Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Властивості мішаного добутку векторів
(3.1.17) Дійсно, для мішаного добутку маємо наступні співвідношення: ( )· = · , де . Але · · + Де знак “+”, чи “-” береться в залежності від того, яку трійку складають вектори , , - праву чи ліву. Крім того, = , що і доводить твердження 10.
1. При циклічній перестановці співмножників мішаний добуток векторів не змінюється:
Дійсно, при цьому не змінюються параметри паралелепіпеда і орієнтація векторів, що означає незмінність об’єму паралелепіпеда. 2. У мішаному добутку векторів знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:
Це випливає з рівності об’ємів паралелепіпедів і однакової орієнтації відповідних трійок векторів: ( )· Якщо вектори задані координатами , , , то мішаний добуток обчислюється за формулою:
(3.1.18) Дійсно за означенням мішаного добутку маємо:
( )· = ·( )= - + =
Це твердження має простий геометричний зміст: якщо вектори компланарні, то вони розміщені на одній площині і об’єм паралелепіпеда, побудованого на цих векторах дорівнюватиме нулю.
Таким чином, поняття векторного та мішаного добутків можна використовувати для обчислення площ і об’ємів різних геометричних фігур.
Подвійний векторний добуток
Якщо ввести позначення , то .
Доведення. Введемо декартову систему спеціальним чином. Вісь спрямуємо вздовж вектора , а вісь розмістимо в площині векторів , , приведених до спільного початку. Тоді матимемо наступні координати векторів: , , . Обчислимо подвійний векторний добуток векторів , , = = = + , але , + , = + , = + Звідси =- + , тобто формула доведена. Наведемо основні властивості подвійного векторного добутку: 1. Вектори , - компланарні. 2. Подвійний векторний добуток не є переставним:
=- 3. При циклічній перестановці векторів матимемо формули: ; ; . 4. Додавши ліві і праві частини останніх трьох співвідношень, одержимо тотожність Якобі:
Приклад 6. Задано координати вершин трикутника А(-1,-2,4), В(-4,-2,0), С(3,-2,1). Визначити кут при вершині В і проекцію сторони АВ на сторону ВС. Розв’язок. Знайдемо координати векторів , що співпадають з відповідними сторонами трикутника: ; 𝜑 між цими векторами визначаємо із співвідношення: = .
= = .
Знайти: 1) Площу грані АВС.
Далі обчислимо векторний добуток знайдених векторів: =-3· Як випливає з геометричного змісту, модуль цього векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах . Звідси площа грані АВС дорівнює: = 2) Об’єм піраміди знайдемо як об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , тобто як частину мішаного добутку цих векторів. Маємо: =0,5 (куб.од.) Приклад 8. Знайти координати вектора в базисі , , Розв’язок. Враховуючи, що вектори , , , задані у декартовій системі координат і вектор є лінійною комбінацією векторів , , , обчислимо невідомі коефіцієнти з наступних співвідношень: + + ⇨ ( ) ( ) ( ) Але ж два вектори рівні тоді, коли рівні їх координати:
Маємо систему лінійних рівнянь відносно невідомих , що має єдиний розв’язок у випадку, коли її визначник не дорівнює нулю: ≠0
Якщо вектори , , Розв’язуючи систему рівнянь відносно , одержимо за правилом Крамера координати вектора у базисі , , : , , . • Приклад 9. Перевірити, чи утворюють вектори ; , базис? Якщо утворюють, то знайти координати вектора в цьому базисі. Розв’язок. Три вектори утворюють базис, якщо їх мішаний добуток не дорівнює нулю. Шляхом відповідного обчислення з’ясовуємо: = =-23≠0. Отже, вектори , , утворюють базис. Це означає, що всі інші вектори у тривимірному просторі можна виразити через цю трійку векторів. Позначимо координати вектора в базисі , , через x, y і z. Для знаходження координат вектора в новому базисі потрібно розв’язати систему рівнянь:
Розв’язуючи дану систему за допомогою формул Крамера, маємо: =-46 = =-23 = =-23 = -23⇨ , , = 1. Отже, . |
||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-22 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |