Течение вязкой ньютоновской жидкости.

Уравнения Навье-Стокса

В гидромеханике широко применяется модель вязкой жидкости, называемой «ньютоновской». Некоторые сведения об этой модели уже приводились в гл. 2. В общем виде реологические соотношения, определяющие эту модель, имеют вид:

(5.11)

Формулы (5.11) получены для несжимаемой вязкой жидкости. В случае сжимаемой жидкости (вязкого газа) они имеют несколько другой вид, в котором присутствует еще один коэффициент, называемый второй вязкостью и связанный со сжимаемостью среды. Подробное объяснение и вывод формул (5.11) можно найти во многих учебниках по гидромеханике, например, в фундаментальной монографии Л. Г. Лойцянского [«Механика жидкости и газа»].

В частном случае чисто сдвигового течения, происходящего параллельно плоскости в направлении оси , вектор скорости имеет только одну отличную от нуля компоненту , зависящую от координаты : , поэтому формулы (5.11) дают:

Отсюда видно, что отлична от нуля только одна компонента касательных напряжений , для которой получается выражение, совпадающее с соответствующей формулой гл. 3.

Подставляя выражения для напряжений (5.11) в уравнения движения (5.8), получаем уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости:

(5.12)

Эти уравнения представляют систему дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Вместе с уравнением неразрывности (5.4), они образуют замкнутую систему уравнений для описания движения вязкой несжимаемой жидкости.

РАЗМЕРНОСТЬ ВЕЛИЧИН И ПОДОБИЕ ЯВЛЕНИЙ

Для понимания законов гидравлики необходимо остановиться на одном общем вопросе, который можно было бы сформулировать так: в какой мере результаты экспериментов, осуществляемые на лабораторных стндах, могут быть использованы для расчета течений жидкости в машинах и аппаратах реальных промышленных установок. Чтобы иметь ответ на этот вопрос, изложим основы теории, получившей название «Теория размерностей, подобия и моделирования явлений».

Размерные и безразмерные величины

Количественное описание различных физических явлений связано с измерением характеристик этих явлений числами. В свою очередь, введение таких чисел зависит от выбора единиц измерения. Например, длина линейки может выражаться числами 2,20, 200, 2000 и т. д. в зависимости от того, что взято за единицу измерения: метр, дециметр, сантиметр, миллиметр и т. д. То же самое можно сказать и о многих других величинах.

Определения. Величины, численное значение которых зависит от выбора единиц измерения, называются размерными величинами. Величины, численное значение которых не зависит от выбора единиц измерения, называются безразмерными величинами.Численное значение безразмерной величины не меняются при изменении масштабов единиц измерения в произвольное число раз. Например, отношение длины прямоугольника к его ширине есть безразмерная величина. Какие бы единицы не выбирались для измерения линейных размеров прямоугольника, отношение его длины к ширине остается постоянной величиной. Говорят, что безразмерные величины инвариантны по отношению к выбору единиц измерения. Другим примером безразмерной величины может служить уже встречавшееся число Рейнольдса:

.

В каких бы системах единиц измерений не вычислялись скорость , диаметр трубы , кинематическая вязкость , численное значение комбинации не меняется.

Следует отметить, что выбор системы единиц измерения зависит от исследователя, описывая одно и то же явление, могут иметь дело с совершенно различными числами для одних и тех же характеристик.

Первичные (основные) и вторичные (производные)

Единицы измерения

Единицы измерения, вводимые опытным путем с помощью произвольных условий или соглашений, называются основными. Так, например, вводятся единицы измерения для длины, времени и массы.

Для других величин, которые вводятся посредством определений через первичные, единицы измерения определяются через основные. Например, скорость, ускорение, сила и т.д. являются производными величинами и их единицы измерения определяются введением основных единиц измерения – массы, длины, времени и т.д.

Формула размерности.

Выражение производной единицы измерения через основные единицы измерения называется размерностью.Размерность записывается в виде формул. Так, например, в системе СИ для механических величин используются три символа: длины - , времени - , массы - . Тогда размерность многих уже известных величин записывается в виде формул:

скорость

ускорение

сила

объемный расход

весовой расход

плотность

удельный вес

давление

динамическая вязкость

кинематическая вязкость .

Из этих частных примеров видно, что во всех случаях формула размерности имеет вид степенного одночлена. В системе СИ она имеет вид:

. (6.1)

Если число основных единиц измерения больше, чем 3, например, когда в той же системе СИ используются другие физические величины: ампер, градус Кельвина, свеча и т.д.; размерность произвольной физической величины А выражается формулой:

(6.2)

Здесь символами обозначены размерности основных величин систем.

Оказывается, что формула (6.2) представляет собой формулу размерности в самом общем случае.

Если изменить масштаб единицы измерения для в раз, для - в раз,….., для - в раз, то величина должна измениться в раз, т.е. ее новое значение должно равняться

.

Это позволяет легко устанавливать переходные масштабные множители для вторичных единиц измерения при изменении первичных единиц измерения.