Определение частотных характеристик цепи (АЧХ и ФЧХ) с помощью выражений комплексной функции цепи (КФЦ)

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ

ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АПЕРИОДИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Руководство к лабораторной работе №4 по дисциплине

«Теория электрических цепей»

для студентов радиотехнического факультета

всех специальностей

Разработчики:

доцент кафедры ТОР

И.В. Мельникова,

доцент кафедры ТОР

К.Ю. Дубовик,

Томск 2013

Оглавление

1. Цель работы.. 3

2. Краткие теоретические сведения. 3

2.1 Комплексная функция цепи. 3

2.2 Частотные характеристики цепи. 4

2.3 Определение частотных характеристик цепи (АЧХ и ФЧХ) с помощью выражений комплексной функции цепи (КФЦ) 6

2.4 Определение характера частотных характеристик цепи (АЧХ и ФЧХ) на основе схемы без вывода выражений АЧХ и ФЧХ 8

2.5 Определение полосы пропускания цепи (ППЦ) 10

3. Домашнее задание. 10

4. Лабораторное задание. 12

4.1 Подготовка лабораторного оборудования. 12

4.2 Измерение АЧХ передаточной функции простой цепи. 13

4.3 Измерение ФЧХ передаточной функции простой цепи. 14

4.4 Измерение АЧХ и ФЧХ передаточной функции сложной цепи. 15

5. Выводы по работе. 15

6. Контрольные вопросы.. 15

7. Список литературы.. 17

Цель работы

1) Усвоить понятия амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), фазо-частотных характеристик (ФЧХ) и полосы пропускания цепи (ППЦ);

2) Освоить методику их измерения на примере простых цепей, содержащих резисторы и один из реактивных элементов: конденсатор или катушку индуктивности.

Краткие теоретические сведения

Комплексная функция цепи

Комплексная функция цепи (КФЦ) есть отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия [3]:

(2.1)

где (jw) - комплексная функция цепи,

_mОТ, _mВ - комплексные амплитуды отклика и воздействия,

_ОТ, _В - комплексы действующих значений отклика и воздействия.

В общем случае воздействие и отклик определяются в соответствии конкретной задачей исследования. Например, для цепи, представленной на рисунке 2.1, можно составить несколько КФЦ:

(2.2)

. (2.3)

Рис. 2.1 - Схема цепи, находящейся в режиме передачи сигнала

Все КФЦ принято делить на входные и передаточные. КФЦ называется входной, если воздействие и отклик принадлежат одной и той же паре зажимов: ₁(jw), ₂(jw) и т.п. (выражения вида(2.2), рис.2.1); КФЦ называется передаточной, если хотя бы один зажим (вывод) цепи не является общим для сигналов воздействия и отклика: , _i (jw), ₂₁(jw) и т.п. (выражения вида(2.3), рис.2.1).

Двухполюсник (цепь с двумя зажимами) описывается только входными функциями. Трех-, четырех-, n-полюсник описываются как входными, так и передаточными КФЦ.

Любая схема по отношению к зажимам генератора (узлам подключения ) является двухполюсником (рис. 2.2а). Любая, даже самая простая схема в режиме передачи рассматривается как четырехполюсник (или n-полюсник) (рис.2.2.б и в) :

а)	б)	в)

Рис.2.2 Схема замещения двухполюсника четырехполюсником

Частотные характеристики цепи

Из выражений (2.2) и (2.3) следует, что отклик и воздействие имеют комплексный характер, из чего следует, что любая КФЦ несет информацию как об амплитудных, так и о фазовых соотношениях отклика и воздействия; поэтому любая КФЦ может быть представлена в виде двух характеристик: амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной [3]:

(2.4)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает закон изменения амплитуды отклика от изменения частоты гармонического воздействия при неизменной амплитуде самого входного воздействия. Математически АЧХ определяется как модуль КФЦ:

Т(w) = | (jw)| = Mod = . (2.5)

АЧХ может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной;

При измерениях может возникнуть ситуация, когда АЧХ в интересующем диапазоне частот изменяется на несколько порядков (например, от1 до 1000), тогда в технике пользуются логарифмическим масштабом; значения АЧХ в децибелах (дБ) определяется как:

Т(w) = 201g (2.6)

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) показывает, как меняется фаза сигнала отклика относительно фазы сигнала воздействия при изменении частоты воздействия. Математически ФЧХ определяется как главный аргумент КФЦ:

j(w) = = Arg (jw). (2.7)

ФЧХ измеряется либо в градусах, либо в радианах.

Общая методика получения выражений для частотных характеристик цепи состоит в следующем [3]:

1) получают выражение интересующей КФЦ : ,

2) находят выражение АЧХ как модуль КФЦ : | |,

3) находят выражение ФЧХ как аргумент КФЦ : Аrg .

Полоса пропускания цепи (ППЦ) - непрерывная область частот, в пределах которой значения амплитудно-частотных характеристик цепей отличаются от своего максимального значения не более чем в раз или на 3 дБ (рис.2.3)

а) б) в)

Рисунок 2.3 - Типовые АЧХ цепей и их полосы пропускания.

Методика экспериментального определения ППЦ на основе графика АЧХ показана на рисунке 2.3.

Общая методика определения ППЦ на основе выражения АЧХ состоит в следующем:

1) определяется максимальное значение АЧХ - Т_mах ,

2) выражение АЧХ приравнивается к значению

Т(w_гр) = (2.8)

3) вычисляются значения граничных частот из равенства (2.8),

4) находится полоса пропускания цепи, как разность граничных частот.

Примечания: 1) для четырехполюсников под функцией Т(w) следует понимать функцию К_U (w) как на рисунке 2.3, а для двухполюсников ППЦ определяется по функции Z_ВХ (w);

2) для схем с единственной реактивностью Т_max соответствует либо частоте w = 0, либо частоте w = ¥, для схем с бόльшим числом независимых реактивных элементов Т_max находят исследуя выражение АЧХ на экстремум.

Рассмотрим пример определения КФЦ, АЧХ, ФЧХ для цепи, представленной на рис. 2.4

Подготовка лабораторного оборудования

1) Включить программу PcLab2000L, ярлык которой расположен на рабочем столе. На экране появится основное диалоговое окно программы;

2) Соединить выход генератора PCSGU250, (разъём GENERATOR), с сигнальной и общей шиной макета «Линейные цепи 1»;

3) Подключить к сигнальной шине макета синий провод кабелей CH1 и CH2 осциллографа PCSGU250, а к общей шине соответствующие коричневые жилы.

4) Выбрать частоту и форму сигнала (синусоидальный) соответствующими кнопками генератора сигнала (правая часть панели осциллографа)

5) Запустить осциллограф, нажав кнопку RUN;

6) Включить режим отображения первого и второго каналов осциллографа (режим On,), и установить режим автоматического выбора режима отображения, Autoset. На экране осциллографа должен появиться синусоидальный сигнал;

7) Убедиться, что напряжения на входах первого и второго каналов идентичны;

Рис.4.1 Настройки программы для построения АЧХ и ФЧХ передаточной функции

8) Включить режим анализа частотных характеристик Bode Plotter (рис.4.1). Для этого необходимо в основном окне программы выбрать нажать кнопку Circuit Analyzer. На экране ПК должно появиться дополнительное окно Bode Plotter, в котором необходимо провести ряд настроек;

9) Включить режим отображения фазочастотной характеристики, для этого в Меню выбрать раздел View/Phase Plot (рис.4.1);

10) Как и в п.9 включить режим маркерных измерений амплитуды, View /Markers f $ V (рис.4.1);

11) Включить режим отображения серии измерений (Главное меню/ Options/ Show Multiple Traces);

12) В главном окне Bode Plotter включить следующие режимы (рис.4.1г):

- Vertical Scale, - Volts;

- Frequency Range, - 30kHz;

- Frequency Start, - 100Hz;

- V Range, - 1V;

Выводы по работе

1) Сделать итоговые выводы по результатам работы. В выводах четко зафиксировать влияние значения сопротивления на АЧХ и Ф ЧХ функции;

2) Сделать выводы о влиянии сопротивления в цепи на граничную частоту частотной характеристики;

3) Сделать выводы о значении ФЧХ передаточной функции на граничной частоте;

4) Провести сравнение частотных характеристик сложной и простой цепей ( R=1кОм);

5) Обоснованно объяснить расхождения в расчетных и экспериментальных данных;

6. Контрольные вопросы

1) сформулируйте определение АЧХ, поясните, что отражает АЧХ передаточной функции по напряжению;

2) сформулируйте определение ФЧХ, поясните, что отражает ФЧХ передаточной функции по напряжению;

3) изобразите упрощенную схему для измерения АЧХ передаточной функции с использованием

а) вольтметров,

б) измерительного прибора PC Lab;

4) изложите методику определения качественного характера АЧХ для моделей первого и второго порядка с однотипными реактивными элементами;

5) изложите методику определения качественного характера ФЧХ для моделей первого и второго порядка с однотипными реактивными элементами;

6) сделайте обоснованные предположения о качественном характере АЧХ коэффициента передачи для схем, изображенных на рис. 6.1;

Рис.6.1

7) сделайте обоснованные предположения о качественном характере ФЧХ коэффициента передачи для схем рис. 6.1;

8) для каждой АЧХ, изображенной на рис. 6.2, постройте по две схемы;

Рис.6.2

9) сформулируйте определение ППЦ и изложите методику расчета и экспериментального определения граничных частот полосы пропускания;

10) докажите в общем виде, что граничная частота для обоих выходов в каждой модели (рис. 6..3) одинакова, выразите ω_гр через параметры модели;

Рис. 6.3

11) изобразите на общем графике в одинаковом масштабе АЧХ по обоим выходам модели рис.6.3а (или рис. 6.3б) и прокомментируйте выполнение второго закона Кирхгоффа на граничной частоте;

12) поясните, на каких частотах и почему возможна неустойчивая работа осциллографа в режиме измерения фазы в схемах, АЧХ которых приведены на рис. 6.4;

рис.6.4

Список литературы

1. Попов В.П. Основы теории цепей.- М.: Высш.шк.,2005.-574с.(252 экз.)

2. Атабеков Г.И. Основы теории цепей.- СПб: Лань,2009.-432с. Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=95

3. Мельникова И.В., Дубовик К.Ю. Теория электрических цепей: Учебное пособие к практическим занятиям / Под общей ред. Мельниковой И.В.- Томск. 2012.‑ 156 c. Режим доступа: http://edu.tusur.ru/training/publications/1432

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ

ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АПЕРИОДИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Руководство к лабораторной работе №4 по дисциплине

«Теория электрических цепей»

для студентов радиотехнического факультета

всех специальностей

Разработчики:

доцент кафедры ТОР

И.В. Мельникова,

доцент кафедры ТОР

К.Ю. Дубовик,

Томск 2013

Оглавление

1. Цель работы.. 3

2. Краткие теоретические сведения. 3

2.1 Комплексная функция цепи. 3

2.2 Частотные характеристики цепи. 4

2.3 Определение частотных характеристик цепи (АЧХ и ФЧХ) с помощью выражений комплексной функции цепи (КФЦ) 6

2.4 Определение характера частотных характеристик цепи (АЧХ и ФЧХ) на основе схемы без вывода выражений АЧХ и ФЧХ 8

2.5 Определение полосы пропускания цепи (ППЦ) 10

3. Домашнее задание. 10

4. Лабораторное задание. 12

4.1 Подготовка лабораторного оборудования. 12

4.2 Измерение АЧХ передаточной функции простой цепи. 13

4.3 Измерение ФЧХ передаточной функции простой цепи. 14

4.4 Измерение АЧХ и ФЧХ передаточной функции сложной цепи. 15

5. Выводы по работе. 15

6. Контрольные вопросы.. 15

7. Список литературы.. 17

Цель работы

1) Усвоить понятия амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), фазо-частотных характеристик (ФЧХ) и полосы пропускания цепи (ППЦ);

2) Освоить методику их измерения на примере простых цепей, содержащих резисторы и один из реактивных элементов: конденсатор или катушку индуктивности.

Краткие теоретические сведения

Комплексная функция цепи

Комплексная функция цепи (КФЦ) есть отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия [3]:

(2.1)

где (jw) - комплексная функция цепи,

_mОТ, _mВ - комплексные амплитуды отклика и воздействия,

_ОТ, _В - комплексы действующих значений отклика и воздействия.

В общем случае воздействие и отклик определяются в соответствии конкретной задачей исследования. Например, для цепи, представленной на рисунке 2.1, можно составить несколько КФЦ:

(2.2)

. (2.3)

Рис. 2.1 - Схема цепи, находящейся в режиме передачи сигнала

Все КФЦ принято делить на входные и передаточные. КФЦ называется входной, если воздействие и отклик принадлежат одной и той же паре зажимов: ₁(jw), ₂(jw) и т.п. (выражения вида(2.2), рис.2.1); КФЦ называется передаточной, если хотя бы один зажим (вывод) цепи не является общим для сигналов воздействия и отклика: , _i (jw), ₂₁(jw) и т.п. (выражения вида(2.3), рис.2.1).

Двухполюсник (цепь с двумя зажимами) описывается только входными функциями. Трех-, четырех-, n-полюсник описываются как входными, так и передаточными КФЦ.

Любая схема по отношению к зажимам генератора (узлам подключения ) является двухполюсником (рис. 2.2а). Любая, даже самая простая схема в режиме передачи рассматривается как четырехполюсник (или n-полюсник) (рис.2.2.б и в) :

а)	б)	в)

Рис.2.2 Схема замещения двухполюсника четырехполюсником

Частотные характеристики цепи

Из выражений (2.2) и (2.3) следует, что отклик и воздействие имеют комплексный характер, из чего следует, что любая КФЦ несет информацию как об амплитудных, так и о фазовых соотношениях отклика и воздействия; поэтому любая КФЦ может быть представлена в виде двух характеристик: амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной [3]:

(2.4)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает закон изменения амплитуды отклика от изменения частоты гармонического воздействия при неизменной амплитуде самого входного воздействия. Математически АЧХ определяется как модуль КФЦ:

Т(w) = | (jw)| = Mod = . (2.5)

АЧХ может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной;

При измерениях может возникнуть ситуация, когда АЧХ в интересующем диапазоне частот изменяется на несколько порядков (например, от1 до 1000), тогда в технике пользуются логарифмическим масштабом; значения АЧХ в децибелах (дБ) определяется как:

Т(w) = 201g (2.6)

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) показывает, как меняется фаза сигнала отклика относительно фазы сигнала воздействия при изменении частоты воздействия. Математически ФЧХ определяется как главный аргумент КФЦ:

j(w) = = Arg (jw). (2.7)

ФЧХ измеряется либо в градусах, либо в радианах.

Общая методика получения выражений для частотных характеристик цепи состоит в следующем [3]:

1) получают выражение интересующей КФЦ : ,

2) находят выражение АЧХ как модуль КФЦ : | |,

3) находят выражение ФЧХ как аргумент КФЦ : Аrg .

Полоса пропускания цепи (ППЦ) - непрерывная область частот, в пределах которой значения амплитудно-частотных характеристик цепей отличаются от своего максимального значения не более чем в раз или на 3 дБ (рис.2.3)

а) б) в)

Рисунок 2.3 - Типовые АЧХ цепей и их полосы пропускания.

Методика экспериментального определения ППЦ на основе графика АЧХ показана на рисунке 2.3.

Общая методика определения ППЦ на основе выражения АЧХ состоит в следующем:

1) определяется максимальное значение АЧХ - Т_mах ,

2) выражение АЧХ приравнивается к значению

Т(w_гр) = (2.8)

3) вычисляются значения граничных частот из равенства (2.8),

4) находится полоса пропускания цепи, как разность граничных частот.

Примечания: 1) для четырехполюсников под функцией Т(w) следует понимать функцию К_U (w) как на рисунке 2.3, а для двухполюсников ППЦ определяется по функции Z_ВХ (w);

2) для схем с единственной реактивностью Т_max соответствует либо частоте w = 0, либо частоте w = ¥, для схем с бόльшим числом независимых реактивных элементов Т_max находят исследуя выражение АЧХ на экстремум.

Рассмотрим пример определения КФЦ, АЧХ, ФЧХ для цепи, представленной на рис. 2.4

Определение частотных характеристик цепи (АЧХ и ФЧХ) с помощью выражений комплексной функции цепи (КФЦ)

Изначально воспользуемся общей методикой определения АЧХ и ФЧХ функции:

Рис.2.4 Последовательное соединение RC ‑ цепи

1) Определение комплексной функции цепи (КФЦ):

Так как в лабораторной работе№4 исследуются передаточные характеристики, то будем определять КФЦ коэффициента передачи по напряжению.

Согласно определению (выражение (2.1)) коэффициент передачи – это отношение выходного напряжения ко входному:

(2.9а)

По закону Ома входное напряжение определяется:

В свою очередь, также по закону Ома, напряжение на выходе определяется напряжением на емкости, которое определяется следующим образом:

Тогда коэффициент передачи по напряжению будет иметь вид:

Приведем знаменатель к стандартному виду, т.е. избавимся от «многоэтажного» выражения.

(2.9)

Выражение (2.9) является передаточной комплексной функцией цепи

2) Определение выражения АЧХ:

Согласно определению и выражению (2.5) АЧХ функции – это модуль функции или отношение модулей числителя и знаменателя для комплексных выражений. Тогда из выражения (2.9) выделим модуль:

,

Таким образом, АЧХ коэффициента передачи имеет вид (2.10):

, (2.10)

где R,C – параметры цепи, ω – круговая частота входного воздействия: .

3) Определение выражения ФЧХ:

Исходя из общего определения и математической записи (2.7) ФЧХ исследуемой цепи, определим для исследуемой схемы фазо-частотную характеристику (ФЧХ). Для этого необходимо найти главный аргумент КФЦ. В соответствии с теорией комплексных выражений, аргумент выражения равен разности аргументов числителя и знаменателя. Запишем сказанное математически:

,

Таким образом, ФЧХ коэффициента передачи имеет вид (2.11):

. (2.11)

Для того, чтобы графически изобразить АЧХ и ФЧХ передаточной функции (или по-другому, коэффициента передачи), необходимо вместо параметров цепи подставить номиналы элементов, а вместо круговой частоты подставить соответствующие значения, при разных значениях циклической частоты, например, 0, 200Гц, 1кГц, 1.25кГц, 2,5кГц, 5кГц, 10кГц, 20 кГц.