Основные подходы к решению многокритериальных задач

Существует ряд классических задач принятия решений, для которых построены отработанные математические модели, позволяющие находить решения без участия ЛПР. Это такие задачи, как распределение ресурсов, транспортная задача, управление запасами и т.д. Для их решения используется линейное, нелинейное, целочисленное, динамическое программирование и другие аналитические методы. В нашем курсе этим методам не будет уделяться внимание.

Но есть задачи, которые этими методами не решаются. Прежде всего, это многокритериальные задачи в сложных ситуациях. То есть сложными будем считать ситуации, в которых есть несколько критериев, а также есть действия неопределённых факторов или необходимость учёта мнений нескольких лиц и т.д.

Как правило, не существует решения наилучшего по всем критериям, критерии часто бывают противоречивы. То есть выбрать надо оптимальное сочетание.

Центральное место в современной науке о принятии решений уделяется многокритериальным задачам выбора, так как в жизни чаще встречаются именно такие задачи.

Необходимо иметь в виду, что какого-либо формального математического метода «преодоления» многокритериальности не может быть в принципе. Все без исключения методы решения многокритериальных задач представляют собой различные способы организации взаимодействия с ЛПР и отличаются формой вопросов, которые ему «задаются» компьютерной программой.

Начинать надо с составления перечня целей, которые мы преследуем, решая задачу выбора. И только от него переходить к перечню критериев. Такая последовательность действий позволит контролировать соответствие формируемого списка критериев целям, которые мы преследуем, решая задачу. Эта последовательность действий естественно подталкивает к тому, чтобы рассмотреть альтернативные варианты критериев исходя из поставленных целей.

Оценка эффективности альтернатив

Эффективной (оптимальной по Парето) называется такая альтернатива, для которой не существует другой допустимой, не уступающей ей по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходящей её альтернативы.

Понятно, что альтернатива, не являющаяся эффективной, ни при каких условиях не может рассматриваться в качестве решения, так как существует другая альтернатива превосходящая её. Отсюда вытекает важнейший критерий рациональности процесса разработки и принятия решения: выбираемый вариант должен быть эффективным.

Рассмотрим задачу нахождения множества эффективных решений на заданном множестве альтернатив в наиболее простом дискретном случае. Есть заданный набор вариантов решения, из которых надо сделать выбор. Пусть для каждого из критериев, учитываемых при принятии решения, предпочтительнее большее значение. Для решения этой задачи необходимо построить матрицу сравнения альтернатив (это квадратная матрица, число строк и столбцов которой равно числу сравниваемых альтернатив), в которой в i-й строке, j-м столбце будем ставить 1, если i-я альтернатива доминирует j-ю (то есть первая превосходит вторую хотя бы по одному критерию, а по остальным не уступает ей), в остальных случаях ставим 0.Исходя из этой матрицы, найти эффективные альтернативы можно убрав те альтернативы, в столбцах которых встречается хотя бы одна единица. Альтернативы, у которых в столбцах отсутствуют единицы, и будут являться эффективными.

Решить следующую задачу: в ниже приведённой таблице даны оценки 6 альтернатив по 5 критериям, чем выше оценка, тем лучше альтернатива, построить матрицу парных сравнений этих альтернатив и найти эффективные.

Матрица парного сравнения шести альтернатив

Мы получили два столбца, где есть 1: это столбцы для первой и четвёртой альтернативы, поэтому эти альтернативы не являются эффективными и от них можно отказаться. Парето-оптимальные в нашем случае вторая, третья, пятая и шестая. ЛПР может теперь выбрать одну из них. Но строить из них комбинации, даже в тех случаях, когда такая комбинированная альтернатива имеет смысл, нельзя. Она может оказаться неэффективной и не должна рассматриваться в качестве решения без дополнительного исследования.

Упражнения

Решить ту же задачу для следующих таблиц с данными

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Где n– первая цифра в номере студенческого билета, а m- вторая.

Выбор наилучшей альтернативы из оптимальных

Выделение множества Парето можно рассматривать лишь как предварительный этап оптимизации, и налицо проблема сокращения этого множества.

Предварительно необходимо провести нормализацию таблиц с оценками эффективных альтернатив. Нормализация может быть проведена, например, делением каждого значения критерия на максимальное по столбцу или на сумму всех значений этого критерия по всем альтернативам (по столбцу).

Нормализуем таблицу с оставшимися альтернативами из нашего примера

Первый способ нормализации:

В итоге получаем следующую таблицу уже нормализованную

Второй способ нормализации:

Делитель – это сумма столбца, в котором этот делитель используется.

В итоге получаем следующую уже нормализованную таблицу

(Упражнения:Нормализуйте таблицы с оставшимися эффективными альтернативами из предыдущих шести заданий.)

Затем можно использовать различные принципы, одним из которых является принцип справедливой уступки.

Принцип справедливой уступки.

У этого принципа имеются следующие разновидности.

1. Принцип абсолютной уступки. Наилучшим считается решение, при котором суммарный абсолютный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного уровня повышения других.

2. Принцип относительной уступки. Наилучшим считается такое решение, при котором суммарный относительный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит относительного суммарного уровня повышения по остальным критериям.

Рассмотрим решение нашего примера с использованием принципа абсолютной уступки. Последовательно найдём наилучшее решение: пусть наилучшим будет вторая альтернатива. В этом случае при сравнении с третьей мы должны получить, что у третьей альтернативы больше минусов, чем плюсов по сравнению со второй. Поверим так ли это: ухудшение на 0,06 при переходе к третьей есть только по первому критерию по всем остальным идёт улучшение, следовательно, наше предположение неверно и третья альтернатива лучше второй. Пусть тогда лучшей будет третья сравним её с пятой: пятая альтернатива лучше только по третьему критерию на 0,05, а по всем остальным она гораздо хуже, следовательно третья альтернатива лучше пятой. Осталось сравнить третью и шестую альтернативы. Шестая лучше по первому критерию на 0,12, а по второму, третьему и четвёртому хуже в сумме на 0,12+0,04+0,17=0,33, пятый критерий имеет одинаковые оценки, следовательно третья альтернатива лучше шестой и является наилучшей при применении принципа абсолютной уступки.

Ответ: наилучшей с применением принципа абсолютной уступки является третья альтернатива.

Практически можно находить наилучшую по этому принципу просто сложив нормализованные оценки по всем критериям для каждой альтернативы и выбрать ту, у которой эта суммарная оценка наивысшая.

В нашем примере альтернативы имеют следующие суммарные оценки

Как видно наилучшая – третья альтернатива

Упражнения

Доделать предыдущие задания: найти наилучшее решение, используя принцип абсолютной уступки.