Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Вектори на площині і в просторі

Вектори на площині і в просторі

Означення і позначення векторів

Векторна величина, на відміну від скалярної (температура, об'єм, маса), характеризується не тільки числовим значенням, а й напрямом (швидкість, прискорення, сила).

Означення 1. Вектором називається напрямлений відрізок прямої. Вектори мають позначення: (точка А – початок вектора, В – його кінець, рис. 3.1.1, а)

 
А
 
 
В

 

 


Рис. 3.1.1

Означення 2. Довжина вектора називається його модулем і позначається: або

 

Означення 3. Вектори називаються рівними, якщо вони однаково напрямлені і мають однакову довжину: , = (рис. 3.1.1, б).

Це означає, що різні вектори не розрізнюються за місцем розміщення у просторі і паралельне перенесення вектора в іншу точку простору не призводить до зміни вектора. Такі вектори називаються рівними.

Означення 4. Вектор називається нульовим вектором ( ), якщо його початок і кінець співпадають.

Напрям цього вектора невизначений, а його довжина дорівнює нулю.

Означення 5. Ортом вектора називається вектор одиничної довжини, напрям якого співпадає з напрямом вектора .

Коленіарність і компланарність векторів

Означення 6. Вектори, що знаходяться на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними (рис. 3.1.2, а, б).

 

 

 


Рис. 3.1.2

Колінеарні вектори позначаються двома паралельними стрілками: , якщо напрямки співпадають; , якщо напрямки протилежні, або - || , якщо напрямки невідомі.

   

 

 


Рис. 3.1.3

Означення 7. Вектори, що паралельні одній площині або лежать на одній площині, називаються компланарними (рис. 3.1.3).

 

Лінійні операції над векторами

До лінійних операцій над векторами відносяться: додавання (віднімання) векторів і множення вектора на число.

= + , = -
+ , = + + , = + +

 

 


Рис. 3.1.4

Означення 8. Сумою векторів i називається вектор = + , який з’єднує початок вектора з кінцем вектора , за умови, що початок вектора і кінець вектора співпадають (правило трикутника, рис. 3.1.1, в).

Рис. 3.1.5
 
Означити суму векторів i , які мають спільний початок можна по іншому: вектор = + являє собою діагональ паралелограма, побудованого на векторах i (правило паралелограма, рис. 3.1.1, г). Аналогічно визначається сума декількох векторів. Наприклад, сумою векторів (рис. 3.1.4, а) є вектор початок якого співпадає з початком вектора а кінець – з кінцем вектора (правило багатокутника, рис. 3.1.4, б).

У випадку, коли вектори не належать одній площині, вектор являє собою діагональ паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 3.1.5).

Відмітимо деякі правила додавання векторів:

1) - переставний закон;

2) – сполучний закон;

3) Для кожного вектора існує протилежний вектор (- ) такий, що ;

4) .

Означення 9. Різницею векторів i називається вектор - , який в сумі з вектором дає вектор . Інакше кажучи, це вектор, який з’єднує кінець вектора з кінцем вектора , за умови, що i мають спільний початок (рис. 3.1.1, д).

Операціям додавання і віднімання двох векторів i можна надати наступну геометричну інтерпретацію: в паралелограмі, побудованому на векторах i , одна діагональ є сумою векторів i , а інша діагональ – їх різницею (рис. 3.1.4, в).

Означення 10. Добутком вектора на число λ називається вектор λ , колінеарний вектору , який має модуль, що дорівнює , і напрям, однаковий з вектором (λ>0), або протилежний вектору (λ<0).

 
Приклад 1. Точка О є центром перетину медіан трикутника АВС. Довести, що

Рис. 3.1.6
Розв’язок. З рис. 3.1.6 випливає, що сума векторів Вектори, які лежать на медіанах трикутника, можна виразити наступним чином: Додавши ці співвідношення, одержимо:

Але точка О, ділить медіани трикутника у відношенні 2:1 і тому матимемо наступне очевидне співвідношення:

= ( )= - .•

Твердження 1. Ненульові вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли виконується співвідношення: , де λ≠0 – деяке дійсне число.

Дійсно, якщо вектори колінеарні, то вони розміщені на одній прямій або на двох паралельних прямих. З означення рівності двох векторів випливає, що при λ= , якщо одного напрямку, або при λ= - у протилежному випадку.

Навпаки, якщо , то з означення операції множення вектора на число слідує, що вектори коленіарні.

Наслідок. Вектор і його орт задовольняють співвідношенню: = або

 

Означення 11. Лінійною комбінацією векторів є вектор , який можна подати, як суму наступних векторів: (3.1.1) де – довільні дійсні числа.

 

Твердження 2. Будь-який вектор у просторі можна представити, причому єдиним способом, у вигляді лінійної комбінації трьох не компланарних векторів .

Дійсно, якщо вектор колінеарний одному з векторів наприклад, , то з твердження 1 . Звідси .

Якщо ж компланарний будь-якій парі векторів, наприклад, то за правилом паралелограма його можна представити у вигляді: де , || . Звідси маємо .

У випадку, коли вектор некомпланарний жодній парі векторів (рис. 3.1.7), його можна представити за правилом паралелепіпеда у вигляді , де , , . Звідси маємо .

 
Рис. 3.1.7
Доведемо однозначність представлення вектора у вигляді лінійної комбінації трьох не компланарних векторів. Припустимо супротивне, що існує два представлення вектора : і . Віднімаючи від першої рівності другу, одержимо співвідношення:

= .

Якщо хоча б одна з різниць , , не дорівнюватиме нулю, наприклад , то , що означає компланарність векторів . Одержали протиріччя. Отже, представлення однозначне.

Числа λ, µ, 𝛾 називаються координатами вектора в базисі , , що скорочено записується так: (λ,µ,𝛾).

Проекція вектора на вісь

Означення 12. Основа перпендикуляра Р , опущеного з точки Р на вісь l, називається проекцією точки Р на вісь l (рис. 3.1.8, а).

Для знаходження проекції точки Р на вісь l необхідно через цю точку провести площину, перпендикулярну до l, і визначити точку перетину площини і осі.

 

б)

 

 


Рис. 3.1.8

Означення 13. Проекцією вектора на вісь l називається число
, якщо напрямки і l співпадають,


- проекції точок А і В.
, якщо напрямки і l протилежні,

 

Проекція вектора на вісь l дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між вектором і віссю: .

 
Дійсно, якщо 0≤𝜑< , то це очевидно з прямокутного трикутника АВ (рис. 3.1.9). Якщо ж , тобто вектор i l мають протилежні напрямки, то .

При .

 

Властивості проекцій

1. Проекція вектора на вісь додатна, якщо кут між віссю і вектором гострий, від’ємна, якщо кут тупий і дорівнює нулю, якщо кут прямий.

Властивість випливає з формули проекції.

2. Проекції рівних векторів на одну вісь рівні:

 
Властивість випливає з формули проекції.

3.

Проекція суми декількох векторів на одну вісь дорівнює сумі проекцій векторів на цю вісь:

Нехай . Тоді з рис. 3.1.10 знаходимо, що , , . З іншого боку, маємо:

+ .

4. Проекція добутку вектора на число дорівнює добутку проекції вектора на це число:

Дійсно, при λ>0

А при λ<0

= .

 

Лінійна залежність векторів

Означення 14. Вектори , називаються лінійно залежними, якщо їх лінійна комбінація (3.1.1) дорівнює нулю принаймні хоча б при одному значенні , тобто +…+ = . (3.1.2)

У протилежному випадку вектори , називаються лінійно незалежними, тобто співвідношення (3.1.2) виконується тільки при =0.

Зауважимо, що якщо серед n векторів є один рівний , то вони лінійно залежні, оскільки тоді завжди знайдеться при нуль-векторі таке, що виконується (3.1.2).

Твердження 3. Якщо із n векторів k векторів (1<k≤n-1) лінійно залежні, то всі n векторів лінійно залежні.

Очевидно, що лінійна залежність k векторів означає дотримання рівності +…+ = при хоча б одному Звідси маємо: +…+ = що доводить лінійну залежність n векторів.

Твердження 4. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності двох векторів i є їх колінеарність.

Колінеарність векторів i рівносильна дотриманню співвідношення , з якого випливає лінійна залежність: =0. Навпаки, якщо i залежні, то виконується (3.1.2), тобто, + = Звідси маємо колінеарність: = , або = , .

Твердження 5. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності трьох векторів є їх компланарність.

Компланарність векторів рівносильна дотриманню для одного з них, наприклад співвідношення: , ( ), що і означає лінійну залежність (-1) =0.

І навпаки, лінійна залежність векторів , тобто співвідношення (3.1.2), дозволяє виразити один з векторів через інші, що є рівносильним їх компланарності.

Твердження 6. Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

Дійсно, якщо будь-які три вектори із чотирьох векторів компланарні, то вони є водночас і лінійно залежними (твердження 5). А це, в свою чергу, означає (твердження 3), що всі чотири вектори лінійно залежні. Тому доцільно припустити, що будь-які три вектори з чотирьох не компланарні. Нехай, наприклад, вектори некомпланарні. Тоді згідно з твердженням 2 вектор може бути представлений у вигляді суми векторів: = , де - деякі дійсні числа (твердження 2), звідки і випливає лінійна залежність даних чотирьох векторів: +(-1) =0 (рис. 3.1.7).

 


а) ( ) – права трійка, б) ( ), ( ), ( ) – праві трійки,

) – ліва трійка ), ( ), ( ) – ліві трійки.

 

Рис. 3.1.11

 

Декартова (прямокутна) система координат

З твердження 2 випливає, що три не компланарних вектора , , утворюють у просторі базис, тобто будь-який інший вектор може бути однозначно представлений лінійною їх комбінацією: + + . При цьому встановлюється взаємооднозначна відповідність між векторами простору і трійками дійсних чисел ( ), які називаються координатами вектора.

Трійка некомпланарних векторів , , зведена до спільного початку О утворює систему координат у просторі, яка називається афіною.

На практиці найбільш уживаним є ортонормований базис, який складається з трьох взаємно перпендикулярних векторів одиничної довжини. При цьому розрізняють праві і ліві трійки векторів.

Означення 15.Трійка векторів називається правою (лівою), якщо з кінця вектора найкоротший поворот від вектора до вектора спостерігається проти (за) годинниковою стрілки (рис. 3.1.11, а).

 

Рис. 3.1.12
 
Згідно з цим означенням розрізняють праві і ліві координатні системи. У подальшому будемо вважати, що базисні вектори координатної системи утворюють праву трійку векторів.

 

Декартова (прямокутна) система координат у просторі (рис. 3.1.12) являє собою три взаємно перпендикулярні прямі Ох, Оy, Oz, які називаються координатними осями, з заданим на кожній з них додатнім напрямком, початком координат (точка перетину осей) і одиничним відрізком (масштабом).

Вісь називається віссю абсцис, вісь – віссю ординат, а вісь – віссю аплікат.

Одиничні вектори координатних осей позначаються відповідно: , ( ). Оскільки вони є не компланарними, кожний вектор простору може бути представлений у вигляді:

= + +

, який називається розкладом вектора за координатними ортами.

З рис. 3.1.12 видно, що якщо провести через точку М площини, паралельні координатним площинам , , , то одержимо точки перетину з координатними осями С, В, А, причому за правилом паралелепіпеда матимемо:

.

Оскільки розклад вектора за базисом є однозначним, матимемо, що

Це означає, що координатами вектора у просторі є його проекції на координатні осі.

З властивостей проекції вектора

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-22

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...