Методы нахождения центра тяжести

В ряде случаев положение центра тяжести тела можно определить с помощью простых приемов, не прибегая к вычислению интегралов.

Метод разбиения основан на применении формул для определения положения центра системы параллельных сил (рис. 5.1) в векторной форме или координат точки С в проекциях на оси координат x, y, z

, (5.4)

В формуле (5.4) выражение называется статическим моментом системы параллельных сил относительно центра О, а выражение , входящее во второе равенство (5.4), ¾ статическим моментом системы параллельных сил относительно плоскостиOyz и т.д.

В практике расчетов центра тяжести метод разбиения используют, когда тело можно разбить на ряд отдельных частей, для которых веса и положение центров тяжести известны. Метод разбиения можно наглядно проиллюстрировать на нескольких примерах.

Пример 5.1. Определение центра тяжести однородной пластины (рис.5.1 - 5.4.

◄

Рис.5.1

◄

Рис. 5.2

Площадь	Форма
	полукруг	-	+	-
	полый прямоугольник	+	+	+
	отверстие круга	+	-	-

Рис. 5.3

Алгебраическая величина площади частей, из которых составлена вся область пластины (рис. 5.3), знак минус принимается для вырезов (выемок).

◄

◄

	Составляющие пластины
	прямоугольник	12×8=96			+576	+384
	треугольник	0.5×12×6=36		-2	+144	-72
	полукруг	0.5×p×62 =56.55		10,55	+339.3	+596.4
	полый круг	-p×42 = -50.27			-301.6	-402.2
	Итого	=138.28			=757,7	=506,2

Рис.5.4

Пример 5.2. Определение центра тяжести однородного стержня (провода) (рис.5.5)

	Элементы отрезков
	AB				18×102
	BC				19.5×102	8.13×102
	CA					3.13×102
	Итого	=150			=37.5×102	=11.26×102

◄

◄

Рис.5.5

Пример 5.3. Определение центра тяжести однородного объемного тела (рис 5.6)

	Элементы объемного тела	Объем,
	полусфера		-2.25	-10.16×102
	цилиндр		+5	+56.55×102
	конус		+7.5	- 28.28×102
	Итого	12.06×102		=18.09×102

◄

Рис. 5.6

Метод симметрии. Центр тяжести симметричных тел. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр материальной симметрии, то его центр тяжести находится соответственно в плоскости, на оси или в центре симметрии. Например, центр тяжести дуги окружности (рис. 5.7) или однородного тела вращения (рис.5.10, 5.11) лежат на оси симметрии, шара - в его центре и т.п.

Пример 5.4.Центр тяжести дуги окружности (рис.5.7) радиусом r cцентральным углом 2a. Центр тяжестилежит на оси симметрии Ox. Дляопределения абсциссы выделим элемент дуги длиной . Длина дуги окружности определяется как

Рис. 5.7

Так как , где = ,

◄

Для дуги полуокружности имеем Так как < a, то

центр тяжести лежит внутри сектора АОВ (рис.5.7).

Рис. 5.8

Теоремы Паппа - Гюльдена, позволяют определить положение центра тяжести линии и плоской фигуры в тех случаях, когда известны поверхность или объем тела, образованных вращением линии или фигуры вокруг оси, лежащей в их плоскости.

Теорема 1. Площадь поверхности, образованной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой и ее не пересекающей, равна произведению длины этой линии на длину окружности, описываемой ее центром тяжести (рис. 5.8 и рис. 5.10).

Теорема 2. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в плоскости фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описываемой ее центром тяжести (рис.5.9).

Рис.5.9

Пример 5.5. Определение положения центра тяжести линии в том случае, когда известна поверхность, образованная вращением линии или фигуры вокруг оси, лежащей в их плоскости (рис. 5.10).

Согласно теоремы 1 Паппа - Гюльдена , с учетом величины абсциссы

четверти окружности взятой из табл. 5.1, и равной , находим абсциссу центра тяжести этой линии относительно вертикальной оси вращения длину четверти окружности и

Рис. 5.10

площадь поверхности ее вращения, вокруг вертикальной оси y:

◄

Метод интегрирования.Когда тело нельзя разбить на составные части, центр тяжести которых известен, используют метод интегрирования, являющийся универсальным.

Пример 5.6. Определить центр тяжести полуэллипсоида вращения (рис.5.11).

Так как полуэллипсоид вращения симметричен относительно оси x,а плоскость xy - плоскость симметрии тела вращения, то

В сечении полуэллипсоида вращения плоскостью, параллельной плоскости yOz и отстоящей на расстоянии x от нее, получитсякруг

. Его площадь , поэтому объем полуэллипсоида

Так как ось Ox -ось симметрии полуэллипсоида, то его центр тяжести лежит на оси Ox, а координата центра тяжести определяется прямым интегрированием по x и dx по формуле

Þ ◄

Рис. 5.11

Т а б л и ц а 5.1