Жидкость как частный случай сплошной среды

В предыдущих параграфах были введены определения и сформулированы утверждения, относящиеся к любой сплошной среде, будь то вода, нефть, нефтепродукты, мед, смола или, вообще, твердое тело. Главное состояло в том, что такие среды рассматриваются как континуумы, непрерывным (т.е. сплошным) образом заполняющие определенную часть пространства. В дальнейшем будем рассматривать только жидкости, которые представляют собой частный случай сплошной среды. Твердые деформируемые тела рассматривают в других специальных курсах механики, например, курсах теории упругости, теории пластичности, сопротивлении материалов и т.д.

Определение жидкости. В повседневной практике, в которой часто встречаются жидкости, их свойства хорошо известны. Капельная жидкость (или просто жидкость) – это такая среда, которая растекается по плоскости под действием силы тяжести, среда, которая принимает форму сосуда, в который она налита, среда, в которой даже самые малые сдвигающие усилия вызывают начало течения. Однако такая характеристика жидкости оказывается недостаточной для количественного описания закономерностей ее движения, поэтому дадим математическое определение жидкости, используя для этой цели понятия, введенные в предыдущей главе. Определение жидкости впервые было дано выдающимся немецким ученным Людвигом Прандтлем (1875-1953).

Жидкостью называют сплошную среду, которая в состоянии покоя (т.е. при ) удовлетворяет двум условиям:

· вектор напряжения на любой площадке с нормалью перпендикулярен этой площадке;

· вектор напряжения направлен в противоположную сторону по отношению к единичному вектору , т.е. , где модуль (длина) вектора , рис. 1.12

Рис. 1.12. Вектор напряжения в покоящейся жидкости

Физический смысл определения Прандтля вполне понятен: первая часть определения говорит, что жидкость – это такая сплошная среда, в которой в состоянии покоя касательные напряжения отсутствуют. Это означает, что даже самые малые касательные усилия вызывают течение жидкости (именно поэтому жидкость принимает форму того сосуда, в который она налита). Вторая часть определения конкретизирует направление этих напряжений – они должны быть сжимающими. Если вспомнить, что направление вектора указывает на частицы сплошной среды, разделенные площадкой , внешние по отношению к выделенному объему, то вторая часть определения говорит, что жидкость – это такая сплошная среда, в которой возможны только сжимающие напряжения.

Заметим, что, с одной стороны, под определение жидкости попадают и различные газы (в т.ч. природный газ), хотя физические свойства газов отличаются от свойств капельных жидкостей. С другой стороны, такие среды, как мед, весьма вязкие нефти и смолы, жидкие полимеры и многие другие материалы могут не являться жидкостями в строгом определении этого понятия, поскольку в состоянии покоя в них могут существовать касательные напряжения. Такие среды могут сохранять форму, отличную от формы сосуда, в который они налиты.

Давление в жидкости

Из определения жидкости вытекают важные следствия, одним из которых является факт существования в покоящейся жидкости давления. Оказывается, что в состоянии покоя величина (модуль) всех векторов напряжения в каждой точке жидкости одинаков вне зависимости от того, как направлен вектор , т.е. от ориентации площадки . Эту общую величину модулей векторов напряжений называют давлением в точке: .

Рассмотрим покоящуюся жидкость. Из определения жидкости следует, что вектор напряжения на произвольной площадке с нормалью перпендикулярен этой площадке:

(1.32)

Согласно доказанной теореме о представлении вектора напряжения на произвольной площадке через векторы напряжения на трех базисных площадках, перпендикулярных осям координат, см. формулу (1.23), можно написать:

,

где векторы и векторы напряжения на указанных площадках. Поскольку и для этих векторов справедливо утверждение, что каждый из них перпендикулярен своей площадке ( , , и ), то имеют место соотношения

.

Следовательно, справедлива запись:

(1.33)

Сравнивая между собой выражения (1.32) и (1.33), получаем:

. (1.34)

Поскольку оси координат в каждой точке жидкости могут быть выбраны произвольно, то эти равенства означают, что нормальные напряжения на площадке, разделяющей частицы покоящейся жидкости, не зависят от ориентации площадки в пространстве. Следовательно, для всех векторов . Величина , как было сказано, называется давлением в точке, причем в общем случае .

В покоящейся жидкости вектор напряжения представляется матричным равенством

(1.35)

Сила давления жидкости на произвольную часть поверхности тела, погруженного в жидкость, есть векторная величина, определяемая, согласно (1.21), поверхностным интегралом

(1.36)

Правила и приемы расчета сил давления, действующих на плоские и криволинейные поверхности тел, погруженных в покоящуюся жидкость, будут даны ниже.

Размерность и единицы измерения давления.Поскольку давление является модулем вектора напряжения, то размерность давления совпадает с размерностью напряжений вообще:

.

Однако в качестве единиц измерения используются несколько масштабов. В технической системе единиц измерения, которая до сих пор используется в нефтегазовом деле, единицей измерения силы служит 1 кГс (один килограмм силы), т.е. сила, с которой 1 кг массы притягивается к Земле. Согласно закону Ньютона:

кГс = = 1 м/с² = 9,81 .

В качестве единицы измерения давления в технической системе используется 1 атмосфера:

1 атм. = .

В метрической системе единиц измерения СИ в качестве масштаба силы берется 1 «Ньютон» (1 Н). Один «Ньютон» - это сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с², т.е.

Н = 1 = 1 ,

следовательно, 1 Н в 9,81 раз меньше, чем 1 кГс: 1 кГс = 9,81 Н.

В качестве единицы измерения давления в системе СИ используется 1 Па (Паскаль). Один «Паскаль» - это такое давление, которое создает сила в 1 Н, действующая на площадь 1 м²:

1 Па = . (1.36)

Поскольку 1 кГс = 9,81 Н, а , то

1 атм. = .

Итак:

1 атм. = . (1.37)

В ряде случаев используют «Кило Паскали» (КПа) и «Мега Паскали» (МПа):

1 КПа = 1000 Па, 1 КПа = атм.;

1 МПа = 1 000 000 Па, 1 МПа атм.

Пример 1. Давление в некотором сечении трубопровода составляет 12 атм. Выразить это давление в Паскалях.

Решение. Это давление равно Па =1177200 Па или МПа.

Пример 2. Давление в некотором сечении трубопровода составляет 5,5 МПа. Выразить это давление в технических атмосферах.

Решение. Это давление составляет атм.

В некоторых странах используют другие единицы измерения для давления. Например, в США используют «psi» - фунты (0,454 кГс) на квадратный дюйм (2,54 см):

,

.

Например, если давление в линии нагнетания нефтеперекачивающей станции (ПС) составляет 60 атм. ( МПа), то в США более понятно давление, выраженное как .

В качестве единицы измерения давления используют также «бар», весьма близкий по величине к 1 технической атмосфере: