Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Передаточные функции и уравнения замкнутой системы
Из цепи звеньев любой сложности, показанной здесь одним прямоугольником (рис. 2.15), получается замкнутая система при помощи единичной отрицательной обратной связи. Эту обратную связь называют главной в отличие от местных обратных связей, которые могут быть, как мы видели, внутри в составе разомкнутой цепи звеньев. Пусть имеются (рис. 2.15) внешние воздействия: g(t)— задающее и f(t)—возмущающее. В общем случае могут быть введены несколько возмущающих воздействий, приложенных в разных местах системы. Задана передаточная функция разомкнутой цепи в виде отношения многочленов с единичными коэффициентами при младших членах, т. е. где К—общий коэффициент усиления разомкнутой цепи. Передаточные функции замкнутой системы записываются отдельно для каждой комбинации входа и выхода, а значит, и для каждого внешнего воздействия в отдельности. Разделим каналы прохождения сигналов в системе от каждого внешнего воздействия. Возмущающее воздействие f(t) может быть приложено в любом месте. Но, используя второе правило структурных преобразований (§ 2.2), всегда можно выделить ту часть схемы, через которую проходят сигналы от f(t) на выход х . Это показано на рис. 2.16 в виде передаточной функции M(s). Для задающего воздействия g(t) схема прохождения сигналов сохраняется в полном виде W (s). На выходе имеем формально (на самом деле M(s) входит в общую схему как часть W(s)). Основные соотношения, следовательно, в изображениях по Лапласу будут иметь вид E=G - X, (2.11) X=W(s)E+M(s)F . (2.12) В расчетах автоматических систем применяют три основные вида передаточных функций замкнутой системы. 1. Главная передаточная функция замкнутой системы (при f(t) = 0): Из формулы (2.11) и (2.12) при F=0 имеем Последнее вытекает из формулы (2.10). 2. Передаточная функция замкнутой системы для ошибки (при f(t)==0): По формуле (2.11) получаем 3. Передаточная функция замкнутой системыпо возмущающему воздействию (при g(t)=0): Из формул (2.11) и (2.12) при G = 0 имеем где R(s)= L(s)M(s), причем многочлен R(s) зависит от места приложения возмущающего воздействия. Заметим, что поскольку при g(t)=0 имеем Е = -X, то передаточная функция замкнутой системы для ошибки по возмущающему воздействию Фε f (s) = будет той же, что и для регулируемой величины Фf(s) с точностью до знака. Важно отметить, что знаменатель всех видов передаточной функции замкнутой системы один и тот же. Для замкнутой системы в целом (рис. 2.15) имеем Умножая все на общий знаменатель и переходя к оригиналам, получим дифференциальное уравнение замкнутой системы для регулируемой величины х в виде Итак, зная передаточные функции звеньев системы, можно чисто алгебраическим путем найти общее дифференциальное уравнение всей замкнутой системы в целом при любой ее сложности. В этом состоит, в частности, одно из важных практических преимуществ использования аппарата передаточных функций. Фигурирующие здесь операторные многочлены L(p) и KN(p) соответствуют знаменателю и числителю передаточной функции разомкнутой цепи W(s), а операторный многочлен R(p) зависит от места приложения возмущающего воздействия f(t). Дифференциальное уравнение замкнутой системы (2.16) записывают также в виде Характеристическое уравнение замкнутой системы будет Очевидно, что корни λi (i = 1, 2, ..., п) этого характеристического уравнения равны полюсам si передаточной функции замкнутой системы (2.13). Как видим, порядок дифференциального уравнения замкнутой системы (2.17), как и разомкнутой цепи (2.7) определяется степенью п многочлена L(p) (так как степень N(p) ниже). Однако коэффициенты обоих уравнений существенно отличны друг от друга за счет прибавления многочлена KN(p). Поэтому и все динамические свойства процессов в замкнутой системе будут существенно отличаться от таковых в разомкнутой цепи, состоящей из тех же самых звеньев. В развернутом виде в обычной записи уравнение динамики замкнутой системы (2.17) получает вид На основании передаточных функций (2.14) и (2.15) с изменением знака последней можно выразить ошибку замкнутой системы, точнее ее изображение по Лапласу, в виде и записать дифференциальное уравнение замкнутой системы для ошибки Здесь левая часть уравнения, а значит, и характеристическое уравнение, остаются томи же, что и для регулируемой величины (2.16). Правая же часть меняется существенно перед задающим воздействием, а перед возмущающим воздействием меняется только знак. Физически это понятно, ибо все изменения регулируемой величины под влиянием возмущающего воздействия включаются целиком в ошибку. Уравнение замкнутой системы может быть записано и иначе - в виде системы уравнений звеньев типа (1.2), обычно второго и первого порядка (но возможно и более высокого для некоторых звеньев). Однако уравнение второго порядка всегда можно принести к двум уравнениям первого порядка. Например, положив для простоты в (1.1) b0 == 0 и обозначив Представив в аналогичном виде уравнения всех звеньев, запишем уравнения динамики замкнутой системы в нормальной форме Коши причем в правых частях не обязательно входят все п переменных. Поэтому многие коэффициенты здесь будут нулями. В некоторые уравнения добавятся справа еще задающее g(t) и возмущающее f(t) воздействия. Характеристическое уравнение этой системы имеет вид или в развернутом виде Заметим, что фигурирующие здесь п переменных (х1, x2, ..., xn) называют координатами состоянии данной системы. Их число равно общему порядку системы п. Каждая совокупность конкретных числовых значений всех этих координат характеризует состояние системы в определенный момент времени. Как видно из составления уравнений (2.21) координаты состояния xi не обязательно все соответствуют реальным физическим величинам воздействий между звеньями системы. Часть из них могут вводиться искусственно. Это фактически координаты математической модели системы. Система уравнений (2.21) может быть записана в матричной форме а характеристическое уравнение (2.22) соответственно в виде где х — вектор-столбец всех координат состояния, А — матрица коэффициентов, Е — единичная матрица, т. е. Согласно этим обозначениям краткая запись (2.23) расшифровывается подробно в виде (2.21), а запись (2.24) — в виде (2.22), что соответствует также другой краткой записи D(λ)=0, примененной выше в (2.19). |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |