Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Властивості мішаного добутку векторів

Твердження 10. Абсолютна величина мішаного добутку дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , і що є його сторонами (рис. 3.1.17, в):

 

(3.1.17)

Дійсно, для мішаного добутку маємо наступні співвідношення:

( = · , де . Але · · +

Де знак “+”, чи “-” береться в залежності від того, яку трійку складають вектори , , - праву чи ліву. Крім того, = , що і доводить твердження 10.

Наслідок. Об’єм тетраедра, побудованого на векторах , , і обчислюється за формулою:
V=

 

 

( =( =(

1. При циклічній перестановці співмножників мішаний добуток векторів не змінюється:

 

Дійсно, при цьому не змінюються параметри паралелепіпеда і орієнтація векторів, що означає незмінність об’єму паралелепіпеда.

2. У мішаному добутку векторів знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:

( = ·( )

Це випливає з рівності об’ємів паралелепіпедів і однакової орієнтації відповідних трійок векторів: (

Якщо вектори задані координатами , , , то мішаний добуток обчислюється за формулою:

=

(3.1.18)

Дійсно за означенням мішаного добутку маємо:

 

( = ·( )= - + =

 

Твердження 11. Вектори , , і компланарні тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю:
, , компланарні⇔

 

Це твердження має простий геометричний зміст: якщо вектори компланарні, то вони розміщені на одній площині і об’єм паралелепіпеда, побудованого на цих векторах дорівнюватиме нулю.

Твердження 12. Якщо , то вектори , , утворюють праву трійку не компланарних векторів, якщо ж - ліву.

Таким чином, поняття векторного та мішаного добутків можна використовувати для обчислення площ і об’ємів різних геометричних фігур.


 

Подвійний векторний добуток

Означення 19. Подвійним векторним добутком векторів , , називається вектор

Якщо ввести позначення , то .

Твердження 13. Подвійний векторний добуток векторів , , .

Доведення. Введемо декартову систему спеціальним чином. Вісь спрямуємо вздовж вектора , а вісь розмістимо в площині векторів , , приведених до спільного початку. Тоді матимемо наступні координати векторів: , , .

Обчислимо подвійний векторний добуток векторів , ,

=

= = + , але , + , = + , = +

Звідси =- + , тобто формула доведена.

Наведемо основні властивості подвійного векторного добутку:

1. Вектори , - компланарні.

2. Подвійний векторний добуток не є переставним:

 

=-

3. При циклічній перестановці векторів матимемо формули:

; ; .

4. Додавши ліві і праві частини останніх трьох співвідношень, одержимо тотожність Якобі:

=0

Приклад 6. Задано координати вершин трикутника А(-1,-2,4), В(-4,-2,0), С(3,-2,1). Визначити кут при вершині В і проекцію сторони АВ на сторону ВС.

Розв’язок. Знайдемо координати векторів , що співпадають з відповідними сторонами трикутника: ; 𝜑 між цими векторами визначаємо із співвідношення:

= .

 
Проекцію сторони АВ на сторону ВС знайдемо як проекцію вектора на напрямок вектора :

= = .

Приклад 7. Задано координати вершин піраміди: А(0,-1,2), В(2,1,1), С(-2,0,0), D(-1,1,0).

Знайти: 1) Площу грані АВС.

2) Об’єм піраміди.

Рис. 3.1.18
Розв’язок. Знайдемо координати векторів :

Далі обчислимо векторний добуток знайдених векторів:

=-3·

Як випливає з геометричного змісту, модуль цього векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах . Звідси площа грані АВС дорівнює:

=

2) Об’єм піраміди знайдемо як об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , тобто як частину мішаного добутку цих векторів. Маємо:

=0,5 (куб.од.)

Приклад 8. Знайти координати вектора в базисі , ,

Розв’язок. Враховуючи, що вектори , , , задані у декартовій системі координат і вектор є лінійною комбінацією векторів , , , обчислимо невідомі коефіцієнти з наступних співвідношень:

+ + ( ) ( ) ( )

Але ж два вектори рівні тоді, коли рівні їх координати:

+ + = + + = + + =

 


Маємо систему лінійних рівнянь відносно невідомих , що має єдиний розв’язок у випадку, коли її визначник не дорівнює нулю:

≠0

 

Якщо вектори , ,

Розв’язуючи систему рівнянь відносно , одержимо за правилом Крамера координати вектора у базисі , , :

, , . •

Приклад 9. Перевірити, чи утворюють вектори ; , базис? Якщо утворюють, то знайти координати вектора в цьому базисі.

Розв’язок. Три вектори утворюють базис, якщо їх мішаний добуток не дорівнює нулю. Шляхом відповідного обчислення з’ясовуємо:

= =-23≠0.

Отже, вектори , , утворюють базис. Це означає, що всі інші вектори у тривимірному просторі можна виразити через цю трійку векторів.

Позначимо координати вектора в базисі , , через x, y і z.

Для знаходження координат вектора в новому базисі потрібно розв’язати систему рівнянь:

3x+y+2z=9 2x-2y+z=3 x-2y+3z=1

 


Розв’язуючи дану систему за допомогою формул Крамера, маємо:

=-46

= =-23

= =-23

= -23⇨

, , = 1.

Отже, .

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-22

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...