иллюстрации, позволяющие сопоставить различные возможные виды графиков степенной функции. 2. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. Обобщается понятие степени и степенной функции на случай комплексных чисел, проводятся аналогии и различия с действительной функцией. 3. Уваренков М.И., Маллер М.З.. Курс математического анализа. Том 1. – М.: Просвещение, 1966. В этом учебнике строго вводятся действительные числа (с помощью сечений Дедекинда), что дает возможность полного обоснования всех свойств степени с действительным показателем. Следовательно, корректность введения понятия степенной функции неоспорима (чего о школьных учебниках не скажешь). Также на основе строгих определений непрерывности, предела, производной и интеграла доказываются все связанные с этими действиями свойства. В то же время материал достаточно элементарен и может использоваться для работы с сильными классами. Общая характеристика темы Особенности и роль темы в математике (включая историческую справку) и в школьном курсе математики Понятие степенной функции прошло длительный исторический путь своего формирования. Таблицы некоторых натуральных степеней имелись еще в Древнем Китае, Вавилоне, однако вплоть до эпохи Возрождения не существовало общепринятых обозначений. Впервые современную символику для степеней с целым показателем стал использовать Д. Валлис (1616-1703), а общепринятой она стала после работ Ньютона и Лейбница. Также в XVII веке, вместе с открытием переменной величины Декартом и Ферма, появляется понятие функции в более-менее современном ее понимании, в том числе степенной. В частности, Ферма первым сформулировал правило дифференцирования степенной функции. В следующем веке понятие степенной функции, как и других элементарных функций, было обобщено на случай комплексных чисел Леонардом Эйлером. В настоящее время степенные функции, наряду с остальными элементарными функциями, играют огромную роль в математике и, следовательно, в преподавании математики. В школьном курсе степенные функции являются элементом многих задач, включая уравнения и неравенства, поэтому хорошее знание их свойств необходимо для успешного усвоения программы. Кроме того, степенная функция представляет собой сравнительно простой и в то же время нетривиальный пример функции, на примере которой становится возможным рассмотрение общих свойств функций. В высшей математике степенные функции также широко используются как техническое средство рассмотрения более сложных вопросов математического и функционального анализа, математической физики, диф. уравнений, а также часто встречаются в приложениях. Программа по математике: инвариантное содержание темы Общее образование: Функции. Основные понятия. Зависимости между величинами. Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Свойства функций, их отображение на графике. Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы. Числовые функции. Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики и свойства. Линейная функция, ее график и свойства. Квадратичная функция, ее график и свойства. Степенные функции с натуральными показателями 2 и 3, их графики и свойства. Графики функций. Стандарт полного образования: Корни и степени. Корень степени n>1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем. Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график.
Обзор методической литературы 1. Глейзер Г. И. История математики. Пособие для учителя.- М.: Просвещение, 1983- 137 с. В книге приводится историческая справка формирования обозначения степени с рациональным показателем. 2. Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. Изд. 11. Под редакцией и с дополнениями В.Г. Болтянского. - М.: Наука, 1967. Вся первая глава посвящена «пятому математическому действию» - возведению в степень. Рассмотрено большое количество интересных и нетривиальных примеров. 3. Ивашев-Мусатов О.С. Обобщение понятия степени// Математика в школе. – 1991. - № 2. - с. 39. Рассматриваются методические тонкости расширения понятия степени числа. 4. Кузнецов В.И. Степень отрицательного числа// Математика в школе. – 1999. - № 5. - С. 44-47. Приводится несколько вариантов введения степени для отрицательного числа, вскрываются «подводные камни» каждого из них. 5. Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении степени и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно-степенную функцию// Математика в школе. — 1996. - № 2. - С. 29—33. Рассматривается вопрос о наиболее целесообразном способе определения степени числа, приводятся методические рекомендации по работе с уравнениями и неравенствами, содержащими показательно-степенную функцию 6. Джикаев А.Г. Кто же прав?// Математика в школе — 2003. - № 1. - С. 11—12. Приведены методические рекомендации, касающиеся введения понятия показательно-степенной функции. 7. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Задачник для 10-11 классов. Шабунин М.И. и др. - М.: ?, 2009. - 477 с. Большой раздел содержит множество задач по теме «Степенная функция», которые можно рассматривать как дополнительные к задачам из учебника. 8. «Элементарная математика: Элементарные функции: Учеб.-метод. пособие.-Н. Новгород: НГПУ, 2006» Класс §12. Область определения функции · Определение функции Если каждому значению из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число , то говорят, что на этом множестве задана функция . При этом называют независимой переменной или аргументом, а – зависимой переменной или функцией. Определение задается описательно. Строгая логическая форма определения Данное определение подводит итог предшествующему изучению конкретных классов функций, позволяет взглянуть на них с единых позиций. Логическая структура определения новая · Определение области определения функции Областью определения функции называют множество всех значений, которое принимает её аргумент Определение задается описательно. · Определение графика функции Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции Определение вводится через род и видовые отличия: Род: Множество точек Видовые отличия: 1) всех; 2) кординатной плоскости; 3) абсциссы равны значениям независимой переменной из области определения функции; 4) ординаты равны соответствующим значениям функции.
Четность и нечетность функции. · Определение четной функции Функция называется четной, если для любого из области определения этой функции. Определение через род и видовое отличие. Род: функция. Видовое отличие: для любого из области определения этой функции. Присутствует квантор всеобщности. Из определения неявно следует, что область определения чётной функции должна быть симметрична относительно начала координат. · Свойство графика чётной функции График четной функции симметричен относительно оси ординат. Вводится пи построении конкретного графика, то есть на примере
· Определение нечетной функции Функция называется нечетной, если для любого из области определения этой функции. Определение через род и видовое отличие. Род: функция. Видовое отличие: если для любого из области определения этой функции. Присутствует квантор всеобщности. Из определения неявно следует, что область определения нечётной функции должна быть симметрична относительно начала координат. · Свойство графика нечётной функции График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Вводится пи построении конкретного графика, то есть на примере §15. Функция Класс Взаимно обратные функции · Определение обратимой функции Если функция принимает каждое свое значение только при одном значении , то эту функцию называют обратимой Род (функция) и видовое отличие (принимает каждое свое значение только при одном значении · Определение взаимно обратных функций Две функции называются взаимно обратными, если первая является обратной для второй и наоборот · Алгоритм нахождения для данной функции ей обратной 1) Решить уравнение относительно 2) Поменять местами и · Теорема-свойство взаимно-обратных функций Область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции. · Теорема (признак)1:Монотонная функция является обратимой. Доказательство: Пусть функция возрастает и пусть – её значение в некоторой точке , то есть . Тогда если принадлежит области определения функции, то при выполняется неравенство , а при – неравенство . Следовательно, значение функция принимает только в одной точке и поэтому является обратимой. Для убывающей функции доказательство проводится аналогично. Синтетическое доказательство. База: 1) определение возрастающей (убывающей) функции; 2) определение обратимой функции. Функция, являющаяся монотонной, обратной может не иметь. · Теорема (свойство) 2: Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой . Анализ задачного материала: Класс §12. Область определения функции Определение функции В учебнике отсутствуют задания на данную группу. Необходимо дополнять. В качестве заданий можно предложить: Какой из графиков задает функцию?
Ответ: №1
2) Задания на отыскание области определения функции: №№ 159,158, 161. № 159. Найти область определения функции 1) ,
Задания на определение промежутков возрастания и убывания функции №№164,170,171 №164.Построить график и указать промежутки возрастания и убывания функции
Функция возрастает на всей области определения. Четность и нечетность функции 1) Задания на выяснение ли функция четной, не четной или общего вида.№№172,173,175,176, №172. – Функция четная 2) Задания на построение графика функции в зависимости от ее вида (четная, не четная, общего вида) №№ 174,177,178,179,180,181 №174. Построить эскиз графика функции
Функция - чётная, поэтому ее график является симметричным относительно оси ординат, поэтому достаточно построить график в I четверти, а затем отразить его от прямой .
Класс Задания на определение степенной функции Отсутствуют в учебнике 10 класса. Необходимо дополнить. Например, предлагаем такое задание: какие из перечисленных функций являются степенными и почему?
Первая функция является степенной (она имеет требуемый вид), вторая и третья – нет. В самом деле, пусть функцию можно представить в виде степенной, тогда для некоторого фиксированного a. Тогда . То есть такого фиксированного a нет. В том же духе рассуждая, отбрасываем третью функцию. Опять же, пусть . Возможно ли такое? Нет, было показано, что если больше нуля, то степенная функция строго возрастает, если меньше, то строго убывает, а если a=2, то последнее выражение обратится в 1, а не в 1/3. Так что третья функция тоже не степенная. Последняя, понятно, степенная, потому что может быть приведена к нужному виду: . Задания на частные случаи степенной функции, их сравнение А)Изобразить схематически график функции, найти ее область определения и множество значений: №№ 119, 121, 126, 128, 129,175,176,184. № 126. В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений. 1) ;
2) , ; , 3) 4) Диагностируемые цели В результате изучения темы ученик Знает · Определение функции; · Что такое область определения функции; · Определение графика функции; · Что такое множество значений функции; · Определение возрастающей/ убывающей функции; · Определение четной/нечетной функции; · Определение степенной функции; · Общие свойства степенной функции; · Свойства частных видов степенной функции; · Вид графика зависит от показателя p; · Определение обратимой функции; · Свойства взаимно обратных функций · График обратной функции симметричен относительно прямой . Умеет: · Строить график степенной функции в зависимости от показателя степени; · Доказывать свойства степенной функции; · Находить обратную функцию к данной · Находить точки пересечения функций · Решать уравнения и неравенства графически · Определять свойства функции (убывание, возрастание) · Исследовать функцию на монотонность, на четность и на нечетность · Строить график обратной функции на основе четности, нечётности Понимает: · От чего зависит вид графика и свойства степенной функции; · На основе каких теоретических положений доказываются свойства степенной функции; · Какая функция обратимая
Тематическое планирование Класс
Конспект урока № 9: Знает · Определение функции; · Что такое область определения функции; · Определение графика функции; · Что такое множество значений функции; · Определение возрастающей/ убывающей функции; · Определение четной/нечетной функции; · Определение степенной функции; · Общие свойства степенной функции; · Свойства частных видов степенной функции; · Вид графика зависит от показателя p; · Определение обратимой функции; · Свойства взаимно обратных функций · График обратной функции симметричен относительно прямой . Умеет: · Строить график степенной функции в зависимости от показателя степени; · Доказывать свойства степенной функции; · Находить обратную функцию к данной · Находить точки пересечения функций · Решать уравнения и неравенства графически · Определять свойства функции (убывание, возрастание) · Исследовать функцию на монотонность, на четность и на нечетность · Строить график обратной функции на основе четности, нечётности Понимает: · От чего зависит вид графика и свойства степенной функции; · На основе каких теоретических положений доказываются свойства степенной функции; · Какая функция обратимая
Методы обучения: репродуктивный, метод УДЕ, частично – поисковые. Форма работы: фронтальная, групповая Средства обучения: мел, доска, учебник, компьютер, проектор, канва – таблица. Структура урока: 1) Мотивационно – ориентировочный этап (10 минут) 2) Содержательный этап (33 минут) 3) Рефлексивно – оценочный этап (2 минут) Для данного урока необходимо предваряющее домашнее задание: 1) Постройте графики функций и выясните их свойства:
I. Мотивационно-ориентировочный этап: · Актуализация Найти область определения функции (устно, задания в презентации): 1)
2) 3)
Ребята, скажите, что же называется областью определения функции? (Областью определения функции называют множество всех значений, которое принимает её аргумент)
Укажите промежутки возрастания, убывания функции. (ученики работают с теми же рисунками)
Ребята, скажите, какая функция называется убывающей? (Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых и , принадлежащих данному промежутку, таких, что , выполняется неравенство ) · Мотивация: Ребята, сегодня мы с вами будем повторять и систематизировать материал, изученный на прошлых занятиях, который вам понадобится при выполнении самостоятельной работы на следующем уроке. · Учебная задача: Подготовиться к контрольной работе по теме «Степенная функция».
II. Содержательный этап Появляется тема урока: «Степенная функция, её свойства и график».
Ребята, сегодня в течении урока будем заполнять канву-таблицу, которая сейчас лежит перед вами. Вас было задано домашнее задание, в котором Вы должны были построить несколько графиков функций и описать их свойства. Сейчас вы по вариантам будете выходить к доске, изображать графики функций и мы вместе со всеми будем обсуждать свойства этих графиков. Для начала мы рассмотрим функции и (два ученика выходит к доске, и изображают графики этих функций, остальные ученики проверяют их построения)
Свойства: · Область определения – · Множество значений – · Функция – четная · Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке
Свойства: · Область определения – · Множество значений – · Функция – четная · Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке
Хорошо, ребята, скажите, к какому классу из представленных принадлежат наши функции и .
(к I классу). Давайте теперь выявим свойства функций, принадлежащих к классу функций . Свойства: · Область определения –множество · Множество значений – · Функция – четная · Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке . Все результаты заносятся в канву-таблицу.
Далее мы рассматриваем функции и (два ученика выходит к доске, и изображают графики этих функций, остальные ученики проверяют их построения)
Свойства: · Область определения – множество , кроме · Множество значений · Функция – четная · Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке
Свойства: · Область определения – множество , кроме · Множество значений · Функция – четная · Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке
Хорошо, ребята, скажите, к какому классу из представленных принадлежат наши функции и .
(к III классу). Давайте теперь выявим свойства функций, принадлежащих к классу функций Свойства · Область определения – множество , кроме · Множество значений – все положительные числа, то есть · Функция – четная, так как · Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке
Далее мы рассматриваем функции и (два ученика выходит к доске, и изображают графики этих функций, остальные ученики проверяют их построения)
Свойства · Область определения – множество , кроме · Множество значений – множество , кроме · Функция – нечетная · Функция является убывающей на промежутке и
Свойства: · Область определения – множество , кроме · Множество значений – множество , кроме · Функция – нечетная · Функция является убывающей на промежутке и Хорошо, ребята, скажите, к какому классу из представленных принадлежат наши функции и .
(к VI классу). Давайте теперь выявим свойства функций, принадлежащих к классу функций Свойства · Область определения – множество , кроме · Множество значений – множество , кроме · Функция – нечетная, так как · Функция является убывающей на промежутке и
Далее мы рассматриваем функции и (два ученика выходит к доске, и изображают графики этих функций, остальные ученики проверяют их построения)
Свойства · Область определения – множество · Множество значений – множество · Функция – нечетная · Функция возрастающей на всей действительной оси
Свойства: · Область определения – множество · Множество значений – множество · Функция – нечетная · Функция возрастающей на всей действительной оси Хорошо, ребята, скажите, к какому классу из представленных принадлежат наши функции и .
(к II классу). Давайте теперь выявим свойства функций, принадлежащих к классу функций Свойства · Область определения – множество · Множество значений – множество · Функция – нечетная, так как · Функция возрастающей на всей действительной оси
Далее мы рассматриваем функции и (два ученика выходит к доске, и изображают графики этих функций, остальные ученики проверяют их построения)
Свойства · Область определения – положительные числа · Множество значений – положительные числа · Функция является убывающей на промежутке
Свойства: · Область определения – положительные числа · Множество значений – положительные числа · Функция является убывающей на промежутке Хорошо, ребята, скажите, к какому классу из представленных принадлежат наши функции и .
|