Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Анализ устойчивости по расположению корней характеристического уравненияВ разделе 2.1 отмечалось, что характер изменения функции g(t) = (и её производных) зависит исключительно характера корней характеристического уравнения системы (2.17) или (2.31). Наглядное представление о характере корней и его влияния на вид функции g = g(t) даёт их расположение на комплексной плоскости. Будут рассматриваться только некратные корни поскольку в дальнейшем будет необходимо обеспечивать условия, при которых система устойчива с некотором запасом. Итак, возможны следующие варианты решения характеристического уравнения.
1. Все корни si < 0, i = 1, 2, …, n, вещественные и отрицательные, следовательно, все экспоненты импульсной переходной характеристики g = g(t) – убывающие функции времени и их сумма в пределе равна нулю. . Система асимптотически устойчивая. 2. Все корни si < 0 , i = 2, 3, …, n, вещественные и отрицательные, один корень – положительный s1> 0. Эта единственная экспонента с течением времени возрастает и потому g = g(t) – возрастающая функция времени . Система неустойчивая. 3. Все корни si < 0 , i = 3, 4, …, n, вещественные и отрицательные, пара комплексно – сопряженных корней , a > 0. При изучении импульсной переходной характеристики колебательного звена было показано, что комплексно – сопряженным корням с отрицательной вещественной частью (см. (2.50)) соответствует затухающий колебательный процесс (см. рис. 2.11). Следовательно (с учетом сказанного в пункте 1), функция g = g(t) в пределе равна нулю . Система асимптотически устойчивая. 4. Все корни si < 0 , i = 3, 4, …, n, вещественные и отрицательные, пара комплексно – сопряженных корней , a > 0 имеет положительную вещественную часть. Этой паре корней соответствует незатухающий колебательный процесс и, следовательно, g = g(t) – возрастающая функция времени . Система неустойчивая. Из всего перечисленного вытекают следующие заключения:
· Система устойчива, если все корни её характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, т.е. находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости. Мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости. · Система неустойчива, если хотя бы один из корней характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть. · Система находится на апериодической границе устойчивости, если все корни её характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, а один корень вещественный и равен нулю. · Система находится на колебательной границе устойчивости, если все корни её характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, а пара комплексно – сопряженных корней имеет нулевую вещественную часть.
Критерий Михайлова Итак, расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости несёт полную информацию об устойчивости системы. Проблема заключается в том, что сложно или невозможно решить аналитически алгебраическое уравнение n – го порядка. Поэтому разработаны методы, позволяющие по косвенным признакам судить об устойчивости, не решая характеристического уравнения. Эти методы называются критериями устойчивости. Ниже будут рассмотрены два частотных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста. Пусть s1, s2,…, sn – корни характеристического уравнения системы. Из них l корней неустойчивых а оставшиеся n-l корней – устойчивых. Воспользовавшись теоремой Виета, представим характеристическое уравнение в виде
(2.65) Подставляя в уравнение (2.65) вместо текущей переменной s её значение s = jω, сформируем комплексный вектор (2.66) и найдем изменение фазы этого вектора DϕA при изменении частоты . Но вектор представляется в (2.66) как произведение векторов разностей , следовательно, изменение фазы DϕA равно сумме изменений фазы этих векторов разностей. Изображение векторов разностей на комплексной плоскости (см. рис 2.24) позволяет сделать следующее заключение:
· все устойчивые вектора разностей , лежащие в левой полуплоскости, при изменении частоты ω в диапазоне поворачиваются против часовой стрелки на угол, равный 180˚, · все неустойчивые вектора разностей , лежащие в правой полуплоскости, при изменении частоты ω в диапазоне поворачиваются по часовой стрелке на угол, равный -180˚.
Таким образом, . Но, частотные характеристики симметричны относительно точки ω = 0. Поэтому изменение фазы вектора , называемое действительным, определяют при изменении частоты ω в диапазоне . (2.67) Если система в замкнутом состоянии устойчива (l = 0), то требуемое значение изменения фазы вектора равно . (2.68) Поскольку анализ устойчивости системы проводится в условиях, когда неизвестны значения корней характеристического уравнения, для определения нужно построить годограф вектора , годограф Михайлова, на комплексной плоскости и по нему найти значение . Итак, · для того чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой, необходимо, чтобы = . (2.69) Это означает, что годограф Михайлова в положительном направлении (против часовой стрелки) должен обойти n квадрантов, т. е. повернуться на угол, равный , · система не является устойчивой, если < . (2.70) т.е. нарушена последовательность обхода квадрантов,если при ω = 0 годограф Михайлова выходит из начала координат, то система находится на апериодической границе устойчивости, · если на некоторой частоте годограф Михайлова проходит через начало координат, то система находится на колебательной границе устойчивости.
Критерий Найквиста
Частотный критерий, тесно связанный с критерием Михайлова. Эго существенное преимущество в том, что его применение позволяет по характеристикам системы в разомкнутом состоянии судить не только об устойчивости, но и о качестве, системы в замкнутом состоянии. |
||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |