Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Вектори на площині і в просторіВектори на площині і в просторі Означення і позначення векторів Векторна величина, на відміну від скалярної (температура, об'єм, маса), характеризується не тільки числовим значенням, а й напрямом (швидкість, прискорення, сила).
Рис. 3.1.1
Це означає, що різні вектори не розрізнюються за місцем розміщення у просторі і паралельне перенесення вектора в іншу точку простору не призводить до зміни вектора. Такі вектори називаються рівними.
Напрям цього вектора невизначений, а його довжина дорівнює нулю.
Коленіарність і компланарність векторів
Рис. 3.1.2 Колінеарні вектори позначаються двома паралельними стрілками: , якщо напрямки співпадають; , якщо напрямки протилежні, або - || , якщо напрямки невідомі.
Рис. 3.1.3
Лінійні операції над векторами До лінійних операцій над векторами відносяться: додавання (віднімання) векторів і множення вектора на число.
Рис. 3.1.4
У випадку, коли вектори не належать одній площині, вектор являє собою діагональ паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 3.1.5). Відмітимо деякі правила додавання векторів: 1) - переставний закон; 2) – сполучний закон; 3) Для кожного вектора існує протилежний вектор (- ) такий, що ; 4) .
Операціям додавання і віднімання двох векторів i можна надати наступну геометричну інтерпретацію: в паралелограмі, побудованому на векторах i , одна діагональ є сумою векторів i , а інша діагональ – їх різницею (рис. 3.1.4, в).
Але точка О, ділить медіани трикутника у відношенні 2:1 і тому матимемо наступне очевидне співвідношення: = ( )= - .•
Дійсно, якщо вектори колінеарні, то вони розміщені на одній прямій або на двох паралельних прямих. З означення рівності двох векторів випливає, що при λ= , якщо одного напрямку, або при λ= - у протилежному випадку. Навпаки, якщо , то з означення операції множення вектора на число слідує, що вектори коленіарні.
Дійсно, якщо вектор колінеарний одному з векторів наприклад, , то з твердження 1 . Звідси . Якщо ж компланарний будь-якій парі векторів, наприклад, то за правилом паралелограма його можна представити у вигляді: де , || . Звідси маємо . У випадку, коли вектор некомпланарний жодній парі векторів (рис. 3.1.7), його можна представити за правилом паралелепіпеда у вигляді , де , , . Звідси маємо .
= . Якщо хоча б одна з різниць , , не дорівнюватиме нулю, наприклад , то , що означає компланарність векторів . Одержали протиріччя. Отже, представлення однозначне.
Проекція вектора на вісь
Для знаходження проекції точки Р на вісь l необхідно через цю точку провести площину, перпендикулярну до l, і визначити точку перетину площини і осі.
Рис. 3.1.8
Властивості проекцій 1. Проекція вектора на вісь додатна, якщо кут між віссю і вектором гострий, від’ємна, якщо кут тупий і дорівнює нулю, якщо кут прямий. Властивість випливає з формули проекції. 2. Проекції рівних векторів на одну вісь рівні:
3.
+ ⇨ . 4. Проекція добутку вектора на число дорівнює добутку проекції вектора на це число: Дійсно, при λ>0 =λ А при λ<0 = .
Лінійна залежність векторів
У протилежному випадку вектори , називаються лінійно незалежними, тобто співвідношення (3.1.2) виконується тільки при =0. Зауважимо, що якщо серед n векторів є один рівний , то вони лінійно залежні, оскільки тоді завжди знайдеться при нуль-векторі таке, що виконується (3.1.2).
Очевидно, що лінійна залежність k векторів означає дотримання рівності +…+ = при хоча б одному Звідси маємо: +…+ = що доводить лінійну залежність n векторів.
Колінеарність векторів i рівносильна дотриманню співвідношення , з якого випливає лінійна залежність: =0. Навпаки, якщо i залежні, то виконується (3.1.2), тобто, + = Звідси маємо колінеарність: = , або = , .
Компланарність векторів рівносильна дотриманню для одного з них, наприклад співвідношення: , ( ), що і означає лінійну залежність (-1) =0. І навпаки, лінійна залежність векторів , тобто співвідношення (3.1.2), дозволяє виразити один з векторів через інші, що є рівносильним їх компланарності.
Дійсно, якщо будь-які три вектори із чотирьох векторів компланарні, то вони є водночас і лінійно залежними (твердження 5). А це, в свою чергу, означає (твердження 3), що всі чотири вектори лінійно залежні. Тому доцільно припустити, що будь-які три вектори з чотирьох не компланарні. Нехай, наприклад, вектори некомпланарні. Тоді згідно з твердженням 2 вектор може бути представлений у вигляді суми векторів: = , де - деякі дійсні числа (твердження 2), звідки і випливає лінійна залежність даних чотирьох векторів: +(-1) =0 (рис. 3.1.7).
а) ( ) – права трійка, б) ( ), ( ), ( ) – праві трійки, ) – ліва трійка ), ( ), ( ) – ліві трійки.
Рис. 3.1.11
Декартова (прямокутна) система координат З твердження 2 випливає, що три не компланарних вектора , , утворюють у просторі базис, тобто будь-який інший вектор може бути однозначно представлений лінійною їх комбінацією: + + . При цьому встановлюється взаємооднозначна відповідність між векторами простору і трійками дійсних чисел ( ), які називаються координатами вектора.
На практиці найбільш уживаним є ортонормований базис, який складається з трьох взаємно перпендикулярних векторів одиничної довжини. При цьому розрізняють праві і ліві трійки векторів.
Вісь називається віссю абсцис, вісь – віссю ординат, а вісь – віссю аплікат. Одиничні вектори координатних осей позначаються відповідно: , ( ). Оскільки вони є не компланарними, кожний вектор простору може бути представлений у вигляді:
, який називається розкладом вектора за координатними ортами. З рис. 3.1.12 видно, що якщо провести через точку М площини, паралельні координатним площинам , , , то одержимо точки перетину з координатними осями С, В, А, причому за правилом паралелепіпеда матимемо: . Оскільки розклад вектора за базисом є однозначним, матимемо, що
З властивостей проекції вектора |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-22 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |