Точность при гармоническом воздействии

Установившиеся ошибки при гармоническом воздей­ствии определяются частотными характеристиками замк­нутой системы, которые были получены выше в § 2.4.

Частотные характеристики замкнутой системы, по­строенные для регулируемой величины х по возмущаю­щему воздействию (см. в конце § 2.4), будут целиком определять установившуюся синусоидальную ошибку по амплитуде и по фазе

где ω — частота колебаний возмущающего воздействия

(с единичной амплитудой).

Что касается основных частотных характеристик

построенных в § 2.4 по главной передаточной функции замкнутой системы, то они включают в себя всю инфор­мацию об установившемся слежении за синусоидальным задающим воздействием

Поэтому, как показано на рис. 3.3, а и б (соответ­ственно для систем с астатизмом и без него), установив­-

шаяся ошибка воспроизведения амплитуды гармониче­ского задающего воздействия определится заштрихован­ными частями ординат. Заметим, что ошибка в амплитуде при ω=0 представляет собой статическую ошибку си­стемы, так как нулевая частота соответствует постоянной величине входного сигнала.

Фазовая частотная характеристика φ_з(ω) (рис. 3.3, в) представляет собой установившуюся ошибку, выражаю­щуюся в сдвиге фазы на выходе

по отношению к входному воздействию (3.21).

Амплитудная частотная характеристика А_з(ω) обыч­но падает при дальнейшем увеличении частоты, причем

В результате получается ограниченный диапазон ча­стот ω_п (см. рис. 3.3), в котором ошибка воспроизведе­ния амплитуды

не превышает допустимого значения. Этот диапазон ча­стот 0 < ω < ω_п определяет полосу пропускания данной системы.

Полоса пропускания является важным показателем точности системы. Она характеризует ограничение воз­можностей системы в воспроизведении быстро меняющих­ся сигналов. Это связано со степенью инерционности си­стемы. При необходимости для снижения инерционности

в систему вводятся корректирующие устройства, рассмат­риваемые ниже в главе 6.

Для астатических систем существует приближенная формула вычисления ошибки при гармоническом воздей­ствии на рабочих частотах. Рабочие частоты систем уп­равления ω_p лежат обычно ниже (левее) первой сопря­гающей частоты ω₁ (рис. 3.4), где |W( jω_p)| > 1 и само значение ω_p сравнительно невелико. Поэтому для астати­ческой системы с передаточной функцией разомкнутой цепи

где L₁ (s)—многочлен но степеням s со свободным чле­ном 1, будем иметь

а для ошибки ε в замкнутой системе

т. е. при воздействии (3.21) амплитуда ошибки будет равна

Здесь наглядно видно, что и при гармоническом воз­действии ошибка в первом приближении обратно пропор­циональна общему коэффициенту усиления разомкнутой цепи К, т. е. добротности системы, как это было и для всех постоянных ошибок (§ 3.2).

Наконец, необходимо отметить, что часто при проек­тировании и испытании систем управления пользуются синусоидальным задающим сигналом и в том случае, когда требования к системе поставлены по величинам мак­симальной скорости и максимального ускорения входно­го воздействия, которые должны воспроизводиться сле­дящей системой.

В этом случае, при подаче синусоидального сигнала g = a sin ωt скорость и ускорение будут

Следовательно,

Отсюда вычисляются частота ω и амплитуда а синусои­дального задающего воздействия, при котором получают­ся требуемые максимальные скорость и ускорение, а именно:

Тогда эти значения ω и а принимаются за расчетные рабочие значения частоты и амплитуды для данной си­стемы. Ошибка на этой частоте при данной амплитуде определится по формуле

Ниже в главе 6 мы воспользуемся этими соотноше­ниями при решении задачи синтеза в процессе проекти­рования системы.