Параграф 7. Взаимно обратные функции

1) Задания, в которых требуется выяснить, обратима ли функция: № 131.

131. Выяснить, является ли обратимой функция.

1)

Всякое ли y достигается лишь при одном x?

Как видим, да. Значит, функция обратима.

5)

Аналогичный вопрос: всякое ли y достигается при единственной значении x? Нет. Например, y=16 достигается при x=2,-2. То есть функция не является обратимой.

Особенность данного задания состоит в том, что при его решении отрабатывается определение обратимой функции.

2) Найти функцию, обратную к данной: №№ 132, 136,180.

№ 136. Найти функцию, обратную к данной

2) .

Решаем относительно x.

Заменяя x на y, и наоборот, имеем .

Ответ: .

3) Построить график обратной функции: №№134,181.

Решение задачи основано на том, что нужно «нарисовать» график функции, симметричный данному относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.

№ 181.

а) (красным указано то, что дано, черным – нарисованный график обратной функции).

4) Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной: №№133,137,180.

№ 133. Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной

6)

Выясним, обратима ли функция.

Каждое значение y достигается лишь при одном значении x. Следовательно, функция обратима, и найденная функция x(y) является обратной для нее. Или, в традиционных обозначениях, .

Найдем ОО и множество значений обратной функции. Область определения - , множество значений - .

Ответ:

В вышеприведенных заданиях отрабатывается определение обратной функции, алгоритм нахождения ее аналитического задания и основных свойств.

5) Являются ли взаимно обратными функции: №№ 135,185.

Являются ли взаимно обратными функции

.

6 ) Комбинированное задание (найти обратную функцию, построить графики на одном рисунке, найти ОО и мн знач каждой из них): №№ 137,186

№ 137 (5) На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной к данной; найти область определения и множество значений каждой из них.

Обратная .

Выводы по анализу задачного материала? (см. основной учебник, как там описывается анализ задачного материала темы и какие выводы нужно приводить)

Постановка учебных задач и диагностируемых целей

Учебные задачи темы:

1. Ввести понятие функции, области определения функции

2. Ввести понятие степенной функции как модели процессов реальной действительности, рассмотреть её общие свойства, установить зависимость графика степенной функции от показателя степени, выявить свойства частных видов степенной функции.

3. Ввести понятие обратимой функции, взаимно обратных функций, алгоритм нахождения обратной функции

Диагностируемые цели

В результате изучения темы ученик

Знает

· Определение функции;

· Что такое область определения функции;

· Определение графика функции;

· Что такое множество значений функции;

· Определение возрастающей/ убывающей функции;

· Определение четной/нечетной функции;

· Определение степенной функции;

· Общие свойства степенной функции;

· Свойства частных видов степенной функции;

· Вид графика зависит от показателя p;

· Определение обратимой функции;

· Свойства взаимно обратных функций

· График обратной функции симметричен относительно прямой .

Умеет:

· Строить график степенной функции в зависимости от показателя степени;

· Доказывать свойства степенной функции;

· Находить обратную функцию к данной

· Находить точки пересечения функций

· Решать уравнения и неравенства графически

· Определять свойства функции (убывание, возрастание)

· Исследовать функцию на монотонность, на четность и на нечетность

· Строить график обратной функции на основе четности, нечётности

Понимает:

· От чего зависит вид графика и свойства степенной функции;

· На основе каких теоретических положений доказываются свойства степенной функции;

· Какая функция обратимая

Тематическое планирование

Класс

Конспект урока № 9: