Сравнительный анализ содержания темы в различных школьных учебниках

Учебник Ш. А. Алимова, Ю.М. Колягина и др. Алгебра 10-11 (2007) приводит изложение темы во второй главе, сразу после обобщения сведений о действительных числах. На основе введенного в конце первого параграфа общего определения степени с действительным показателем естественным образом возникает понятие степенной функции. Подробно рассматривается вопрос о виде графика степенной функции с целым показателем различных видов (четный/нечетный, положительный/отрицательный), а также с действительным показателем. На основе этой информации в следующем параграфе ведется разговор об обратных функциях, приводится ряд примеров, доказывается пара теорем об обратных функциях. Далее рассматривается вопрос о равносильности уравнений и неравенств. Последние два параграфа главы посвящены рассмотрению иррациональных уравнений и неравенств.

Итак, в рассматриваемом учебнике Ш.А. Алимова и др. собственно степенной функции посвящен лишь первый параграф главы. С учетом того, что глава помещена практически в начало учебника, можно сделать вывод, что степенная функция стала лишь отправной точкой, поводом для введения других понятий, одним из источников фактического материала для дальнейших рассуждений, а также техническим инструментом решения других задач. В дальнейшем, в частности, при изучении общих свойств функций, изложении основ дифференциального и интегрального исчислений, авторы вновь обращаются к степенной функции. Такой подход представляется оправданным из педагогических соображений, однако с точки зрения дедуктивного построения курса неудобен. В более новой редакции учебника (М.Ю. Колягин и др., 2009) та же самая глава помещена после главы «Показательная функция». Такая механическая перегруппировка материала позволяет рассматривать степенно-показательные функции, уравнения и неравенства с ними, в анализируемой теме.

Диаметрально противоположный подход реализован в учебнике «Алгебра. Начала математического анализа, 10 кл.» авторов М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев. Т.к. учебник рассчитан на профильный уровень изучения, авторы избрали дедуктивное изложение курса, то есть от общего к частному. В первой главе даются основы математической логики, во второй систематизируются и расширяются знания о числовых множествах (в том числе дается общее определение степени и определение логарифма). Третья глава посвящена рассмотрению общих свойств функций. В 9 главе даются определения предела и непрерывности функции. Полное, однако сжатое, рассмотрение конкретных классов функций происходит лишь в последней главе, первый параграф которой посвящен степенной функции. Как ни странно, внутри этого параграфа материал излагается индуктивно: последовательно рассматриваются свойства и графики функций для в последнем случае, и, наконец, .

Промежуточная линия между представленными оппозициями реализована, разумеется, в учебнике А.Г. Мордковича («Алгебра и начала мат. анализа, 10-11 класс в 2-х частях»). Автор разделяет установку на конкретность истины, тем самым избегая формалистических нагромождений, однако не растекается мыслью по древу и старается излагать материал максимально полно, не разрывая его на части. Применительно к нашей теме это выражается в том, что учебник начинается с небольшого рассмотрения числовых функций, их свойств (монотонность, четность/нечетность и пр.), введения понятия обратной функции, а затем идет рассмотрение конкретных функций, а также уравнений и неравенств с ними, отдельные главы посвящены интегральному и дифференциальному исчислениям. Глава 6 содержит подробное рассмотрение степеней и корней, включая свойства. Сразу после параграфа об обобщении понятия степени рассматривается понятие степенной функции. Подробно рассматриваются свойства и графики различных видов степенной функции (для автор лишь ссылается на учебник 9 класса, поэтому все внимание сосредоточено на общем случае ). Дается общее правило дифференцирования, которое, увы, не доказывается, автор ограничивается лишь обоснованными в предыдущих главах частными случаями. Практически в том же виде глава представлена и в учебнике для базового уровня.

Думается, что представленные точки зрения выражают подходы, которые применяются при изложении нашей темы в 10 классе. Касательно присутствия данной темы в 9 классе, можно сказать, что она освящается во всех рассмотренных учебниках (Ш.А. Алимов и др., С.М. Никольский, Н.Я. Виленкин, оба А.Г. Мордковича – базовый и профильный) почти одинаково: изучение степеней с рациональным показателем, степенная функция, простейшие свойства, вид графика для случаев целого показателя. То есть на содержательном уровне происходит знакомство со степенной функцией еще в 9 классе, цель изучения темы в 10 классе – на более высоком формально-логическом уровне (за счет введения степени с действительном показателем) рассмотреть смежные вопросы.

Обзор методической литературы

1. Глейзер Г. И. История математики. Пособие для учителя.- М.: Просвещение, 1983- 137 с.

В книге приводится историческая справка формирования обозначения степени с рациональным показателем.

2. Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. Изд. 11. Под редакцией и с дополнениями В.Г. Болтянского. - М.: Наука, 1967.

Вся первая глава посвящена «пятому математическому действию» - возведению в степень. Рассмотрено большое количество интересных и нетривиальных примеров.

3. Ивашев-Мусатов О.С. Обобщение понятия степени// Математика в школе. – 1991. - № 2. - с. 39.

Рассматриваются методические тонкости расширения понятия степени числа.

4. Кузнецов В.И. Степень отрицательного числа// Математика в школе. – 1999. - № 5. - С. 44-47.

Приводится несколько вариантов введения степени для отрицательного числа, вскрываются «подводные камни» каждого из них.

5. Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении степени и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно-степенную функцию// Математика в школе. — 1996. - № 2. - С. 29—33.

Рассматривается вопрос о наиболее целесообразном способе определения степени числа, приводятся методические рекомендации по работе с уравнениями и неравенствами, содержащими показательно-степенную функцию

6. Джикаев А.Г. Кто же прав?// Математика в школе — 2003. - № 1. - С. 11—12.

Приведены методические рекомендации, касающиеся введения понятия показательно-степенной функции.

7. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Задачник для 10-11 классов. Шабунин М.И. и др. - М.: ?, 2009. - 477 с.

Большой раздел содержит множество задач по теме «Степенная функция», которые можно рассматривать как дополнительные к задачам из учебника.

8. «Элементарная математика: Элементарные функции: Учеб.-метод. пособие.-Н. Новгород: НГПУ, 2006»