Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Проект изучения темы «Степенная функция» (9-10 класс). Урок обобщения и систематизации.

Проект изучения темы «Степенная функция» (9-10 класс). Урок обобщения и систематизации.

Выполнили: Гаранин А., Ершова О., Пеплин Ф.

Обзор математической литературы

1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, 1978.

Приводится подробный разбор видов графиков степенной функции в зависимости от показателя. Имеются удачно подобранные иллюстрации, позволяющие сопоставить различные возможные виды графиков степенной функции.

2. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967.

Обобщается понятие степени и степенной функции на случай комплексных чисел, проводятся аналогии и различия с действительной функцией.

3. Уваренков М.И., Маллер М.З.. Курс математического анализа. Том 1. – М.: Просвещение, 1966.

В этом учебнике строго вводятся действительные числа (с помощью сечений Дедекинда), что дает возможность полного обоснования всех свойств степени с действительным показателем. Следовательно, корректность введения понятия степенной функции неоспорима (чего о школьных учебниках не скажешь). Также на основе строгих определений непрерывности, предела, производной и интеграла доказываются все связанные с этими действиями свойства. В то же время материал достаточно элементарен и может использоваться для работы с сильными классами.

Общая характеристика темы

Особенности и роль темы в математике (включая историческую справку) и в школьном курсе математики

Понятие степенной функции прошло длительный исторический путь своего формирования. Таблицы некоторых натуральных степеней имелись еще в Древнем Китае, Вавилоне, однако вплоть до эпохи Возрождения не существовало общепринятых обозначений. Впервые современную символику для степеней с целым показателем стал использовать Д. Валлис (1616-1703), а общепринятой она стала после работ Ньютона и Лейбница. Также в XVII веке, вместе с открытием переменной величины Декартом и Ферма, появляется понятие функции в более-менее современном ее понимании, в том числе степенной. В частности, Ферма первым сформулировал правило дифференцирования степенной функции. В следующем веке понятие степенной функции, как и других элементарных функций, было обобщено на случай комплексных чисел Леонардом Эйлером.

В настоящее время степенные функции, наряду с остальными элементарными функциями, играют огромную роль в математике и, следовательно, в преподавании математики. В школьном курсе степенные функции являются элементом многих задач, включая уравнения и неравенства, поэтому хорошее знание их свойств необходимо для успешного усвоения программы. Кроме того, степенная функция представляет собой сравнительно простой и в то же время нетривиальный пример функции, на примере которой становится возможным рассмотрение общих свойств функций. В высшей математике степенные функции также широко используются как техническое средство рассмотрения более сложных вопросов математического и функционального анализа, математической физики, диф. уравнений, а также часто встречаются в приложениях.

Программа по математике: инвариантное содержание темы

Общее образование:

Функции. Основные понятия. Зависимости между величинами. Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Свойства функций, их отображение на графике. Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы.

Числовые функции. Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики и свойства. Линейная функция, ее график и свойства. Квадратичная функция, ее график и свойства. Степенные функции с натуральными показателями 2 и 3, их графики и свойства. Графики функций.

Стандарт полного образования:

Корни и степени. Корень степени n>1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график.

 

Обзор методической литературы

1. Глейзер Г. И. История математики. Пособие для учителя.- М.: Просвещение, 1983- 137 с.

В книге приводится историческая справка формирования обозначения степени с рациональным показателем.

2. Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. Изд. 11. Под редакцией и с дополнениями В.Г. Болтянского. - М.: Наука, 1967.

Вся первая глава посвящена «пятому математическому действию» - возведению в степень. Рассмотрено большое количество интересных и нетривиальных примеров.

3. Ивашев-Мусатов О.С. Обобщение понятия степени// Математика в школе. – 1991. - № 2. - с. 39.

Рассматриваются методические тонкости расширения понятия степени числа.

4. Кузнецов В.И. Степень отрицательного числа// Математика в школе. – 1999. - № 5. - С. 44-47.

Приводится несколько вариантов введения степени для отрицательного числа, вскрываются «подводные камни» каждого из них.

5. Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении степени и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно-степенную функцию// Математика в школе. — 1996. - № 2. - С. 29—33.

Рассматривается вопрос о наиболее целесообразном способе определения степени числа, приводятся методические рекомендации по работе с уравнениями и неравенствами, содержащими показательно-степенную функцию

6. Джикаев А.Г. Кто же прав?// Математика в школе — 2003. - № 1. - С. 11—12.

Приведены методические рекомендации, касающиеся введения понятия показательно-степенной функции.

7. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Задачник для 10-11 классов. Шабунин М.И. и др. - М.: ?, 2009. - 477 с.

Большой раздел содержит множество задач по теме «Степенная функция», которые можно рассматривать как дополнительные к задачам из учебника.

8. «Элементарная математика: Элементарные функции: Учеб.-метод. пособие.-Н. Новгород: НГПУ, 2006»

Класс

§12. Область определения функции

· Определение функции

Если каждому значению из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число , то говорят, что на этом множестве задана функция . При этом называют независимой переменной или аргументом, а – зависимой переменной или функцией.

Определение задается описательно.

Строгая логическая форма определения

Данное определение подводит итог предшествующему изучению конкретных классов функций, позволяет взглянуть на них с единых позиций.

Логическая структура определения новая

· Определение области определения функции

Областью определения функции называют множество всех значений, которое принимает её аргумент

Определение задается описательно.

· Определение графика функции

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции

Определение вводится через род и видовые отличия:

Род: Множество точек

Видовые отличия: 1) всех;

2) кординатной плоскости;

3) абсциссы равны значениям независимой переменной из области определения функции;

4) ординаты равны соответствующим значениям функции.

 

Четность и нечетность функции.

· Определение четной функции

Функция называется четной, если для любого из области определения этой функции.

Определение через род и видовое отличие.

Род: функция.

Видовое отличие: для любого из области определения этой функции.

Присутствует квантор всеобщности.

Из определения неявно следует, что область определения чётной функции должна быть симметрична относительно начала координат.

· Свойство графика чётной функции

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Вводится пи построении конкретного графика, то есть на примере

 

· Определение нечетной функции

Функция называется нечетной, если для любого из области определения этой функции.

Определение через род и видовое отличие.

Род: функция.

Видовое отличие: если для любого из области определения этой функции.

Присутствует квантор всеобщности.

Из определения неявно следует, что область определения нечётной функции должна быть симметрична относительно начала координат.

· Свойство графика нечётной функции

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Вводится пи построении конкретного графика, то есть на примере

§15. Функция

Класс

Взаимно обратные функции

· Определение обратимой функции

Если функция принимает каждое свое значение только при одном значении , то эту функцию называют обратимой

Род (функция) и видовое отличие (принимает каждое свое значение только при одном значении

· Определение взаимно обратных функций

Две функции называются взаимно обратными, если первая является обратной для второй и наоборот

· Алгоритм нахождения для данной функции ей обратной

1) Решить уравнение относительно

2) Поменять местами и

· Теорема-свойство взаимно-обратных функций

Область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции.

· Теорема (признак)1:Монотонная функция является обратимой.

Доказательство:

Пусть функция возрастает и пусть – её значение в некоторой точке , то есть . Тогда если принадлежит области определения функции, то при выполняется неравенство , а при – неравенство .

Следовательно, значение функция принимает только в одной точке и поэтому является обратимой. Для убывающей функции доказательство проводится аналогично.

Синтетическое доказательство.

База:

1) определение возрастающей (убывающей) функции;

2) определение обратимой функции.

Функция, являющаяся монотонной, обратной может не иметь.

· Теорема (свойство) 2:

Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой .

Анализ задачного материала:

Класс

§12. Область определения функции

Определение функции

В учебнике отсутствуют задания на данную группу. Необходимо дополнять. В качестве заданий можно предложить:

Какой из графиков задает функцию?

 

Рис 1
Рис 2

 


Ответ: №1

 

2) Задания на отыскание области определения функции: №№ 159,158, 161.

№ 159. Найти область определения функции

1)

,

 

Задания на определение промежутков возрастания и убывания функции №№164,170,171

№164.Построить график и указать промежутки возрастания и убывания функции

Функция возрастает на всей области определения.

Четность и нечетность функции

1) Задания на выяснение ли функция четной, не четной или общего вида.№№172,173,175,176,

№172.

– Функция четная

2) Задания на построение графика функции в зависимости от ее вида (четная, не четная, общего вида) №№ 174,177,178,179,180,181

№174. Построить эскиз графика функции

Функция - чётная, поэтому ее график является симметричным относительно оси ординат, поэтому достаточно построить график в I четверти, а затем отразить его от прямой .

 

 

Класс

Задания на определение степенной функции

Отсутствуют в учебнике 10 класса. Необходимо дополнить. Например, предлагаем такое задание: какие из перечисленных функций являются степенными и почему?

Первая функция является степенной (она имеет требуемый вид), вторая и третья – нет. В самом деле, пусть функцию можно представить в виде степенной, тогда для некоторого фиксированного a. Тогда . То есть такого фиксированного a нет.

В том же духе рассуждая, отбрасываем третью функцию. Опять же, пусть . Возможно ли такое? Нет, было показано, что если больше нуля, то степенная функция строго возрастает, если меньше, то строго убывает, а если a=2, то последнее выражение обратится в 1, а не в 1/3. Так что третья функция тоже не степенная.

Последняя, понятно, степенная, потому что может быть приведена к нужному виду: .

Задания на частные случаи степенной функции, их сравнение

А)Изобразить схематически график функции, найти ее область определения и множество значений: №№ 119, 121, 126, 128, 129,175,176,184.

№ 126. В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений.

1) ;

 

2) , ; ,

3)

4)

Диагностируемые цели

В результате изучения темы ученик

Знает

· Определение функции;

· Что такое область определения функции;

· Определение графика функции;

· Что такое множество значений функции;

· Определение возрастающей/ убывающей функции;

· Определение четной/нечетной функции;

· Определение степенной функции;

· Общие свойства степенной функции;

· Свойства частных видов степенной функции;

· Вид графика зависит от показателя p;

· Определение обратимой функции;

· Свойства взаимно обратных функций

· График обратной функции симметричен относительно прямой .

Умеет:

· Строить график степенной функции в зависимости от показателя степени;

· Доказывать свойства степенной функции;

· Находить обратную функцию к данной

· Находить точки пересечения функций

· Решать уравнения и неравенства графически

· Определять свойства функции (убывание, возрастание)

· Исследовать функцию на монотонность, на четность и на нечетность

· Строить график обратной функции на основе четности, нечётности

Понимает:

· От чего зависит вид графика и свойства степенной функции;

· На основе каких теоретических положений доказываются свойства степенной функции;

· Какая функция обратимая

 

Тематическое планирование

Класс

Степенная функция 10    
1 Степенная функция, ее свойства и график.    
Степенная функция, ее свойства и график    
Взаимно обратные функции.    
Равносильные уравнения и неравенства.    
  Иррациональные уравнения и неравенства.      
Иррациональные уравнения и неравенства    
  Уроки обобщения, систематизации и коррекции знаний.      
Уроки обобщения, систематизации и коррекции знаний.    
Уроки обобщения, систематизации и коррекции знаний.    
Контрольная работа № 1 по теме «Степенная функция»    

Конспект урока № 9:

Знает

· Определение функции;

· Что такое область определения функции;

· Определение графика функции;

· Что такое множество значений функции;

· Определение возрастающей/ убывающей функции;

· Определение четной/нечетной функции;

· Определение степенной функции;

· Общие свойства степенной функции;

· Свойства частных видов степенной функции;

· Вид графика зависит от показателя p;

· Определение обратимой функции;

· Свойства взаимно обратных функций

· График обратной функции симметричен относительно прямой .

Умеет:

· Строить график степенной функции в зависимости от показателя степени;

· Доказывать свойства степенной функции;

· Находить обратную функцию к данной

· Находить точки пересечения функций

· Решать уравнения и неравенства графически

· Определять свойства функции (убывание, возрастание)

· Исследовать функцию на монотонность, на четность и на нечетность

· Строить график обратной функции на основе четности, нечётности

Понимает:

· От чего зависит вид графика и свойства степенной функции;

· На основе каких теоретических положений доказываются свойства степенной функции;

· Какая функция обратимая

 

Методы обучения: репродуктивный, метод УДЕ, частично – поисковые.

Форма работы: фронтальная, групповая

Средства обучения: мел, доска, учебник, компьютер, проектор, канва – таблица.

Структура урока:

1) Мотивационно – ориентировочный этап (10 минут)

2) Содержательный этап (33 минут)

3) Рефлексивно – оценочный этап (2 минут)

Для данного урока необходимо предваряющее домашнее задание:

1) Постройте графики функций и выясните их свойства:

I вариант
II вариант
III вариант
IV вариант

 

I. Мотивационно-ориентировочный этап:

· Актуализация

Найти область определения функции (устно, задания в презентации):

1)

\

2)

3)

 

 

Ребята, скажите, что же называется областью определения функции? (Областью определения функции называют множество всех значений, которое принимает её аргумент)

 

Укажите промежутки возрастания, убывания функции. (ученики работают с теми же рисунками)

\
Ребята, скажите, какая функция называется возрастающей? (Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых и , принадлежащих данному промежутку, таких, что , выполняется неравенство )

 

Ребята, скажите, какая функция называется убывающей? (Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых и , принадлежащих данному промежутку, таких, что , выполняется неравенство )

· Мотивация:

Ребята, сегодня мы с вами будем повторять и систематизировать материал, изученный на прошлых занятиях, который вам понадобится при выполнении самостоятельной работы на следующем уроке.

· Учебная задача:

Подготовиться к контрольной работе по теме «Степенная функция».

 

II. Содержательный этап

Появляется тема урока: «Степенная функция, её свойства и график».

 

Ребята, сегодня в течении урока будем заполнять канву-таблицу, которая сейчас лежит перед вами. Вас было задано домашнее задание, в котором Вы должны были построить несколько графиков функций и описать их свойства. Сейчас вы по вариантам будете выходить к доске, изображать графики функций и мы вместе со всеми будем обсуждать свойства этих графиков.

Для начала мы рассмотрим функции и (два ученика выходит к доске, и изображают графики этих функций, остальные ученики проверяют их построения)

 

 

 

Свойства:

· Область определения –

· Множество значений –

· Функция – четная

· Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке

 

 

 

 

Свойства:

· Область определения –

· Множество значений –

· Функция – четная

· Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке

 

 

Хорошо, ребята, скажите, к какому классу из представленных принадлежат наши функции и .

I
II
III
IV
V – положительное действительное нецелое число

(к I классу).

Давайте теперь выявим свойства функций, принадлежащих к классу функций .

Свойства:

· Область определения –множество

· Множество значений –

· Функция – четная

· Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке .

Все результаты заносятся в канву-таблицу.

 

 

Далее мы рассматриваем функции и (два ученика выходит к доске, и изображают графики этих функций, остальные ученики проверяют их построения)

 

 

Свойства:

· Область определения – множество , кроме

· Множество значений

· Функция – четная

· Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке

 

 

 

Свойства:

· Область определения – множество , кроме

· Множество значений

· Функция – четная

· Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке

 

Хорошо, ребята, скажите, к какому классу из представленных принадлежат наши функции и .

I
II
III
IV
V – положительное действительное нецелое число

(к III классу).

Давайте теперь выявим свойства функций, принадлежащих к классу функций

Свойства

· Область определения – множество , кроме

· Множество значений – все положительные числа, то есть

· Функция – четная, так как

· Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке

 

 

Далее мы рассматриваем функции и (два ученика выходит к доске, и изображают графики этих функций, остальные ученики проверяют их построения)

 

 

 

Свойства

· Область определения – множество , кроме

· Множество значений – множество , кроме

· Функция – нечетная

· Функция является убывающей на промежутке и

 

 

 

 

Свойства:

· Область определения – множество , кроме

· Множество значений – множество , кроме

· Функция – нечетная

· Функция является убывающей на промежутке и

Хорошо, ребята, скажите, к какому классу из представленных принадлежат наши функции и .

I
II
III
IV
V – положительное действительное нецелое число

(к VI классу).

Давайте теперь выявим свойства функций, принадлежащих к классу функций

Свойства

· Область определения – множество , кроме

· Множество значений – множество , кроме

· Функция – нечетная, так как

· Функция является убывающей на промежутке и

 

 

Далее мы рассматриваем функции и (два ученика выходит к доске, и изображают графики этих функций, остальные ученики проверяют их построения)

 

 

 

Свойства

· Область определения – множество

· Множество значений – множество

· Функция – нечетная

· Функция возрастающей на всей действительной оси


 

 

 

 

Свойства:

· Область определения – множество

· Множество значений – множество

· Функция – нечетная

· Функция возрастающей на всей действительной оси

Хорошо, ребята, скажите, к какому классу из представленных принадлежат наши функции и .

I
II
III
IV
V – положительное действительное нецелое число

(к II классу).

Давайте теперь выявим свойства функций, принадлежащих к классу функций

Свойства

· Область определения – множество

· Множество значений – множество

· Функция – нечетная, так как

· Функция возрастающей на всей действительной оси

 

Далее мы рассматриваем функции и (два ученика выходит к доске, и изображают графики этих функций, остальные ученики проверяют их построения)

 

 

 

 

Свойства

· Область определения – положительные числа

· Множество значений – положительные числа

· Функция является убывающей на промежутке


 

 

 

 

Свойства:

· Область определения – положительные числа

· Множество значений – положительные числа

· Функция является убывающей на промежутке

Хорошо, ребята, скажите, к какому классу из представленных принадлежат наши функции и .

I
II
III
IV

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-22

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...