Похибки прямо виміряних та непрямо виміряних величин

І. Конкретні цілі:

· усвідомити принципи дослідження вірогідності різниці середніх арифметичних значень двох вибірок;

· навчитися встановлювати, чи різниця між двома вибірками зумовлена якимось зовнішнім фактором, чи має випадковий характер;

· сформувати поняття абсолютної та відносної похибок;

· розглянути типи похибок, які можуть виникати при вимірюваннях і впливати на результати досліджень;

· познайомитися із способами визначення відносної похибки.

ІІ. Завдання для самопідготовки (домашнє завдання)

1. Вивчити і коротко законспектувати відповіді на питання 1-4.

2. Розглянути приклади розв’язання задач №№ 15-20.

3. Розв’язати задачі №№ 55; 56; 60а); 62; 68а), г).

ІІІ. Питання теми, які підлягають вивченню (СРС)

1. Визначення вірогідної різниці середніх арифметичних значень двох вибірок за критерієм Стьюдента.

2. Прямо виміряні та непрямо виміряні величини. Типи похибок. Абсолютна та відносна похибки.

3. Похибка однократного виміру і табличного результату.

4. Похибка непрямо виміряних величин (ознайомлення з цим питанням на занятті).

IV. Організація та структура практичного заняття

1. Вступ. 2 хв.

2. Обговорення питань 1-4, аналіз задач домашньої
роботи, розв’язування задач. 35 хв.

3. Пояснення викладачем питання 4. 8 хв.

4. Написання контрольної роботи. 23 хв.

5. Самопідготовка по питаннях наступної теми і перевірка
викладачем контрольної роботи 20-22 хв.

6. Підведення підсумків. 2 хв.

V. Література

[1] 5., 5.1., с. 21, 5.3.-5.7., с. 23-32, 6., с. 33-34.

[2] Розділ І, 4., 6., 8., 9.

[3] Гл. 13, 13.3., 13.4., 13.6.

Тема № 1.5.

Елементи кореляційно-регресійного аналізу

І. Конкретні цілі:

· сформувати поняття факторної ознаки;

· розглянути функціональний та кореляційний типи зв’язку;

· навчитися визначати коефіцієнт кореляції та його вірогідність;

· з’ясувати, як виконується регресійний аналіз;

· навчитися пояснювати результати кореляційно-регресійного аналізу.

ІІ. Завдання для самопідготовки (домашнє завдання)

1. Вивчити і коротко законспектувати відповіді на питання 1-4.

2. Розглянути приклади розв’язання задач на с. 35-41 з [1].

3. Розв’язати задачі №№ 70, 76, 78.

ІІІ. Питання теми, які підлягають вивченню (СРС)

1. Поняття про функціональну і кореляційну залежності. Кореляційна пара, кореляційне поле.

2. Оцінка наявності та виду кореляційного зв’язку між двома ознаками, його глибини (сили).

3. Оцінка вірогідності коефіцієнта кореляції.

4. Поняття про регресію. Рівняння регресії.

IV. Організація та структура практичного заняття

1. Вступ. 2 хв.

2. Обговорення питань 1-4, аналіз задач домашньої роботи,
розв’язування задач. 43 хв.

3. Написання контрольної роботи. 30 хв.

4. Пояснення викладача, як оформляти протоколи
та готуватися до лабораторних і семінарських занять. 13 хв.

5. Підведення підсумків. Домашнє завдання. 2 хв.

V. Література

[1] 7., 8., с. 33-41.

[3] Гл. 14, 14.1., 14.2., 14.3.

[6] Раздел І, Гл. 3, § 3.4.

[8] Гл. 19.

Додаток 1

Приклади розв’язання задач

До теми № 1.1.

Приклад 1.

В колоді є 36 гральних карт. Яка ймовірність витягти карту масті бубна (à)?

Розв’язання:

Так як випробування не проводилися, події є рівноможливими і несумісними, то скористаємось класичним способом визначення ймовірності (формула №2 з [1]).

де Р(А) – ймовірність події А,

m – кількість можливих сприятливих (позитивних; тих, що нас цікавлять) проявів події А,

n – загальна кількість усіх можливих подій.

Отже, в нашому випадку, А – подія, яка полягає в тому, щоб витягти карту масті бубна;

m=9 (бо у колоді з 36 карт є 9 бубнових карт: 6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т),

n=36 (всього карт у колоді).

Відповідь: ймовірність витягти карту масті бубна (à) становить 0,25 або 25%.

Приклад 2.

Яка ймовірність того, що при киданні 6-гранного грального кубика зверху опиниться грань із цифрою 4?

Розв’язання:

Так як випробування не проводилися, події є рівноможливими і несумісними, то скористаємось класичним способом визначення ймовірності (формула №2 з [1]).

де Р(А) – ймовірність події А,

m – кількість можливих сприятливих (позитивних; тих, що нас цікавлять) проявів події А,

n – загальна кількість усіх можливих подій.

Отже, m=1 (бо на кубику лише одна грань із номером 4),

n=6 (всього граней на кубику); Р(А) – ймовірність випадання четвірки.

Відповідь: ймовірність того, що при киданні 6-гранного грального кубика зверху опиниться грань з цифрою 4, становить 0,1667 або 16,67%.

Приклад 3.

У 3-Б класі сидить 18 дівчаток та 14 хлопчиків. Вчитель хоче викликати одну дитину до дошки. Знайти ймовірність того, що це буде дівчинка.

Розв’язання:

Так як випробування не проводилось, події є рівноможливі і несумісні, то використовуємо класичний спосіб визначення ймовірності (формула №2 із [1]).

де Р(А) – ймовірність події А,

m – кількість можливих сприятливих (позитивних) проявів події А,

n – загальна кількість усіх можливих випадків (подій).

Отже, m=18 (дівчаток),

n=18+14=32 (учнів у класі); А – виклик до дошки дівчинки.

Відповідь: ймовірність того, що вчитель викличе до дошки дівчинку, становить 0,5625 або 56,25%.

Приклад 4.

У 3-А класі на першому уроці вчителька опитала 9 дівчаток та 11 хлопчиків. Визначити ймовірність виклику дівчинки.

Розв’язання:

Так як випробування проводилось (дітей вже викликали), то використовуємо статистичний спосіб визначення ймовірності (формула №1 із [1]):

де Р(В) – ймовірність події В,

lim – границя,

m – кількість сприятливих (позитивних) проявів події В,

n – загальна кількість проведених випробувань.

Отже, m=9 (дівчаток),

n=9+11=20 (опитаних учнів), В – подія, яка полягає в тому, що до дошки викличуть дівчинку.

Припустимо з певною помилкою, що n→¥, хоча n=20. Тоді:

Відповідь: ймовірність опитати дівчинку дорівнює 0,45 або 45%.

Приклад 5.

Серед 1000 жінок 32 коротко підстрижені, 623 мають середню довжину волосся, а решта – носять довге волосся. Серед 2000 чоловіків довге волосся має 25 осіб, 107 – середню довжину, решта – носить коротку стрижку. Яка ймовірність того, що:

а) перша зустрічна людина буде мати коротку стрижку?

б) перша зустрічна жінка буде мати не коротку стрижку?

Розв’язання:

а) Так як випробування проводилось, то використовуємо статистичний спосіб визначення ймовірності (формула №1 із [1]):

де Р(А) – ймовірність події А,

lim – границя,

m – кількість сприятливих (позитивних) проявів події В,

n – загальна кількість проведених випробувань.

m – кількість коротко стрижених людей. m в дані задачі невідомо. Щоб визначити це число, треба знайти суму коротко стрижених жінок і чоловіків.

Спочатку знайдемо кількість чоловіків із короткою стрижкою:

Х=2000-(25+107)=1868.

Тепер знайдемо суму:

m=1868+32=1900

n=1000+2000=3000 (всього людей).

Припустимо з певною помилкою, що n→¥, хоча n=3000. Тоді:

Відповідь: ймовірність зустріти коротко стрижену людину становить 0,6333 або 63,33%.

б) Так як випробування проводилось, то використовуватимемо статистичний спосіб визначення ймовірності (формула №1 із [1]):

де Р(В) – ймовірність події В,

lim – границя,

m – кількість сприятливих (позитивних) проявів події В,

n – загальна кількість проведених випробувань.

Не коротка стрижка – це довга або середня довжина волосся. Знайдемо, скільки жінок має довге волосся:

Х=1000-(32+623)=345.

Тепер дізнаємось, скільки жінок має середнє і довге волосся:

m=623+345=968

n=1000.

Припустимо з певною помилкою, що n→¥, хоча n=1000. Тоді:

Цю ж задачу можна розв’язати іншим способом. Для цього треба врахувати, що повна ймовірність дорівнює 1. Тоді:

Р(В)=1-Р(С),

де Р(С) – ймовірність коротко стрижених жінок.

Знайдемо Р(С) за статистичним способом, бо випробування проводилось (формула №1 із [1]):

де Р(С) – ймовірність події С,

lim – границя,

m – кількість сприятливих (позитивних) проявів події С,

n – загальна кількість проведених випробувань.

Отже, m=32

n=1000.

Тепер Р(В)=1-Р(С)=1-0,032=0,968.

Відповідь: ймовірність зустріти жінку із не короткою стрижкою становить 0,968 або 96,8%.

До теми № 1.2.

Приклад 6.

Протягом року учень у школі отримував такі оцінки: „1” бал – 0 разів, „2” бали – 0 разів, „3” бали – 2 рази, „4” бали – 5 разів, „5” балів – 8 разів, „6” балів – 14 разів, „7” балів – 23 рази, „8” балів – 30 разів, „9” балів – 25 разів, „10” балів – 12 разів, „11” балів – 7 разів, „12” балів – 4 рази. Встановити закон розподілу оцінок і задати його:

а) у вигляді таблиці;

б) гістограмою;

в) багатокутником.

Розв’язання:

Закон розподілу встановлює відповідність між величиною та її ймовірністю. Щоб знайти ймовірність кожної оцінки, використаємо статистичний спосіб. Всього за рік учень отримав n=130 оцінок. Тоді:

а) Закон розподілу у вигляді таблиці буде мати такий вигляд:

б) Закон розподілу у вигляді гістограми матиме такий вигляд:

в) закон розподілу у вигляді багатокутника матиме такий вигляд:

Приклад 7.

Закон розподілу випадкової величини Х задано наступною таблицею:

Обчислити її математичне очікування, дисперсію і середнє квадратичне відхилення окремих результатів.

Розв’язання:

Математичне очікування обчислюється за формулою №17 із [1]:

Підставимо значення з таблиці у формулу. Тоді:

М(х)=11×0,02+12×0,10+13×0,22+14×0,30+15×0,23+16×0,12+17×0,01=

=0,22+1,2+2,86+4,2+3,45+1,92+0,17=14,02.

Дисперсію обчислимо за формулою №19 із [1]:

Середнє квадратичне відхилення окремих результатів обчислимо за формулою №20 із [1]:

Відповідь: М(х)=14,02; Д=1,5996; s =1,265.

Приклад 8.

У 130 студентів виміряли тривалість нічного сну. Результати виявились такими: 3 години спали 7 студентів, 4 години – 9 студентів, 5 годин – 16 студентів, 6 годин – 28 студентів, 7 годин – 30 студентів, 8 годин – 23 студенти, 9 годин – 12 студентів, 10 годин – 5 студентів.

а) задати закон розподілу у вигляді таблиці.

б) визначити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення тривалості сну.

в) записати значення тривалості сну у вигляді інтервалу t_шукане=М(t)±d з надійною ймовірністю a=0,99.

Розв’язання:

а) Аналогічно прикладу 6 розв’яжемо це завдання. Тоді закон розподілу тривалості сну буде мати такий вигляд:

б) За аналогією з прикладом 7 знайдемо математичне очікування:

Теж по аналогії з прикладом 7 знайдемо дисперсію і середнє квадратичне відхилення окремих результатів:

в) В цьому завданні необхідно знайти найбільш ймовірне значення вимірюваної величини М(х) і похибку d для наперед заданого значення надійної ймовірності a. Потім результат записати у певному вигляді:
Х_шукане= М(х)±d для a=0,999. По даному результату треба зробити висновок.

Розв’язання цього завдання необхідно робити в такій послідовності:

Обробка результатів великої вибірки (n>30).

1)

2)

3)

4)

5) а)

б) по таблиці значень функції Ф(t) з Додатку І, [1], знайти t;

6)

7) Х_шукане= М(х)±d з a.

Такі кроки треба зробити, щоб розв’язати нашу задачу.

Отже, приступаємо. Так як перші три кроки ми виконали у попередньому завданні, то ми лише перепишемо результати:

1)

2) годин²;

3)

4) Визначимо m:

5) розрахуємо значення функції Ф(t), використавши значення a=0,999 (з умови задачі):

а)

б) тепер по таблиці з Додатку І, [1], знайдемо t:

t=3,3;

6) обчислимо значення ширини надійного інтервалу (похибки) d:

7) запишемо результат у вигляді надійного інтервалу:

t_шукане= М(t)±d з a;

t_шукане=(6,6±0,5) годин з a=0,999.

Тепер запишемо результат у вигляді висновку-відповіді:

Тривалість сну студентів становить (6,6±0,5) годин. Даний результат достовірний з ймовірністю a=0,999 або 99,9%.

Примітка. Зверніть увагу, що значення величин d в п.6 можна шукати по будь-якій з трьох формул. Це означає, що при розв’язанні задач, подібних до прикладу 8 в), не обов’язково потрібно виконувати усі 7 кроків. В умові задачі одразу може бути дано s або m.

Приклад 9.

При дослідженні об’єму води, яку доросла людина вживає за добу (в будь-якому вигляді), отримали такі результати: найбільш ймовірне значення об’єму води дорівнює 1,8 л, дисперсія – 1,45 л². У дослідженні прийняли участь 144 особи. Записати кінцевий результат у вигляді надійного інтервалу з ймовірністю a=0,95.

Розв’язання:

Так як n>30, це велика вибірка, то розв’язання виконуємо по аналогії із прикладом 8 в):

1) де V – об’єм води;

2)

3)

4)

5) а)

б) t=2,0;

6)

7) V_шукане= М(х)±d з a;

V_шукане= (1,8±0,2) л з a=0,95.

Отже, висновок-відповідь:

Об’єм води (в будь-якому вигляді), який доросла людина вживає за добу, становить V_шукане= (1,8±0,2) л. Даний результат достовірний з ймовірністю 0,95 або 95%.

Іншими словами: 95% дорослих людей за добу вживають (в будь-якому вигляді) (1,8±0,2) л води.

Приклад 10.

У здорових людей виміряли кількість вдихів за хвилину: 15 вдихів/хв. у 10 чоловік, 20 вдихів/хв. – у 20 чоловік, 25 вдихів/хв. – у 10 чоловік. Записати досліджувану величину у вигляді інтервалу з ймовірністю a=0,999.

Розв’язання:

Так як n=40, то це велика вибірка (n>30). Тому задачу будемо робити так, як у прикладові 8в. Для зручності розмістимо дані у таблицю, яка має сім колонок. В першій колонці запишемо значення результатів вимірів, а у другій – скільки раз вони зустрічаються.

Вийде ось така таблиця:

Приступаємо до розв’язання.

1) Математичне очікування знаходимо за формулою:

Для цього використаємо таблицю. У колонці №3 запишемо ймовірність кожного виміру (Р_і), а у колонці №4 – добуток величини на її ймовірність К_і × Р_і. Вийде ось така таблиця:

Знайдемо суму чисел у колонці №4 і запишемо її внизу під таблицею. Ця сума і є математичне очікування: М(К) = 20 вдихів/хв.

2) Дисперсію шукатимемо за формулою:

Щоб знайти дисперсію, використаємо решту пустих колонок. У колонці №5 запишемо результати віднімання математичного очікування від окремих результатів, у колонці №6 – квадрат цієї різниці, у колонці №7 – добуток квадрату різниці на ймовірність. Знайдемо суму чисел у колонці №7 і запишемо її внизу під таблицею.

Тоді наша таблиця матиме такий вигляд:

Д = 12,5 (вдихів/хв.)².

Далі розв’язання задачі проводимо по відомій нам схемі.

3) ;

4) ;

5) а) ;

б) t=3,3;

6)

7) К_шукане= М(К)±d з a;

К_шукане= (20±2) вдихів/хв. з a=0,999.

Запишемо висновок-відповідь:

99,9% здорових людей робить за 1 хв. (20±2) вдихів.

До теми № 1.3.

Приклад 11.

У місті за добу народились немовлята такої маси: 2,8 кг, 3,4 кг, 3,2 кг,
3,1 кг, 2,9 кг, 3,3 кг, 3,0 кг.

Обчисліть вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, вибіркове середнє квадратичне відхилення окремих результатів (вибіркове стандартне відхилення).

Розв’язання:

Обчислимо вибіркове середнє (середнє арифметичне) за такою формулою:

.

Визначимо дисперсію за формулою № 19а із [1]:

Приклад 12.

У 9 хворих на пневмонію виміряли кількість вдихів за 1 хвилину. Отримали такі результати: 26, 30, 27, 33, 29, 31, 32, 34, 28.

Записати результат у вигляді надійного інтервалу з ймовірністю a=0,95.

Розв’язання:

В цьому завданні вимагається знайти найбільш ймовірне значення вимірювальної величини і похибку d_Х для наперед заданого значення надійної ймовірності a. Потім результат записати у певному вигляді:

для a=0,95. По даному запису треба зробити певний висновок (це завдання подібне до прикладу 8в).

Розв’язання цієї задачі необхідно робити в такій послідовності:

Обробка результатів малої вибірки (n £ 30)

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) t_st – шукають по таблиці коефіцієнтів Стьюдента із додатку ІІ [1], маючи n та a;

6) або або ;

7) з a.

Такі кроки треба зробити, щоб розв’язати нашу задачу. Отже, приступаємо. Перші три пункти знайдемо по аналогії із прикладом 10:

Нехай N – кількість вдихів. Тоді:

1)

2)

3) ;

4) ;

5) (по таблиці, Додаток ІІ, [1]);

6)

7) з a

з a=0,95.

Тепер запишемо результат у вигляді висновку-відповіді:

У хворих на пневмонію кількість вдихів за 1 хвилину становить . Даний результат достовірний з ймовірністю a=0,95 або 95%.

Іншими словами: у 95% хворих на пневмонію кількість вдихів за 1 хвилину становить .

Примітка: Зверніть увагу, що d_Х в п. 6 можна шукати по одній із трьох формул. Це означає, що при розв’язку задач, подібних до прикладу 11, не обов’язвоко потрібно виконувати усі 7 кроків. В умові задачі одразу може бути дано або .

Приклад 13.

Записати значення довжини новонароджених у вигляді надійного інтервалу, якщо , Д_в = 36 см, n = 25, a = 0,99.

Розв’язання:

Так як n £ 30, це мала вибірка, то розв’язання виконуємо по аналогії із прикладом 11.

1)

2) Д_в = 36 см²;

3)

4)

5)

6)

7) з a;

з a=0,99.

Тепер запишемо висновок-відповідь:

Довжина новонароджених дітей становить (50±3,4) см. Даний результат достовірний з ймовірністю 0,99 або 99%.

Іншими словами: У 99% новонароджених дітей довжина тіла становить (50±3,4) см.

Приклад №14.

У 4 здорових студентів виміряли частоту скорочень серця за 1 хв. Отримали такі результати: 70 скор./хв., 64 скор./хв., 66 скор./хв., 68 скор./хв. Записати результат у вигляді інтервалу з ймовірністю a = 0,99.

Розв’язання:

Так як n=4, то це мала вибірка (n £ 30). Тому задачу будемо робити, як у прикладі №11. Для зручності розмістимо дані у таблицю, яка містить 4 колонки. У першій запишемо номери по порядку, у другій – значення результатів вимірів. Вийде ось така таблиця:

Приступаємо до розв’язання.

1. Середнє арифметичне знайдемо за формулою:

Запишемо його внизу під колонкою №2.

2.

Щоб знайти вибіркову дисперсію, використаємо дві пустих колонки нашої таблиці. У колонці №3 запишемо результати віднімання середнього арифметичного від окремих результатів, у колонці №4 – квадрат цієї різниці. Вийде ось така таблиця:

n	ni, скор./хв.
		-3
		-1
			S = 20

Знайдемо суму чисел у колонці №4 і запишемо її внизу під таблицею. Ця сума є чисельником дробу, з якого ми отримаємо шукану дисперсію:

Подальше розв’язання задачі проводимо по відомій нам схемі.

3.

4.

5.

6.

7. з a;

з a=0,99.

Запишемо висновок-відповідь:

У 99% фізично здорових студентів частота скорочень серця становить (67±8) скор./хв.

До теми № 1.4.

Приклад 15.

Досліджували зріст допризовників 10-А та 10-Б класу однієї школи. Результати учнів 10-А класу були такими: 175 см, 171 см, 174 см, 173 см,
172 см. Результати учнів 10-Б класу були такими: 171 см, 166 см, 172 см,
168 см, 173 см. Дослідити, чи існує різниця між цими двома вибірками.

Розв’язання:

Задачі такого типу розповсюджені в експериментальній роботі. В них потрібно перевірити, чи існує різниця між двома вибірками. Якщо так, тоді роб-лять висновок про те, що певний фактор (причина) вплинув на появу цієї різниці.

Для розв’язку нашої задачі використаємо алгоритм, описаний у [1] на сторінках 33-34. Для зручності результати вимірів запишемо у вигляді таблиці такого виду:

N	10-A клас	10-Б клас
h1i, см			h2i, см

Тепер приступаємо до розрахунків.

1. Знайдемо середнє арифметичне значення обох вибірок, впишемо внизу таблиці:

, .

2. Визначимо вибіркові дисперсії. Для цього використаємо допоміжні колонки в таблиці.

n	10-A клас	10-Б клас
h1i, см			h2i, см
		-2			-4
					-2
		-1
			S = 10			S = 34

, .

3. Розрахуємо середні квадратичні відхилення окремих результатів:

4. Визначимо модуль різниці між середніми арифметичними вибірок:

.

5. Знайдемо критерії вірогідності (при n₁ = n₂):

6. Розрахуємо число ступенів свободи:

n = n₁ + n₂ – 2 = 5 + 5 – 2 = 8.

7. Знайдемо за Додатком V із [1] коефіцієнт Стьюдента t_st при n = 8:

t_95% = 2,306; t_99% = 3,355; t_99,9% = 5,041.

8. Порівняємо t_d та t_st і зробимо висновок:

Так як t_d (2,02) < t_95% (2,306), то хоча різниця між цими двома вибірками є (d = 3 ¹ 0), але достовірність цієї різниці Р<95% - для медицини не підходить. Тому робимо висновок, що зріст допризовників одного віку, що проживають у, приблизно, одній місцевості і навчаються у одній школі, суттєво не відрізняється з точки зору медицини.

Приклад 16.

Дослідили ударний серцевий об’єм крові людей в стані спокою і під наркозом. В стані спокою , під наркозом , середні квадратичні відхилення окремих результатів відповідно дорівнюють: S₁ = 5 мл,
S₂ = 4 мл. Визначити, чи існує різниця між цими двома вибірками, якщо
n₁ = n₂ = 11.

Розв’язання:

1. S₁ = 5 мл, S₂ = 4 мл.

2. .

3.

4. n = n₁ + n₂ – 2 = 11 + 11 – 2 = 20.

5. t_95% = 2,086; t_99% = 2,845; t_99,9% = 3,850.

6. Так як t_99% < t_d < t_99,9%, то можна стверджувати, що різниця між двома вибірками є і вона достовірна з ймовірністю 99% < Р < 99,9%. Це означає, що наркоз впливає на ударний серцевий об’єм крові та з ймовірністю
99% < Р < 99,9% зменшує його.

Приклад 17.

Для з’ясування ефективності використання нових вітамінів росту досліджували дві групи дітей. Кількість дітей у першій групі n₁=14, в другій (контрольній) – n₂=12. Першій групі дітей до їжі додавали вітаміни росту. Через деякій час виміряли масу тіла дітей першої та другої групи. Отримали такі результати: = 8 кг; S₁=0,34 кг; =7,7 кг; S₂=0,44 кг. Оцінити вірогідність різниці між двома вибірками і зробити висновок.

Розв’язання:

В нашому випадку треба встановити, чи вплинули вітаміни на ріст дітей. Задачі такого типу розв’язують по схемі, описаній в [1] на сторінках 33-34. Отже:

1) S₁=0,34 кг; S₂=0,44 кг;

2) ;

3) Так як n₁ ¹ n₂, то:

4) n = n₁ + n₂ – 2 = 14 + 12 – 2 = 24;

5) Знайдемо коефіцієнт t_st за Додатком 5 на сторінці 47 із [1].

t_95% = 2,064; t_99% = 2,797; t_99,9% = 3,745.

6) так як t_d > t_99%, то різниця між двома вибірками вірогідна з ймовірністю Р>99,9%. Це означає, що нові вітаміни з ймовірністю >99,9% прискорюють зростання маси тіла дітей порівняно зі звичайним режимом харчування без вітамінів. Тобто можна зробити інший висновок: дані вітаміни ефективні і їх можна рекомендувати для застосування (якщо немає протипоказань).

Приклад 18.

Середнє арифметичне значення атмосферного тиску становить , абсолютна похибка d_Р = 3,5 кПа. Визначити відносну похибку зроблених вимірів.

Розв’язання:

Відносну похибку шукаємо за формулою:

де Е_Х – відносна похибка, d_Х – абсолютна похибка, - середнє арифметичне результатів вимірів.

В нашому випадку:

Відповідь: Е_Р = 0,034 або Е_Р = 3,4%.

Приклад 19.

В’язкість води при різних температурах знаходять по таблиці в довіднику. При t = 17°С вона становить h = 0,00108 Н×с/м². Знайти абсолютну та відносну похибку цієї табличної величини.

Розв’язання:

Абсолютна похибка табличної величини дорівнює половині одиниці розряду останньої значущої цифри. Наприклад, якщо якась величина
Х = 13,270, то остання значуща цифра у неї 7. Це розряд сотих. Одиниця з цього розряду – це одна сота (0,01). Щоб взяти половину цієї одиниці розділимо її навпіл:

Х = 13,270

В нашому випадку:

h = 0,00108 Н×с/м²

Тепер

Відповідь: d_h = 0,000005 Н×с/м²; Е_h = 0,0046 або 0,46%.

Приклад 20.

Довжину дитини поміряли метром з ціною поділки 0,5 см. Результат виявився h = 52 см. Визначити абсолютну і відносну похибку цього вимірювання.

Розв’язання:

Абсолютну похибку однократного виміру шукаємо за формулою 43 з [1]:

Відповідь: d_h = 0,25 см; Е_h = 0,0048 або 0,48%.

Додаток 2

Завдання для самостійної роботи

До теми № 1.1.

№1. У хірургічному відділенні міської лікарні зранку у всіх пацієнтів було виміряно температуру (у 10 з них температура була в межах норми, у 19 – вище норми). Після цього у кожного було взято аналіз крові. Яка ймовірність того, що перший пацієнт, у якого взяли аналіз крові, мав температуру в межах норми?

№2. На окремих картках записали по одній букві слова “стоматолог” (“c”, “т”, “о”, “м”…). Картки перевернули та змішали. Яка ймовірність витягнути картку з буквою “о”?

№3. В електронному каталозі наукової літератури було переглянуто 86 назв дисертацій, пов’язаних з медичними науками. 43 роботи відносилися до клінічної медицини, 5 – до профілактичної медицини, решта – до теоретичної медицини. Знайти ймовірність того, що дисертація, яку захочуть переглянути серед цих робіт, виявиться з:

а) клінічн