В данном параграфе неявно вводится понятие множества значений в процессе решения задачи.

Так же вводится алгоритм построение графика функции

Класс

Степенная функция, её свойства и график

· Определение степенной функции

Функция вида , где – заданное действительное число называется степенной функцией.

Определение через род и видовые отличия:

Род – Функция;

Родовые отличия - вида , где – заданное действительное число

· Частные случаи степенной функции ( )

1) Показатель – четное натуральное число.

· Область определения – все действительные числа, то есть все множество

· Множество значений – неотрицательные числа, то есть

· Функция – четная, так как

· Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке

График функции имеет такой же вид, как например, график функции (рис 1)

2)

Свойства функции :

· Область определения – множество

· Множество значений – множество

· Функция – нечетная, так как

· Функция возрастающей на всей действительной оси

График функции имеет такой же вид, как например, график функции (рис 2)

3)

Свойства функции :

· Область определения – множество , кроме

· Множество значений – все положительные числа, то есть

· Функция – четная, так как

· Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке

График функции имеет такой же вид, как например, график функции (рис 3)

4)

Свойства функции :

· Область определения – множество , кроме

· Множество значений – множество , кроме

· Функция – нечетная, так как

· Функция является убывающей на промежутке и

График функции имеет такой же вид, как например, график функции (рис 4)

5) Показатель – положительное действительное нецелое число

Свойства функции :

· Область определения – неотрицательные числа

· Множество значений – неотрицательные числа

· Функция является возрастающей на промежутке

График функции , где - положительное нецелое число имеет такой же вид, как, например, график функции (рис 5), или как, например, график функции (рис 6)

6) Показатель – отрицательное действительное нецелое число

· Область определения – положительные числа

· Множество значений – положительные числа

· Функция является убывающей на промежутке

График функции , где - отрицательное нецелое число имеет такой же вид, как например, график функции (рис 7).

Взаимно обратные функции

· Определение обратимой функции

Если функция принимает каждое свое значение только при одном значении , то эту функцию называют обратимой

Род (функция) и видовое отличие (принимает каждое свое значение только при одном значении

· Определение взаимно обратных функций

Две функции называются взаимно обратными, если первая является обратной для второй и наоборот

· Алгоритм нахождения для данной функции ей обратной

1) Решить уравнение относительно

2) Поменять местами и

· Теорема-свойство взаимно-обратных функций

Область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции.

· Теорема (признак)1:Монотонная функция является обратимой.

Доказательство:

Пусть функция возрастает и пусть – её значение в некоторой точке , то есть . Тогда если принадлежит области определения функции, то при выполняется неравенство , а при – неравенство .

Следовательно, значение функция принимает только в одной точке и поэтому является обратимой. Для убывающей функции доказательство проводится аналогично.

Синтетическое доказательство.

База:

1) определение возрастающей (убывающей) функции;

2) определение обратимой функции.

Функция, являющаяся монотонной, обратной может не иметь.

· Теорема (свойство) 2:

Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой .

Анализ задачного материала:

Класс

§12. Область определения функции

Определение функции

В учебнике отсутствуют задания на данную группу. Необходимо дополнять. В качестве заданий можно предложить:

Какой из графиков задает функцию?

Ответ: №1

2) Задания на отыскание области определения функции: №№ 159,158, 161.

№ 159. Найти область определения функции

1)

,