Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Передаточные функции и уравнения замкнутой системы

 

Из цепи звеньев любой сложности, показанной здесь одним прямоугольником (рис. 2.15), получается замкну­тая система при помощи единичной отрицательной об­ратной связи. Эту обратную связь называют главной в отличие от местных обрат­ных связей, которые могут быть, как мы видели, внутри в составе разомкнутой це­пи звеньев. Пусть имеются (рис. 2.15) внешние воздей­ствия: g(t)— задающее и f(t)—возмущающее. В об­щем случае могут быть вве­дены несколько возмущающих воздействий, приложенных в разных местах системы.

Задана передаточная функция разомкнутой цепи

в виде отношения многочленов с единичными коэффици­ентами при младших членах, т. е.

где К—общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Передаточные функции замкнутой системы записыва­ются отдельно для каждой комбинации входа и выхода, а значит, и для каждого внешнего воздействия в отдель­ности.

Разделим каналы прохождения сигналов в системе от каждого внешнего воздействия. Возмущающее воздей­ствие f(t) может быть приложено в любом месте. Но, ис­пользуя второе правило структурных преобразований (§ 2.2), всегда можно выделить ту часть схемы, через которую проходят сигналы от f(t) на выход х . Это по­казано на рис. 2.16 в виде передаточной функции M(s).

Для задающего воздействия g(t) схема прохождения сигналов сохраняется в полном виде W (s). На выходе имеем формально

(на самом деле M(s) входит в общую схему как часть W(s)).

Основные соотношения, следовательно, в изображе­ниях по Лапласу будут иметь вид

E=G - X, (2.11)

X=W(s)E+M(s)F . (2.12)

В расчетах автоматиче­ских систем применяют три основные вида передаточных функций замкнутой системы.

1. Главная передаточная функция замкнутой системы

(при f(t) = 0):

Из формулы (2.11) и (2.12) при F=0 имеем

Последнее вытекает из формулы (2.10).

2. Передаточная функция замкнутой системы для ошибки (при f(t)==0):

По формуле (2.11) получаем

3. Передаточная функция замкнутой системыпо воз­мущающему воздействию (при g(t)=0):

Из формул (2.11) и (2.12) при G = 0 имеем

где R(s)= L(s)M(s), причем многочлен R(s) зависит от места приложения возмущающего воздействия. Заметим, что поскольку при g(t)=0 имеем Е = -X, то передаточ­ная функция замкнутой системы для ошибки по возмущающему воздействию Фε f (s) = будет той же, что и для регулируемой величины Фf(s) с точностью до знака.

Важно отметить, что знаменатель всех видов переда­точной функции замкнутой системы один и тот же.

Для замкнутой системы в целом (рис. 2.15) имеем

Умножая все на общий знаменатель и переходя к оригиналам, получим дифференциальное уравнение замкнутой системы для регулируемой величины х в виде

Итак, зная передаточные функции звеньев системы, можно чисто алгебраическим путем найти общее диффе­ренциальное уравнение всей замкнутой системы в целом при любой ее сложности. В этом состоит, в частности, одно из важных практических преимуществ использова­ния аппарата передаточных функций.

Фигурирующие здесь операторные многочлены L(p) и KN(p) соответствуют знаменателю и числителю пере­даточной функции разомкнутой цепи W(s), а оператор­ный многочлен R(p) зависит от места приложения воз­мущающего воздействия f(t).

Дифференциальное уравнение замкнутой системы (2.16) записывают также в виде

Характеристическое уравнение замкнутой системы будет

Очевидно, что корни λi (i = 1, 2, ..., п) этого харак­теристического уравнения равны полюсам si передаточ­ной функции замкнутой системы (2.13).

Как видим, порядок дифференциального уравнения замкнутой системы (2.17), как и разомкнутой цепи (2.7) определяется степенью п многочлена L(p) (так как сте­пень N(p) ниже). Однако коэффициенты обоих уравне­ний существенно отличны друг от друга за счет прибав­ления многочлена KN(p). Поэтому и все динамические свойства процессов в замкнутой системе будут существен­но отличаться от таковых в разомкнутой цепи, состоя­щей из тех же самых звеньев.

В развернутом виде в обычной записи уравнение ди­намики замкнутой системы (2.17) получает вид

На основании передаточных функций (2.14) и (2.15) с изменением знака последней можно выразить ошибку замкнутой системы, точнее ее изображение по Лапласу, в виде

и записать дифференциальное уравнение замкнутой си­стемы для ошибки

Здесь левая часть уравнения, а значит, и характери­стическое уравнение, остаются томи же, что и для регу­лируемой величины (2.16). Правая же часть меняется существенно перед задающим воздействием, а перед воз­мущающим воздействием меняется только знак. Физиче­ски это понятно, ибо все изменения регулируемой ве­личины под влиянием возмущающего воздействия вклю­чаются целиком в ошибку.

Уравнение замкнутой системы может быть записано и иначе - в виде системы уравнений звеньев типа (1.2), обычно второго и первого порядка (но возможно и более высокого для некоторых звеньев). Однако уравнение вто­рого порядка всегда можно принести к двум уравнениям первого порядка. Например, положив для простоты в (1.1) b0 == 0 и обозначив

Представив в аналогичном виде уравнения всех звень­ев, запишем уравнения динамики замкнутой системы в нормальной форме Коши

причем в правых частях не обязательно входят все п пе­ременных. Поэтому многие коэффициенты здесь будут нулями. В некоторые уравнения добавятся справа еще задающее g(t) и возмущающее f(t) воздействия.

Характеристическое уравнение этой системы име­ет вид

или в развернутом виде

Заметим, что фигурирующие здесь п переменных 1, x2, ..., xn) называют координатами состоянии данной системы. Их число равно общему порядку системы п. Каждая совокупность конкретных числовых значений всех этих координат характеризует состояние системы в определенный момент времени. Как видно из составления уравнений (2.21) координаты состояния xi не обязатель­но все соответствуют реальным физическим величинам воздействий между звеньями системы. Часть из них мо­гут вводиться искусственно. Это фактически координаты математической модели системы.

Система уравнений (2.21) может быть записана в матричной форме

а характеристическое уравнение (2.22) соответственно в виде

где х — вектор-столбец всех координат состояния, А — матрица коэффициентов, Е — единичная матрица, т. е.

Согласно этим обозначениям краткая запись (2.23) расшифровывается подробно в виде (2.21), а запись (2.24) — в виде (2.22), что соответствует также другой краткой записи D(λ)=0, примененной выше в (2.19).

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...