Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке

 

Рассмотрим основные закономерности истечения жидкости из сосуда через малое отверстие в его стенке, которую будем считать тонкой. Предположим также, что площадь отверстия много меньше площади свободной поверхности жидкости в сосуде, вследствие чего скоростью опускания этой поверхности можно пренебречь, а само истечение считать установившимся.

Воспользуемся уравнением Бернулли, применив его к жидкости, расположенной между сечениями 1 - 1 и 2 – 2, рис. 10.1. Первое из них совпадает со свободной поверхностью жидкости, второе выбрано в том месте вытекающей струи, где она становится цилиндрической. Подчеркнем, что в цилиндрической части струи скорости жидкости считаются равными друг другу, а давление вдоль сечения остается постоянным, равным его значению на поверхности струи. Имеем:

 

(10.1)

 

Здесь давление на свободной поверхности жидкости в сосуде; давление в той среде, в которую происходит истечение.

Скорость жидкости на свободной поверхности, в силу сделанного предположения, пренебрежимо мала: ; скорость истечения в дальнейшем будем обозначать просто .

Потери напора связаны с диссипацией механической энергии за счет сил внутреннего вязкого трения во всем объеме жидкости в сосуде, а также с дополнительными местными потерями, возникающими в самом отверстии. Если пренебречь первыми из них, так как скорости жидкости в сосуде невелики, то можно записать в следующем виде:

 

(10.2)

 

где — коэффициент местного сопротивления отверстия, тогда

 

(10.3)

 

Введем в рассмотрение параметр , называемый коэффициентом скорости и определяемый равенством

 

, (10.4)

 

тогда равенство (10.3) можно переписать в следующем виде:

 

(10.5)

 

Формула служит для вычисления скорости истечения жидкости через малое отверстие при постоянном напоре. Коэффициент скорости , входящий в эту формулу, зависит от числа Рейнольдса, которое в данном случае можно определить формулой

 

 

в которой диаметр отверстия; кинематическая вязкость жидкости; напор в середине отверстия; характерная скорость. Однако эксперименты показывают, что при больших эта зависимость практически исчезает, и значение коэффициента становится постоянным, близким к единице:

 

;

 

В то же время для малых значений зависимость от необходимо учитывать.

Если , т.е. давление на свободной поверхности жидкости и давление в среде, в которую эта жидкость вытекает, равны друг другу, то формула (10.5) упрощается и приобретает вид:

 

. (10.6)

 

Если , то из (10.6) получается известная формула Торричелли:

 

, (10.7)

 

которая утверждает, что в рамках сделанных предположений скорость истечения жидкости из малого отверстия в сосуде равна скорости свободного падения материальной точки в пустоте с высоты .

Вычислим расход жидкости. Поскольку скорости частиц в цилиндрической части струи одинаковы, то расход жидкости рассчитывается по следующей формуле:

 

(10.8)

 

Если обозначить через коэффициент сжатия струи, то площадь сжатого сечения струи жидкости и площадь отверстия связаны: соотношением . Поэтому формула (10.8) может быть записана по-другому:

 

.

 

Произведение называют коэффициентом расхода и обозначают буквой :

 

 

Окончательно формула для расхода жидкости через малое отверстие принимает вид:

 

(10.9)

 

В общем случае коэффициент расхода, так же как и коэффициент скорости, зависит от режима истечения, определяемого числом Рейнольдса . При больших числах коэффициент расхода изменяется незначительно. Так, например, для воды, нефтепродуктов, газового конденсата, многих нефтей и других и не слишком вязких жидкостей . Для вычисления коэффициента расхода при проф. А.Д. Альтшуль предложил эмпирическую формулу

 

. (10.10)

 

Установившееся истечение жидкости через

Большие отверстия

 

Малое отверстие характеризуется тем, что его размеры незначительны по сравнению с величиной напора над его геометрическим центром. Поэтому считают, что напор имеет постоянное значение для всех точек отверстия. Для большого отверстия, т. е. отверстия, размеры которого сравнимы с величиной напора в его центре, такое предположение не верно. Рассмотрим, например, истечение жидкости из большого отверстия в боковой стенке сосуда (рис. 10.3). В верхней точке такого отверстия, где напор жидкости меньше, скорость истечения меньше, чем в нижней точке отверстия, где напор жидкости больше.

 

 

Рис. 10.3. Истечение жидкости через большое отверстие

 

При вычислении напора жидкости для большого отверстия применяют следующий приближенный прием. Считают, что каждый элемент такого отверстия представляет собой малое отверстие, характеризуемое одним и тем же коэффициентом расхода и скоростью истечения, соответствующей напору в центре этого малого отверстия. Таким образом, принимается, что расход жидкости через элемент отверстия определяется формулой (10.9), полученной для малого отверстия:

 

,

 

а полный расход - интегралом от этого выражения, вычисленным по площади всего отверстия:

 

. (10.11)

 

Пример 1. Истечение жидкости в атмосферу происходит через прямоугольное отверстие шириной и высотой , расположенное на боковой стенке сосуда. Уровень свободной поверхности жидкости над верхней кромкой отвертстия равен (рис. 10.4а). Требуется вычислить расход жидкости через это отверстие.

(переделать рис. 10.4б; глубина центра круга!!!)

 

а. б.

 

Рис. 10.4. Истечение жидкости через большие отверстия:

а) прямоугольное; б) круглое

 

Вычисление. В этом случае , так что , . На основании формулы (10.11) имеем:

 

 

или

, (10.12)

 

где .

 

Пример 2. Истечение жидкости в атмосферу через круглое отверстие радиуса в боковой стенке сосуда. Уровень свободной поверхности жидкости над центром отвертстия равен (рис. 10.4б). Требуется вычислить расход жидкости через это отверстие.

Вычисление. В этом случае , так что . Кроме того, , где длина хорды круглого отверстия, находящаяся на глубине под свободной поверхностью. На основании формулы (10.11) имеем:

 

.

 

Сделав замену переменной интегрирования согласно формулам

 

, ,)

 

где переменный угол ( ), отсчитываемый от положительного направления вертикальной оси по часовой стрелке, так что рассаматриваемая хорда видна из центра круга под углом , получим:

 

(10.13)

 

Значения интеграла , стоящего в круглых скобках, зависит от отношения радиуса отверстия к глубине нахождениия его центра под свободной поверхностью жидкости. Однако в интервале значений этого отношения, интеграл мало отличаются от единицы: при ; при ; при . Иными словами, относительная погрешность результатов, получаемых по формуле (10.13) от результатов, получаемых по формуле (10.8) для малого отверстия, составляет не более 4%.

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...