Категории:
ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника
О последовательности Фибоначчи и её свойствах
Введение
Последовательность Фибоначчи — это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.
Именно с ней связывают универсальность существующих в природе форм. Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
Более того, некоторые элементы этой последовательности соответствуют хронологическим рубежам в древнейшей истории человечества, особенно если к числам добавить наименование "тысяч лет до н. э.", или "тысяч лет тому назад", или просто "тысяч лет".
Так, позицию 233 тысяч лет в приводимой последовательности можно отождествить с датой рисского оледенения в Европе, общепризнанная геологическая дата которого 230 тысяч лет тому назад. Позиция, соответствующая 377 тысячам лет, близка дате в 400 тыс. лет тому назад — к этому времени относят выход человечества из биоценоза.
Последовательность Фибоначчи остаётся математической каббалой по сей день, и каждое новое открытие бросает новый отблеск на магию этих цифр.
Так называемая последовательность Фибоначчи, действительно, является одной из самых интригующих страниц в истории математики.
2. Краткие сведения о Фибоначчи и его трудах
Итальянский купец Леонардо из Пизы( 1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.
Жизнь и научная карьера Леонардо теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.
В век Фибоначчи возрождение было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император ( с 1220 года)Священной Римской империи.
Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих IIбыл внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства.
Столь любимые его дедом рыцарские турниры Фридрих IIсовсем не признавал. Вместо этого он культивировал гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.
На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.
Покровительство Фридриха и стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи:
· Kнига абака, написанная в 1202 году, но дошедшая до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.
· Практики геометрии"( 1220г.)
· Kнига квадратов(1225г.)
По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику чуть ли не до времен Декарта( XVII в.).
Наибольший интерес представляет для нас сочинение "Kнига абака". Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами.
В этом легендарном трактате Фибоначчи изложил следующую задачу:
"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения".
Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц— 1+1=2; на 4-й— 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство даёт лишь одна пара); на 5-й месяц— 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц— 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и так далее.
Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через Fk , то F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и так далее, причём образование этих чисел регулируется общим законом:
Fn=Fn-1+Fn-2 при всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).
Числа Fn , образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность — последовательностью Фибоначчи.
Суть последовательности Фибоначчи в том, что, начиная с 0,1, следующее число получается сложением двух предыдущих. Последовательность асимптотически (приближаясь всё медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако это соотношение иррационально и представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Особые названия этому соотношению начали давать ещё до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пропорцией. Среди его современных названий есть такие, как "Золотое сечение", "Золотое среднее" и "Отношение вертящихся квадратов". Кеплер назвал это соотношение одним из "сокровищ геометрии". В алгебре пpинято его обозначение греческой буквой фи.
Ф=1.618
Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать более понятными, если показать отношения нескольких первых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:
1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180
2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820
3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180
5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486
8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180
По мере нашего продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим приближением к недостижимому Ф.
Также отдельные числа из суммационной последовательности Фибоначчи можно увидеть в движениях цен на товаpы. Kолебания соотношений около значения 1.618 на большую или меньшую величину мы обнаpужим в Волновой теории Эллиотта, где они описываются Пpавилом чеpедования.
Спираль Архимеда
Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу.
Построение архимедовой спирали заданным шагом S - расстояние от центра 0 до точки VIII, выполняется в следующей последовательности:
1. Из центра 0 проводят окружность радиусом, равным шагу S спирали и делят шаг и окружность на несколько равных частей Точки деления нумеруют;
1. Из центра 0 радиусами 01, 02, 03, ... проводят дуги до пересечения с соответствующими радиусами в точках I, II, III, ...;
1. Полученные точки принадлежат спирали Архимеда с заданным шагом S и центром 0.
4. Способы вычисления чисел Фибоначчи и числа φ
Приведем один из вариантов программы, вычисляющей значение j по первому алгоритму, сложением убывающих дробей:
Первый способ
program f1;
var
q:real;
i:integer;
begin
q:=1;
for i:=1 to 25 do
begin
q:=1+1/q;
writeln(iI,’' ‘',q);
end;
end.
Программа написана на Turbo Pascal,но этот же алгоритм можно реализовать на любом доступном языке. Вся соль алгоритма выражена в операторе «Q=1+1/Q» который вычисляется столько раз, какой порядковый номер дроби вычисляется, все остальное служит обрамлением. Результатом работы программы будет таблица:
1 2.0000000000E+00
2 1.5000000000E+00
3 1.6666666667E+00
4 1.6000000000E+00
5 1.6250000000E+00
6 1.6153846154E+00
7 1.6190476190E+00
8 1.6176470588E+00
9 1.6181818182E+00
10 1.6179775281E+00
11 1.6180555556E+00
12 1.6180257511E+00
13 1.6180371353E+00
14 1.6180327869E+00
15 1.6180344478E+00
16 1.6180338134E+00
17 1.6180340557E+00
18 1.6180339632E+00
19 1.6180339985E+00
20 1.6180339850E+00
21 1.6180339902E+00
22 1.6180339882E+00
23 1.6180339890E+00
24 1.6180339887E+00
25 1.6180339888E+00
из которой видно, как наш алгоритм, постепенно сужаясь, подбирается к числу . Аналогичным образом можно «подбираться» к числу и с помощью второй формулы, через квадратные корни:
Второй способ
program f2;
var
q:real;
i:integer;
begin
q:=1;
for i:=1 to 25 do
begin
q:=sqrt(1+q);
writeln(i,' ',q);
end;
end.
Результат работы программы:
1 1.4142135624E+00
2 1.5537739740E+00
3 1.5980531825E+00
4 1.6118477541E+00
5 1.6161212065E+00
6 1.6174427985E+00
7 1.6178512906E+00
8 1.6179775309E+00
9 1.6180165422E+00
10 1.6180285975E+00
11 1.6180323228E+00
12 1.6180334739E+00
13 1.6180338297E+00
14 1.6180339396E+00
15 1.6180339736E+00
16 1.6180339841E+00
17 1.6180339873E+00
18 1.6180339883E+00
19 1.6180339886E+00
20 1.6180339887E+00
21 1.6180339887E+00
22 1.6180339887E+00
23 1.6180339887E+00
24 1.6180339888E+00
25 1.6180339888E+00
Сравнение результатов говорит в пользу второго метода, значения 1,618033 метод квадратных корней достиг на двенадцатом шагу, а метод суммирования дробей только на шестнадцатом. Раз уж мы так серьезно взялись за вычисления, было бы просто нечестно оставить без внимания трактовку золотого сечения как отношения двух соседних членов ряда Фибоначчи. Тем более, что сама тема вычисления чисел Фибоначчи необычайно интересна, так как связана с понятием рекурсии. Что такое функция в языках программирования все представляют (совсем кратко - это часть программы, вызываемая для отработки с переменным параметром). А если функция вызывает сама себя, то такой прием называется рекурсией. Во всех учебниках по программированию рекурсия объясняется на примере вычисления чисел Фибоначчи, а все популярные статьи об этих числах непременно упоминают рекурсию. Не углубляясь в теоретические дебри скажем лишь, что рекурсия позволяет писать компактные с точки зрения объема исходного кода программы. Но с точки зрения оптимальности работы программы применение рекурсии весьма сомнительно. Рассмотрим пример (теперь на Turbo Pascal’e), вычисляющий нужное нам золотое сечение с помощью рекурсии. Вся изюминка в определении функции FIB: для первого и второго значения параметра она равна единице, а для каждого последующего выдает сумму двух последних значений, причем определяет их, вызывая сама себя!
Третий способ
program f3;
var I:integer; c,cc:real;
function FIB(T:integer):LONGINT;
begin
if (T=1) or (T=2) then
FIB:=1
else FIB:=FIB(T-1)+FIB(T-2)
end;
begin
for I:=1 to 25 do
begin
c:=fib(i);cc:=fib(i+1);
writeln(I,' ',FIB(I),' ',FIB(I+1),' ',cc/c);
end;
{close(F)};
end.
Рассматривая результат работы программы мы видим, как отношение двух соседних чисел Фибоначчи постепенно, то сверху, то снизу, приближается к золотому сечению.
1 1 1 1.0000000000E+00
2 1 2 2.0000000000E+00
3 2 3 1.5000000000E+00
4 3 5 1.6666666667E+00
5 5 8 1.6000000000E+00
6 8 13 1.6250000000E+00
7 13 21 1.6153846154E+00
8 21 34 1.6190476190E+00
9 34 55 1.6176470588E+00
10 55 89 1.6181818182E+00
11 89 144 1.6179775281E+00
12 144 233 1.6180555556E+00
13 233 377 1.6180257511E+00
14 377 610 1.6180371353E+00
15 610 987 1.6180327869E+00
16 987 1597 1.6180344478E+00
17 1597 2584 1.6180338134E+00
18 2584 4181 1.6180340557E+00
19 4181 6765 1.6180339632E+00
20 6765 10946 1.6180339985E+00
21 10946 17711 1.6180339850E+00
22 17711 28657 1.6180339902E+00
23 28657 46368 1.6180339882E+00
24 46368 75025 1.6180339890E+00
25 75025 121393 1.6180339887E+00
Значение 1,618033 появилось только на 17 шаге, что «слабее» первых способов, но, зато, мы получили значения 254-х членов ряда Фибоначчи и познакомились с рекурсией. Но программа работает не оптимально - двадцатое значение считалось около пяти секунд (на РIII-700, а сороковое более минуты). Слишком много «движений» совершает рекурсивная функция, количество их лавинообразно растет с ростом числа, изящность кодирования пошла во вред производительности. А как же надо было составлять программу для эффективной работы? Задать массив и заполнять его такой же функцией, но без рекурсии, обращаясь к уже посчитанным членам ряда, помещенным в массив. Программа будет работать «мгновенно», но все это будет уже не так красиво.
Вывод: Рассмотрев результаты всех трех программ, можно установить, что наиболее точные вычисления совершает вторая программа, основанная на способе вычисления числа φ с помощью квадратных корней. Из этого можно сделать вывод, что этот метод является самым точным для вычисления Золотой пропорции.
Пропорции Фибоначчи в природе
Человек подсознательно ищет Божественную пpопоpцию: она нужна для удовлетвоpения его потpебности в комфоpте:
Если вы подходите к пустой скамейке и садитесь на неё, то вы сядете не посередине скамейки (как-то нескромно, хотя встречаются и такие, ярко выраженные характеры) и, конечно, не на самый край. Если вы незаметно замерите длины, на которые своим телом разделили скамейку, то обнаружите, что отношение большего отрезка к меньшему равно отношению всей длины к большему отрезку и равно примерно 1,62. Это число, называемое золотым сечением, входит в тройку самых известных иррациональных чисел, то есть таких чисел, десятичные представления которых бесконечны и непериодичны. Остальные два вы конечно знаете: это p - отношение длины окружности к диаметру и е - основание натуральных логарифмов (это слово многие не любят, но число, тем не менее, интересное). И, хотя золотое сечение и не такое фундаментальное в математике, как два других, оно имеет важное значение для нашего восприятия мира, так как пропорции, отвечающие золотому сечению кажутся нам гармоничными.
Рассмотрим принципы организации структур в мире растений, т.е. растительных систем. Закономерности в расположении листьев, чешуек, семян, и вообще, всяких частей растения, называется ФИЛЛОТАКСИСОМ.
Ф. Людвиг установил закон, который свидетельствует о том, что число органов у растений, изменяется не непрерывно, принимая любые значения, а дискретно, скачками, предпочитая одни величины другим. И этими дискретными величинами являются числа Фибоначчи. Особенно отчетливо, это явление, наблюдается в расположении листьев на побегах.
В растительном мире есть несколько способов листорасположения. Так, например, при одном из них, листья побега располагаются строго один под другим, образуя вертикальные ряды (ортостихи). Уловная спираль, соединяющая места расположения листьев на побеге, называется генетической или основной спиралью, (точнее - винтовой линией), и делится на ряд листовых циклов. Генетическим этот винт называется потому, что расположение листьев в нем, отвечает порядку появления в нем листьев. Проекция на плоскость листорасположения, позволяет в долях окружности выразить угол расхождения листьев.
Довольно ярко Золотая Пропорция проявляется во всем многообразии раковин, какие бы формы они не приобретали. И признаки гармоничности, в раковинах, выражены не приблизительно, а совершенной геометрической формой.
Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.
Цикорий
Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.
Оказалось, что у каждого растения свое листорасположение. Так, у липы, вяза, бука, злаков, оно описывается отношением 1/2, у ольхи, орешника, винограда, осоки - 1/3, у дуба и вишни - 2/5, у малины, груши, тополя - 3/8, у миндаля, облепихи - 5/13... . В отношениях листорасположения, числа Фибоначчи встречаются строго закономерно, - через одно.
У сосновой шишки, чешуйки на поверхности, расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются, примерно, под прямым углом. Число таких спиралей у шишки равно 8 и 13. Или 13 и 21. Такие же спирали, в поперечных разрезах почек. Числа этих спиралей, относятся как числа 3/5, 5/8, 8/13.
В корзинках подсолнечника, семена, тоже, расположены по двум спиралям. Их число составляет, обычно, 34/55, 55/89. Вновь, налицо, сочетание, рядом расположенных, чисел Фибоначчи. У ананаса же число спиралей обычно составляет 8:13 Чтобы проверить это мы решили провести исследование, посчитав количество спиралей на ананасе и записать его процесс на видеокамеру
Мы по очереди закрашивали краской спирали на ананасе сначала против часовой, а затем и против по часовой стрелки. Чтобы не ошибиться мы особо отмечали те ячейки ананаса, с которых начинали отсчет.
Результаты показали: У ананаса существует восемь спиралей против часовой, и тринадцать спиралей по часовой стрелке. Итак, числа Фибоначчи действительно очень часто можно увидеть в живой природе.
Растения, как видим, развиваются, явно, "по Фибоначчи", стремясь к некоторому пределу, к гармонической организации. Отношение чисел в двух рядах приведенных формул филлотаксиса, в пределе стремится к величинам 0,618034..., или 0,381966...,т. е. к частям целого, разделенного на две части по правилу Золотой Пропорции.
В явлении филлотаксиса, как в фокусе, сконцентрированы многие важнейшие закономерности строения и развития организмов, эволюционные принципы, отражена сущность самой жизни. Филлотаксис органически объединяет в единое целое:
а. Принцип роста (членение целого на части), в соответствии с рядом чисел Фибоначчи.
б. Спиральность развития.
с. Винтовую симметрию (она проявляется от строения ДНК и РНК, до раковин и моллюсков и тела человека).
д. Осцилляцию, по закону маятника.
е. Единство непрерывного и дискретного в развитии, (даже иголки хвои растут не непрерывно, а скачкообразно).
ж. Единство целочисленного и иррационального отношений частей, в целом.
Все это причудливо переплетено в строении и развитии каждого организма, принимает различные формы, множа разнообразие объектов жизни и, удерживая его в некоторых рамках, обусловленных существованием общих, для всего живого, законов развития. Спирали на ананасе соответствуют геометрическим фигурам, названным спиралями Архимеда.
Спираль Архимеда
Кривая названа по имени Архимеда (3 в. до н.э.), который изучал её свойства в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга и нашел площадь её сектора (один из первых примеров квадратуры криволинейной области.)
Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу.
Построение архимедовой спирали заданным шагом S - расстояние от центра 0 до точки VIII, выполняется в следующей последовательности:
1. Из центра 0 проводят окружность радиусом, равным шагу S спирали и делят шаг и окружность на несколько равных частей Точки деления нумеруют;
2. Из центра 0 радиусами 01, 02, 03, ... проводят дуги до пересечения с соответствующими радиусами в точках I, II, III, ...;
3. Полученные точки принадлежат спирали Архимеда с заданным шагом S и центром 0.
8.
Заключение
Мы рассмотрели одно из важнейших сокровищ геометрии – ряд чисел Фибоначчи, Божественную пропорцию. Мы увидели, как часто можно встретить эту пропорцию в природе: число спиралей на ананасе, сосновой шишке, в листорасположении цикория, липы, бука, вяза. Пропорции Фибоначчи можно заметить даже в неорганической химии. И тем важнее ее значение. Хоть мы и узнали очень много о них, люди до сих пор изучают эти числа, пытаясь найти в них ответы на многие вопросы мироздания. Появляются гипотезы о том, что Вселенная тоже построена на основе этого закона.
Но все же остается главный вопрос, на который мы по сей день пытаемся найти ответ – Почему соблюдение Золотой пропорции дарит нам ощущение красоты и гармонии?
Список используемой литературы:
- Н.Н.Воробьёв Числа Фибоначчи , Популярные лекции по мавтематике, выпуск 39, Издательство «Наука» 1978 г.
- А.И.Маркушевич Возвратные последовательности Популярные лекции по математике, Выпуск 1, Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы 1950 г.
- Д.Кнут Искусство программирования для ЭВМ, т.1 Основные алгоритмы, М.: Мир, 1976.
- Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник Конкретная Математика, М.: Мир, 1998.
Введение
Последовательность Фибоначчи — это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.
Именно с ней связывают универсальность существующих в природе форм. Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
Более того, некоторые элементы этой последовательности соответствуют хронологическим рубежам в древнейшей истории человечества, особенно если к числам добавить наименование "тысяч лет до н. э.", или "тысяч лет тому назад", или просто "тысяч лет".
Так, позицию 233 тысяч лет в приводимой последовательности можно отождествить с датой рисского оледенения в Европе, общепризнанная геологическая дата которого 230 тысяч лет тому назад. Позиция, соответствующая 377 тысячам лет, близка дате в 400 тыс. лет тому назад — к этому времени относят выход человечества из биоценоза.
Последовательность Фибоначчи остаётся математической каббалой по сей день, и каждое новое открытие бросает новый отблеск на магию этих цифр.
Так называемая последовательность Фибоначчи, действительно, является одной из самых интригующих страниц в истории математики.
2. Краткие сведения о Фибоначчи и его трудах
Итальянский купец Леонардо из Пизы( 1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.
Жизнь и научная карьера Леонардо теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.
В век Фибоначчи возрождение было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император ( с 1220 года)Священной Римской империи.
Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих IIбыл внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства.
Столь любимые его дедом рыцарские турниры Фридрих IIсовсем не признавал. Вместо этого он культивировал гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.
На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.
Покровительство Фридриха и стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи:
· Kнига абака, написанная в 1202 году, но дошедшая до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.
· Практики геометрии"( 1220г.)
· Kнига квадратов(1225г.)
По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику чуть ли не до времен Декарта( XVII в.).
Наибольший интерес представляет для нас сочинение "Kнига абака". Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами.
В этом легендарном трактате Фибоначчи изложил следующую задачу:
"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения".
Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц— 1+1=2; на 4-й— 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство даёт лишь одна пара); на 5-й месяц— 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц— 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и так далее.
Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через Fk , то F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и так далее, причём образование этих чисел регулируется общим законом:
Fn=Fn-1+Fn-2 при всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).
Числа Fn , образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность — последовательностью Фибоначчи.
Суть последовательности Фибоначчи в том, что, начиная с 0,1, следующее число получается сложением двух предыдущих. Последовательность асимптотически (приближаясь всё медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако это соотношение иррационально и представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Особые названия этому соотношению начали давать ещё до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пропорцией. Среди его современных названий есть такие, как "Золотое сечение", "Золотое среднее" и "Отношение вертящихся квадратов". Кеплер назвал это соотношение одним из "сокровищ геометрии". В алгебре пpинято его обозначение греческой буквой фи.
Ф=1.618
Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать более понятными, если показать отношения нескольких первых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:
1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180
2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820
3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180
5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486
8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180
По мере нашего продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим приближением к недостижимому Ф.
Также отдельные числа из суммационной последовательности Фибоначчи можно увидеть в движениях цен на товаpы. Kолебания соотношений около значения 1.618 на большую или меньшую величину мы обнаpужим в Волновой теории Эллиотта, где они описываются Пpавилом чеpедования.
О последовательности Фибоначчи и её свойствах
- Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
- Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60. Если от каждого числа брать по две последние цифры, то они образуют последовательность с периодом, равным 300. Если брать по три последние цифры - с периодом 1500, по четыре - с периодом 15000, по пять - с периодом 150000, по шесть - с периодом 1500000.
- Fn чётно тогда и только тогда, когда делится на 3. Это частный случай более общего утверждения: каждое третье число Фибоначчи делится на 2, каждое четвёртое – на 3, каждое пятое – на 5, каждое шестое – на 8 и т.д. Делители сами образуют ряд Фибоначчи, причём если n-й делитель обозначать Dn, то Dn = Fn.
- Fn делится на 7 тогда и только тогда, когда n делится на 8.
- Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. НОД (Fm,Fn) = НОД (m,n). Следствия:
- Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2).
- Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример —
. Неизвестно, бесконечное ли количество чисел Фибоначчи являющихся простыми.
- Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x2 - x - 1 имеет корни φ и - 1 / φ.
- Отношения
являются подходящими дробями золотого сечения φ и, в частности, 
- Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы
.
- В 1964 J. H. E. Cohn доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn = n2.
- Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:
- Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством решений уравнения в натуральных числах относительно x
z = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2 − y5 − x4y + 2y,
Спираль Архимеда
Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу.
Построение архимедовой спирали заданным шагом S - расстояние от центра 0 до точки VIII, выполняется в следующей последовательности:
1. Из центра 0 проводят окружность радиусом, равным шагу S спирали и делят шаг и окружность на несколько равных частей Точки деления нумеруют;
1. Из центра 0 радиусами 01, 02, 03, ... проводят дуги до пересечения с соответствующими радиусами в точках I, II, III, ...;
1. Полученные точки принадлежат спирали Архимеда с заданным шагом S и центром 0.
4. Способы вычисления чисел Фибоначчи и числа φ
Приведем один из вариантов программы, вычисляющей значение j по первому алгоритму, сложением убывающих дробей:
Первый способ
program f1;
var
q:real;
i:integer;
begin
q:=1;
for i:=1 to 25 do
begin
q:=1+1/q;
writeln(iI,’' ‘',q);
end;
end.
Программа написана на Turbo Pascal,но этот же алгоритм можно реализовать на любом доступном языке. Вся соль алгоритма выражена в операторе «Q=1+1/Q» который вычисляется столько раз, какой порядковый номер дроби вычисляется, все остальное служит обрамлением. Результатом работы программы будет таблица:
1 2.0000000000E+00
2 1.5000000000E+00
3 1.6666666667E+00
4 1.6000000000E+00
5 1.6250000000E+00
6 1.6153846154E+00
7 1.6190476190E+00
8 1.6176470588E+00
9 1.6181818182E+00
10 1.6179775281E+00
11 1.6180555556E+00
12 1.6180257511E+00
13 1.6180371353E+00
14 1.6180327869E+00
15 1.6180344478E+00
16 1.6180338134E+00
17 1.6180340557E+00
18 1.6180339632E+00
19 1.6180339985E+00
20 1.6180339850E+00
21 1.6180339902E+00
22 1.6180339882E+00
23 1.6180339890E+00
24 1.6180339887E+00
25 1.6180339888E+00
из которой видно, как наш алгоритм, постепенно сужаясь, подбирается к числу . Аналогичным образом можно «подбираться» к числу и с помощью второй формулы, через квадратные корни:
Второй способ
program f2;
var
q:real;
i:integer;
begin
q:=1;
for i:=1 to 25 do
begin
q:=sqrt(1+q);
writeln(i,' ',q);
end;
end.
Результат работы программы:
1 1.4142135624E+00
2 1.5537739740E+00
3 1.5980531825E+00
4 1.6118477541E+00
5 1.6161212065E+00
6 1.6174427985E+00
7 1.6178512906E+00
8 1.6179775309E+00
9 1.6180165422E+00
10 1.6180285975E+00
11 1.6180323228E+00
12 1.6180334739E+00
13 1.6180338297E+00
14 1.6180339396E+00
15 1.6180339736E+00
16 1.6180339841E+00
17 1.6180339873E+00
18 1.6180339883E+00
19 1.6180339886E+00
20 1.6180339887E+00
21 1.6180339887E+00
22 1.6180339887E+00
23 1.6180339887E+00
24 1.6180339888E+00
25 1.6180339888E+00
Сравнение результатов говорит в пользу второго метода, значения 1,618033 метод квадратных корней достиг на двенадцатом шагу, а метод суммирования дробей только на шестнадцатом. Раз уж мы так серьезно взялись за вычисления, было бы просто нечестно оставить без внимания трактовку золотого сечения как отношения двух соседних членов ряда Фибоначчи. Тем более, что сама тема вычисления чисел Фибоначчи необычайно интересна, так как связана с понятием рекурсии. Что такое функция в языках программирования все представляют (совсем кратко - это часть программы, вызываемая для отработки с переменным параметром). А если функция вызывает сама себя, то такой прием называется рекурсией. Во всех учебниках по программированию рекурсия объясняется на примере вычисления чисел Фибоначчи, а все популярные статьи об этих числах непременно упоминают рекурсию. Не углубляясь в теоретические дебри скажем лишь, что рекурсия позволяет писать компактные с точки зрения объема исходного кода программы. Но с точки зрения оптимальности работы программы применение рекурсии весьма сомнительно. Рассмотрим пример (теперь на Turbo Pascal’e), вычисляющий нужное нам золотое сечение с помощью рекурсии. Вся изюминка в определении функции FIB: для первого и второго значения параметра она равна единице, а для каждого последующего выдает сумму двух последних значений, причем определяет их, вызывая сама себя!
Третий способ
program f3;
var I:integer; c,cc:real;
function FIB(T:integer):LONGINT;
begin
if (T=1) or (T=2) then
FIB:=1
else FIB:=FIB(T-1)+FIB(T-2)
end;
begin
for I:=1 to 25 do
begin
c:=fib(i);cc:=fib(i+1);
writeln(I,' ',FIB(I),' ',FIB(I+1),' ',cc/c);
end;
{close(F)};
end.
Рассматривая результат работы программы мы видим, как отношение двух соседних чисе
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-22
lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...