и установление их логических значений

В процессе коммуникации встает задача определить качество высказываний, оценить их истинность, особенно когда это не очевидно.

Сколько раз вы слышали в детстве: «Пойдешь гулять, если сделаешь все уроки, и на улице не будет темно!». А потом повторяли эту фразу уже своим детям (или еще повторите ее). И надо иметь достаточно личного опыта, чтобы не только знать, что это высказывание может быть истинным или ложным, но и условия, при которых заветное «пойдешь гулять» будет истинным или ложным. Поэтому сейчас мы, во-первых, определим логическую форму этого высказывания и, во-вторых, установим его логическое значение.

Формализация сложного суждения.

(1) Выделение простых суждений.

p – «сделаешь все уроки»;

q – «на улице не будет темно»;

r – «пойдешь гулять».

(2) Определение логических связок.

«и» – логическая связка, соединяющая суждения p – «сделаешь все уроки», q – «на улице не будет темно»;

«если…, то…» – логическая связка, соединяющая основание (представлено двумя суждениями p и q) со следствием r;

«не» – логическое отрицание, являющееся внутренним для суждения q.

(3) Построение формулы сложного суждения.

Поскольку в высказывании допущена перестановка оснований и следствия, восстанавливаем должную логическую последовательность: Если p и не-q, то r.

Так как суждение r следует из совокупности условий, при построении формулы используем скобки в качестве технических знаков:

(p & ù q) É r

Установить логическое значение этого суждения можно при помощи таблицы истинности.

Воспользуемся алгоритмом построения таблицы истинности.

(1) Определение числа строк таблицы по формуле x = 2ⁿ, где n – число переменных в формуле.

В примере три переменных – p, q, r. Число строк: x = 2³ = 8.

(2) Занесение формулы в таблицу.

В первые столбцы таблицы записываем все переменные логической формулы, а затем – саму формулу:

(3) Заполнение значений истинности и ложности переменных.

а) Число строк первого столбца делится пополам. Первая половина заполняется значением истинности, вторая – ложности:

б) Число строк второго столбца делится на четыре части, каждая из которых последовательно заполняется значениями истинности и ложности:

в) Число строк третьего столбца делится на 8 частей, каждая из которых последовательно заполняется значениями истинности и ложности:

(4) Определение последовательности выполнения формулы и выполнение первого знака.

В данном примере первой выполняется логическая связка отрицания, второй – конъюнкция, последней – импликация:

Заполняем значения первой логической связки – ù q:

Заполняем значения второй логической связки – (p & ù q), сопоставляя значения истинности и ложности переменной p и полученных ранее значений переменной ù q:

Заполняем значения последней логической связки – (p & ù q) É r, сопоставляя значения истинности и ложности переменной r и полученных ранее значений переменной (p & ù q):

Последняя логическая связка является результирующей для установления логического значения сложного высказывания. Таким образом, данная формула является выполнимой.

После столь громоздкой процедуры (и в этом существенный недостаток табличного метода) вы еще не забыли, какой вопрос мы ставили? Напомню: «В каком случае ребенок оказывается на прогулке?». Ответ прост: когда сделаны уроки и на улице светло.

Некоторые из вас скажут, что это и без таблицы ясно. Конечно, это ясно – с учетом накопленного вами жизненного опыта!

В случаях, когда решение не столь очевидно, табличное построение позволяет четко указать логический вид высказывания – тождественно-истинный, нейтральный или тождественно-ложный.

Тождественно-истинная формула (в ее результирующем столбце только значения истинности) является основой логически правильных рассуждений, тождественно-ложные формулы, или противоречия, в логическом мышлении недопустимыми, а истинность нейтральных формул зависит от содержательной интерпретации переменных.

Пример на следующей схеме иллюстрирует построение таблицы истинности для нейтральной формулы.

Мужчины, проявите себя!

Сколько раз вас пилили за кран, который течет на кухне. Так давайте решим эту задачу … логическими средствами! Обозначим кран горячей воды – КГ, кран холодной воды – КХ.

Напишите логическую формулу для переменной «Вода идет из крана» и заполните следующую таблицу, поставив ДА или НЕТ в пустых графах.

Логическая формула: __________________

Отношения между суждениями

Представьте, что вы оказались невольным свидетелем спора в магазине по продаже сотовых телефонов. Дочь просит родителей купить ей новый сотовый телефон, в котором есть камера, радиоприемник, карта памяти, инфракрасный порт и множество иных «наворотов».

Дочь: Мама, но у всех в классе уже есть такие телефоны.

Мать: Да что ты говоришь? У кого есть? Да ни у кого такого нет!

Дочь: Как это нет? У Ленки – есть, у Вики – есть, я уж не говорю о Пашке и Лысом!

Отец, стараясь скрыть явную заинтересованность в технической новинке: Лена, Павел, Лысый… Если у них похожие телефоны, значит, такие телефоны есть у всех? (Обращаясь к продавцу). Инфракрасный порт, говорите…

Продавец-консультант, долго и восторженно расписывающий все функции и опции телефона: Такой телефон – модель имиджевая. Не многие могут позволить себе такой телефон. Это знак отличия!

Оставим семейство определяться с покупкой и отвлечемся от эмоциональной составляющей этого диалога. Попытаемся сопоставить различные точки зрения в этом споре, для чего выявим логическую структуру аргументов, приводимых нашими героями.

Дочь: Все одноклассники имеют такой телефон.

Мать: Ни один одноклассник не имеет такого телефона.

Отец: Некоторые одноклассники имеют такие телефоны.

Продавец: Некоторые одноклассники не имеют такого телефона.

Очевидно, что эти высказывания находятся в определенных отношениях между собой, и эти отношения основаны на сходстве по смыслу и по логическому значению (истинности или ложности).

В основе отношений между суждениями лежит их сходство по содержанию, выражаемое в таких логических характеристиках, как смысл и истинность суждений. Поэтому логические отношения устанавливаются только между сравнимыми суждениями, которые имеют общий смысл.

В нашем примере все суждения являются сравнимыми, поскольку имеют одинаковые субъекты («одноклассники») и предикаты («иметь такой телефон»). Отличаются же они связками («есть / не есть») и кванторами («все / некоторые»).

Суждения, которые имеют различные субъекты и предикаты, являются несравнимыми. Например, «Такой телефон – модель имиджевая. Не многие могут позволить себе такой телефон».

Между сравнимыми суждениями могут быть установлены три основных вида логических отношений: (1) совместимость по истинности, (2) совместимость по ложности и (3) логическое следование. Производными из них выступают логические отношения эквивалентности, подчинения, субконтрарности, контрарности и контрадикторности, что иллюстрирует приводимая ниже схема:

Суждения, как и понятия, могут быть совместимыми и несовместимыми. Совместимые суждения – это суждения, истинность одного из которых не исключает истинность другого. Несовместимые суждения не могут быть одновременно истинными.

Вернемся к нашему примеру. Здесь у нас образовалось две группы спорящих, чьи суждения совместимы или несовместимы. С одной стороны, дочь и отец, с другой (как это ни парадоксально на первый взгляд) – мать и продавец.

Сравнение высказываний дочери и отца («Все одноклассники имеют такой телефон» и «Некоторые одноклассники имеют такие телефоны») показывает, что они могут быть одновременно истинными, как и суждения, высказанные матерью и продавцом.

А теперь сравним высказывания дочери и матери («Все одноклассники имеют такой телефон» и «Ни один одноклассник не имеет такого телефона»), которые, очевидно, одновременно истинными быть не могут.

Подумайте и поставьте «Да» против тех суждений, которые могут быть одновременно истинными, и «Нет», которые таковыми одновременно не являются.

Как вы видите, вопрос о противоположности суждений имеет важное значение, поскольку в повседневной деятельности мы постоянно сталкиваемся с различными суждениями, которые необходимо сравнивать, устанавливать, совместимы ли они.

Анализ логических отношений между суждениями начался уже в античную эпоху, а в средние века была создана мнемоническая схема, которая получила название «логический квадрат», или квадрат противоречий.

Различают три вида отношений между совместимыми суждениями: (1) эквивалентность, (2) подчинение и (3) субконтрарность (частичная совместимость). И два вида отношений между несовместимыми суждениями: (4) контрарность (противоположность) и (5) контрадикторность (противоречие).

Единственное отношение, которое не иллюстрируется логическим квадратом, это эквивалентность, поскольку такие суждения имеют одно и то же смысловое содержание, но различны по логическому строению. Например, «Для того, чтобы всегда говорить правду, требуется сила духа»; и «Правдивые люди – сильные духом». Равнозначащие суждения могут быть сформулированы и на национальных языках: «Он – журналист», «Il est journaliste», «He’s a journalist».

Отношение подчинения характерно для суждений, которые имеют общий предикат, а понятия, выражающие субъекты двух таких суждений, находятся в отношении логического подчинения.

В нашем примере в логическом отношении подчинения находятся высказывания дочери и отца: «Все одноклассники имеют такой телефон» и «Некоторые одноклассники имеют такие телефоны». Сравним эти суждения по истинности. Они одновременно являются истинными. Но отец (вот она, родительская мудрость!) мягко указывает дочери на ошибку, которую она допускает в своих рассуждениях. Напомню вам его аргумент: «Лена, Павел, Лысый… Если у них похожие телефоны, значит, такие телефоны есть у всех?». Дочь торопится, обобщая частные случаи (Лена, Павел и Лысый, у которых есть «навороченные» телефоны) до общего утверждения, что у всех в классе они уже есть.

Так в рассуждениях отца проявляется одна из зависимостей, характеризующая суждения разного количества (общих и частных), но одинакового качества: при истинности частного суждения общее остается неопределенным, то есть оно может быть как истинным, так и ложным. Тогда как истинность общего суждения необходимо влечет за собой истинность частного.

Вторая зависимость характеризует отношения суждений типа А и I, Е и О по ложности: из ложности частного всегда следует ложность общего, но не наоборот.

Вспомните о пословице «ложка дегтя в бочке меда»! Ложка дегтя есть ни что иное, как частное суждение «некоторая часть меда хороша», которое ложно. И вот уже ложность частного определяет ложность общего – целой бочки меда! Почему не наоборот? Так и среди тонн пустой породы находят крупицы алмазов…

Теперь посмотрим, как соотносятся суждения отца «Некоторые одноклассники имеют такие телефоны» и продавца «Некоторые одноклассники не имеют такого телефона». Перед нами два суждения одинакового количества (частные), но разного качества (утвердительного – у отца, отрицательного – у продавца).

Очевидно, что два таких суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

Поясним подробнее. Если истинно, что у Лены, Павла и Лысого есть «навороченные» телефоны, то утверждение, что другие их одноклассники, включая нашу героиню, такого телефона не имеют, остается неопределенным, то есть может быть как истинным, так и ложным. Но если окажется ложным наличие у Лены, Павла и Лысого таких телефонов, то утверждение противоположного суждения будет однозначно истинным.

В нашем случае высказывания отца и продавца являются совместимыми по истинности.

Но в выигрышном ли положении находится наша героиня? С одной стороны, ее утверждение частично совпадает с мнением отца. Посмотрим же теперь, как соотносится ее высказывание с мнением матери, а потом и продавца.

Скажите мне, какая женщина не стремится все обобщать? Вот и наши героини сформулировали два общих утверждения «Все одноклассники имеют такой телефон» и «Ни один одноклассник не имеет такого телефона», которые несовместимы друг с другом! Несовместимы, а значит, не могут быть одновременно истинными.

Мы понимаем, что при истинности одного утверждения другое оказывается ложным (если права мать – не права дочь, и наоборот). Но при ложности одного из утверждений другое остается неопределенным (если права мать, то это не значит, что дочь обязательно будет неправой).

Итак, два общих суждения разного качества не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными!

Наконец, осталось соотнести утверждения дочери и продавца: «Все одноклассники имеют такой телефон» и «Некоторые одноклассники не имеют такого телефона».

Вот здесь и кроется настоящее логическое противоречие – контрадикторность. В этом отношении находятся суждения и разного количества, и разного качества (А и О, Е и I). Подобные суждения взаимно исключают друг друга, а значит, они не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными. Если одно из них истинно («Все одноклассники имеют такой телефон»), то другое ложно («Некоторые одноклассники не имеют такого телефона»), и наоборот.

Обобщите все выводы об отношении между простыми суждениями в таблице, проставив значения «истинно», «ложно» и неопределенно».

А сейчас некоторые интересные факты из истории логики.

Между сложными суждениями складываются такие же виды отношений, как и между простыми суждениями. Так же, как и простые суждения, сложные являются сравнимыми и несравнимыми. Но в отличие от простых, сравнимыми среди сложных являются те, которые имеют одинаковые составляющие, но отличающиеся логическими связками, включая отрицание. Сравнимыми, например, являются суждения «Канада или Япония являются членами ВТО» и «Неверно, что Канада и Япония являются членами ВТО». Характер отношений между сравнимыми суждениями устанавливается с помощью таблиц истинности.

Но суждения «Года – не беда, коль душа молода» и «Деятельность милиции строится в соответствии с принципами уважения прав и свобод человека и гражданина, законности, гуманности, гласности» различаются составляющими их суждениями, потому являются несравнимыми.

Логика также изучает отношения между реляционными суждениями (суждениями с отношениями). Здесь мы представим их схематично:

А ваше мнение?

Редактор местной газеты, возмущенный корыстолюбием городской администрации, поместил в своей газете разоблачительную статью под заголовком: «Половина наших чиновников – взяточники». Разъяренные местные политиканы предъявили ему ультиматум: или он поместит опровержение, или будет выброшен из газеты и из города. Редактор вынужден был в конце концов подчиниться и поместил опровержение под заголовком: «Половина наших чиновников не взяточники». Но оно не удовлетворило гонителей смелого журналиста.

Почему?

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

А ты сможешь их решить?

Задача № 1.

В кабинет инспектора по делам несовершеннолетних привели трех учеников различных школ г. Москвы. На вопрос, в каких школах они учатся, каждый дал ответ:

Олег: «Я учусь в школе № 15, а Саша – в школе № 89».

Саша: «Я учусь в школе № 15, а Олег – в школе № 47».

Дима: «Я учусь в школе № 15, а Олег – в школе № 89».

Инспектор не удивился противоречиям в ответах ребят, попросил лишь сказать, где правда, а где – ложь. Спустя полчаса ученики признались, что в ответах каждого из них есть и правда, и ложь.

Через несколько минут инспектор без труда вычислил, в какой школе учится каждый ребенок. Сделайте это и вы.

Задача № 2.

Три друга: опера Карпов, Шматов и Дворянчиков – работают в различных РОВД города Самары (в Красноглинском РОВД, Промышленном РОВД и Ленинском РОВД), живут на различных улицах (улице академика Кузнецова, улице Куйбышевской и улице Ленина). Причем один из них любит играть в футбол, второй увлекается рыбалкой, а третий – бильярдом. Известно, что:

1) Карпов не живет на улице академика Кузнецова, а Шматов не живет на улице Куйбышевской.

2) Опер, живущий на улице академика Кузнецова, не работает в Ленинском РОВД.

3) Опер, живущий на улице Куйбышевской, работает в Красноглинском РОВД и любит играть в футбол.

4) Дворянчиков работает в Ленинском РОВД.

5) Опер Промышленного РОВД не любит играть в бильярд.

В каком РОВД работает каждый их друзей, на какой улице он живет и чем увлекается?

Задача № 3.

Четыре молодых приятеля (Андрей, Алексей, Сергей и Игорь) пришли отдохнуть со своими подругами (Леной, Светой, Ирой и Эльвирой).

Опрос работников и посетителей ночного клуба показал, что:

1) Эльвира танцевала с Андреем, а Лена – с приятелем Светы.

2) Ира танцевала с приятелем Лены, Алексей – с подругой Сергея, а Сергей – с подругой Андрея.

Кроме того, у них был уговор, что никто из молодых людей не танцует со своей подругой первый танец.

Определите, кто чей приятель, и кто с кем танцевал во время первого танца.

Задача № 4.

В дежурной части находилось пять сотрудников: Андреев, Волков, Стасюк, Добровольский и Епифанов. В течение часа некоторые из них выходили курить, причем Андреев и Волков курили лишь раз, а Стасюк, Добровольский и Епифанов дымили «раковыми палочками» по два раза. Известно, что Андреев курил вместе с Епифановым.

Кто с кем наверняка не курил?

1) Стасюк и Добровольский.

2) Стасюк и Епифанов.

3) Волков и Стасюк.

4) Волков и Епифанов.

5) Волков и Добровольский.

Задача № 5.

Ежегодно среди курсантов института проводятся соревнования по боксу. На призовые места реально претендовали трое: Акимов, Архипов и Ефимов. Начальник курса предполагал, что Ефимов будет первым, Акимов – вторым, а Архипов – третьим. Тренер же считал, что победит Акимов, Архипов станет вторым, а Ефимову будет отдано третье место.

Когда подвели итоги, оказалось, что все трое действительно заняли призовые места. Но прогнозы и начальника курса, и тренера не оправдались – ни тот, ни другой не угадал то место, которое займет каждый из этих курсантов.

Как же действительно распределились места?

Задача № 6 [12].

На вопрос, какая завтра погода, синоптик ответил: если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя; если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра; если будет пасмурно, то будет дождь и не будет ветра.

Подумав немного, синоптик уточнил, что его три высказывания можно записать более лаконично. Попробуйте это сделать!

Задача № 7 [13].

Аня, Вика и Сергей решили пойти в кино. Учитель, хорошо знавший этих ребят, высказал следующие предположения: Аня пойдет в кино только тогда, когда пойдут Вика и Сергей; Аня и Сергей пойдут в кино вместе или же оба останутся дома; чтобы Сергей пошел в кино, необходимо, чтобы пошла Вика.

Когда ребята пошли в кино, оказалось, что учитель немного ошибался, из трех его утверждений истинными оказались только два.

Кто из названных ребят пошел в кино?

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение суждения как формы мышления.

2. В какой языковой форме выражается суждение?

3. Что означает логическая характеристика истинности суждения?

4. Чем отличается структура атрибутивного суждения от суждения с отношениями?

5. Какой структурный элемент суждения связывает субъект и предикат?

6. Каково отличительное свойство категорического суждения?

7. Перечислите виды, на которые делятся категорические суждения по количеству и качеству.

8. Приведите логические схемы частноутвердительного и общеотрицательного суждений.

9. Какое условие определяет распределенность термина в суждении?

10. Какие суждения называются выделяющими, и какова распределенность в них предиката?

11. Из каких структурных элементов состоит сложное суждение?

12. Каковы основные виды логических связок в сложных суждениях?

13. Чем строго дизъюнктивное суждение отличается от дизъюнктивного?

14. Каковы условия истинности импликативного и эквивалентного суждений?

15. В каких логических отношениях могут находиться совместимые суждения?

16. В каком логическом отношении находятся между собой общеутвердительные и общеотрицательные суждения?

17. Какое простое суждение находится в отношении контрадикторности к частноотрицательному суждению?

Анекдот

В английском парламенте.

Выступающий спрашивает у спикера:

– Сэр, могу ли я назвать лорда Чарльстона грязной жирной свиньей?

– Нет, я не разрешаю вам назвать лорда Чарльстона грязной жирной свиньей.

– Хорошо, я не буду называть лорда Чарльстона грязной жирной свиньей.

[1] Всеобщая декларация прав человека. Принята Генеральной Ассамблеей ООН 10 декабря 1948 г. Ст. 29.

[2] Закон Российской Федерации «О средствах массовой информации» от 27 декабря 1991 г. № 2124-1. Ст. 47.

[3]http://www.gmcit.murmansk.ru/text/information_science/base/logic/materials/logic2/3/02.htm

[4] Нон эст рэус низи мэнс сит рэа – Нет вины, если нет виновного намерения.

[5] Понятие «сентенция» некогда означало «судебное решение», а позже под сентенцией стали понимать изречение нравоучительного характера.

[6] Таблица истинности – это представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности переменных вместе со значениями истинности результата операции для каждого из этих сочетаний. Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

[7] http://www.vvb.ru/0030007/031.htm

[8] См.: п. 8 «Правил принятия решения о досрочном прекращении правовой охраны товарного знака и знака обслуживания в случае ликвидации юридического лица – обладателя исключительного права на товарный знак или прекращения предпринимательской деятельности физического лица – обладателя исключительного права на товарный знак», утвержденных приказом Роспатента от 3 марта 2003 г. № 28.

[9] http://www.akdi.ru/buhuch/mns-mf/30.htm

[10] http://www.nig.ru/main.html?div_id=6

[11] http://sch1311.msk.ort.ru/our/inf/sql/log1.htm

[12] http://www.iteach.ru/UMPcatalog/f_v801/u_k901/ f_l901?path=web%2Fekvival.htm

[13] http://www.iteach.ru/UMPcatalog/f_v801/u_k901/ f_l901?path=web%2Fekvival.htm