Общий случай критерия Найквиста

Задана система с единичной отрицательной обратной связью (см. рис. 2.15) передаточной функцией в разомкнутом состоянии . Приравняв нулю полином знаменателя, получим характеристическое уравнение системы в разомкнутом состоянии. Пусть в общем случае l_c корней этого уравнения неустойчивы, а n - l_c – устойчивы. Тогда в соответствии с критерием Михайлова изменение фазы вектора C(jω) равно

.

Система в замкнутом состоянии должна быть устойчивой, следовательно, должны быть устойчивыми все корни характеристического уравнения системы в замкнутом состоянии A(s) = 0 и изменение фазы вектора A(jω) равно

.

Вводится вспомогательная переменная F(s). В соответствии с формулой (2.61), она равна отношению характеристических полиномов системы в замкнутом и разомкнутом состояниях

F(s) = 1 + W(s) = 1 + = . (2.70)

Применение критерия Михайлова позволяет определить изменение фазы вектора F(jω)

.

Таким образом,

· для того, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой, необходимо, чтобы

,

· система в замкнутом состоянии неустойчива, если

.

Пример 2.1

Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии (см. рис. 2.15) имеет вид.

. (2.74)

Требуется определить, устойчива ли система в замкнутом состоянии.

Для решения этого вопроса следует применить критерий Найквиста в следующей последовательности:

1. Определить число неустойчивых корней характеристического уравнения системы в разомкнутом состоянии.

Приравниванием нулю знаменателя передаточной функции (2.73), получаем характеристическое уравнение системы в разомкнутом состоянии и его корни

C(s) = s(1 - sT); s₁ = 0, s₂ = 1/T.

Первый корень s₁, соответствующий интегрирующему звену, является нулевым, второй – неустойчивый s₂ > 0.

Как отмечалось в разделе 2.4.6, нулевой корень s = 0 интегрирующего звена считают условно устойчивым. Таким образом, число неустойчивых корней системы в разомкнутом состоянии l_c = 1.

2. Найти требуемое значение вспомогательного вектора F(jω).

В соответствии с соотношением (2.71) .

3. Построить АФХ системы в разомкнутом состоянии.

Комплексный коэффициент передачи системы в разомкнутом состоянии согласно (2.74) имеет вид

.

В таблице 1 отражена зависимость от частоты ω значений вещественной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи, а на рис. 2.25 изображен график АФХ, построенный по этим данным, дополненный дугой бесконечно большого радиуса поскольку передаточная функция (2.74) содержит интегрирующее звено.

Таблица 2.1

ω
	kT	–∞
∞	+0	-0

Определение действительного значения изменения фазы вектора F(jω).

Фаза вектора F(jω), проведенного из точки (-1, 0), при изменении частоты ω от 0 до ∞ сначала уменьшается до значения, близкого -90°,а потом увеличивается до нуля. Таким образом, .

4. Заключение об устойчивости.

Поскольку в рассматриваемом случае , то согласно условию (2.73) система в замкнутом состоянии неустойчива.

Пример 2.2

На устойчивость исследуется система, передаточная функция которой отличается знаком «-».

. (2.75)

Поэтому по прежнему , но АФХ данной системы повернута на 180° по сравнению с АФХ примера 1 (см. рис. 2.26). При изменении частоты ω от 0 до ∞ вектор F(jω) поворачивается по часовой стрелке на угол, равный 180°. Следовательно, и . Согласно условию (2.73) система в замкнутом состоянии неустойчива.

Частный случай. Устойчивые в разомкнутом состоянии системы

В том случае, когда система в разомкнутом состоянии устойчива т.е. число её неустойчивых корней равно нулю (l_c=0), то изменение фазы вектора F в соответствии с соотношением (2.72) равно нулю и справедливо правило:

Если АФХ система в разомкнутом состоянии при изменении частоты ω в диапазоне не охватывает точку (-1, 0), тосистема в замкнутом состоянии устойчива.

Пример 2.3

Задана передаточная функция системы в разомкнутом состоянии

.

Требуется определить, устойчива ли эта система (в замкнутом состоянии).

Комплексный коэффициент передачи системы в разомкнутом состоянии

.

Таблица 2.2

ω
	kT	–∞
∞	+0	-0

На рис. 2.27 изображена АФХ, построенная в соответствии с данными табл. 2.2. Заданная передаточная функция системы в разомкнутом состоянии содержит три интегрирующих звена. Поэтому видимая часть АФХ дополняется дугой бесконечно большого радиуса, поворачивающую её низкочастотную часть против часовой стрелке на угол, равный 270°. Изображенная на рис. 2.27 характеристика не охватывает точку (-1, 0), (т.е. ), следовательно, рассматриваемая система устойчива.