Частотные характеристики разомкнутой цепи звеньев.

Рассмотрим получение частотных характеристик на при­мере, из которого будет ясен общий метод. Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи в виде

причем ζ = 0,6 (при таком ζ можно будет не учитывать «горба» амплитудной частотной характеристики колеба­тельного звена).

Амплитудная и фазовая частотные характеристики имеют вид

Их можно изобразить графически (рис. 2.4), а по ним — построить и амплитудно-фазовую частотную ха­рактеристику (рис. 2.5).

Логарифмическую амплитудно-частотную характери­стику можно строить непосредственно по заданной пе­редаточной функции. Для этого надо помнить, что, со­гласно характеристикам типовых звеньев (см. главу 1),

каждому сомножителю типа (Ts+l) в знаменателе со­ответствует точка излома характеристики при с последующим наклоном —20дБ/дек., а каждому сомножи­телю такого же типа в числителе соответствует точка излома при с последующим наклоном +20 дБ/дек.

Сомножителю же типа (T²s²+2ζT_s+1) в знаменателе соответствует излом при с наклоном —40 дБ/дек, если 0,5 < ζ < 1. При ζ < 0,5 нужно добавочно строить «горб», вычислив превышение Н (см. § 1.2).

Таким образом, пронумеровав по порядку все сомно­жители передаточной функции:

для каждого из них получим характеристики, показанные па рис. 2.6, а и обозначенные там цифрами в круж­-

ках. Простое сложение их дает искомую логарифмиче­скую амплитудную частотную характеристику Lm(ω) данной разомкнутой цепи звеньев, показанную на рис. 2.6, б. На рис. 2.6, в согласно написанной выше формуле изображена фазовая частотная характеристи­ка φ(ω).

Из рис. 2.6 видно, что легко можно строить непосред­ственно суммарную характеристику Lm(ω) по переда­точной функции W(s) (помня указанное выше правило изломов), не изображая отдельных частей характеристи­ки (т. е. можно обойтись без рис. 2.6, а). При этом частоты в точках изломов называются сопрягающими частотами.

При более сложных формах передаточной функции W(s), например, при наличии внутренних обратных связей, построение ЛАХ усложняется. Однако часто мож­но и сложные формулы приводить к аналогичному виду, разложив на множители многочлены числителя и зна­менателя (с заданными числовыми коэффициентами). Имеются и другие инженерные приемы.

Для любой разомкнутой цепи звеньев, как ранее де­лалось для отдельного звена, можно определить также переходные и весовые функции.

§ 2.2. Структурные преобразования

Для удобства расчетов автоматических систем бывает необходимо преобразовать структурную схему системы к какому-либо желаемому виду. Например, для построения логарифмических частотных характеристик, как мы ви­дели, наиболее удобно иметь цепь последовательно со­единенных звеньев. Приведем здесь некоторые простейшие правила, поль­зуясь которыми можно производить преобразования структуры разомкнутой цепи системы автоматического управления к желаемому виду.

1. Можно использовать любую из трех формул (2.1),

(2.2), (2.3) для разных случаев соединения звеньев. Пусть, например, задана структурная схема цепи звеньев в виде рис. 2.7. Тогда, пользуясь формулами (2.2) и

(2.3), ее можно преобразовать к цепи последовательно соединенных звеньев (рис. 2.8), где

а затем написать и общую передаточную функцию всей цепи

2. Можно формально переносить внешнее воздействие вперед или назад по цепи таким образом, чтобы не ме­нялась передача сигнала на выход этой цепи. Например,

если внешнее воздействие приложено как показано на рис. 2.9, д., то его можно перенести по цепи вперед, до­бавив передаточную функцию тех звеньев, через кото­рые сделан перенос (W₂, рис. 2.9,б).

При переносе внешнего воздействия по цепи назад следует добавлять передаточную функцию, обратную передаточной функции звеньев, через которые сделан перенос ( , рис 2.9, б)

Очевидно, что пользуясь этими правилами, мы сохраняем пере­дачу сигнала от внешнего воздей­ствия f на выход системы.

3. Последовательно соединен­ные звенья можно менять места­ми без изменения общей переда­точной функции цепи. Это следу­ет из формулы (2.1).

4. Можно производить перенос звена параллельного контура вперед или назад по цепи с соответствующими добавлениями. Например, разветвление к звену W₃ па­раллельного контура в схеме рис. 2.10, а можно перене­сти вперед по цепи, добавив передаточную функцию, обратную передаточной функции звеньев, через которые был сделан перенос ( , рис. 2.10, б).

При переносе же его по цепи назад надо добавить передаточную функцию тех звеньев, через которые был сделан перенос (W₁, рис. 2.10, в).

5. Перенося место включения звена обратной связи W_oc (рис. 2.11, а) вперед или назад, поступаем точно

так же, как и в предыдущем случае (соответственно рис. 2.11,б и в).

Ограничимся этими основными правилами структур­ных преобразований. По аналогии с ними можно произ­-

водить желаемые преобразования любых структурных схем.

Приведем пример получения общей передаточной функции сложной разомкнутой цепи (рис. 2.12) с ис­пользованием структурных преобразований.

Первый шаг преобразования показан на рис. 2.13, где, согласно правилам 4 и 5, имеем

и, кроме того, по правилу 2 сделан перенос назад внеш­него воздействия f.

Второй шаг преобразования изображен на рис. 2.14, где. согласно правилу 1, получаем

Наконец, на основании схемы рис. 2.14 находим окон­чательно общие передаточные функции всей разомкнутой

цепи по каждой из двух входных величин х и f от­дельно

Аналогично этому примеру можно производить структур­ные преобразования, приводя к желаемым простым ви­дам любые сложные структуры самых различных систем.