Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Теоретический минимум

1. Определение производной функции в точке.

2. Геометрический смысл производной.

3. Механический смысл производной.

4. Правила дифференцирования: производная алгебраической суммы, произведения и частного.

5. Производная параметрически заданной функции.

6. Производная сложной функции.

7. Производные основных элементарных функций.

8. Уравнение касательной к графику функции.

9. Уравнение нормали к графику функции.

10. Правило Лопиталя.

Задания

1. Вычислить производную функции , где функции ji(x) и yj(x) находятся из таблиц:

i
ji(x) sin x cos x tg x ctg x arc sin x arc cos x arc tg x arc ctg x

 

j
yj(x) аx k a x log a x аln x

 

а значения параметров а, k, m, n и индексов i и j определяются в соответствии с вариантом работы:

 

a k m n i j a k m n i j

 

2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y (x) = при x = n, где значения r, m, n определяются в соответствии с вариантом работы:

 

r m n r m n r m n
– 3 – 1
– 2
– 1 – 3 – 3
– 4 – 2 – 5
– 5 – 1 – 6 – 3
– 6 – 5 – 7 – 2
– 7 – 3 – 6 – 9 – 1
– 9 – 2 – 7
– 1 – 9 – 3
– 2 – 4

 

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = y(x), заданной параметрически: в точке М(х(t0); y(t0)), где x(t), y(t) и t0 определяются в соответствии с вариантом работы:

 

x(t) y(t) t0
4×sin 3t 4×cos 3t p/3
×cos t sin t p/3
5×(t – sin t) 5×(1– cos t) p/3
2t t 2 3t t 3
cos t + sin t sin 2t p/4
arc sin arc cos – 1
(t×cos t – 2×sin t) (t×sin t + 2×cos t) p/4
1 + 2×ln ctg t tg t + ctg t p/4
3t×cos t 3t×sin t p/2
sin2t cos2t p/6
arc cos arc sin
6×sin4t 6×cos4t p/6
3(t×sin t + cos t) 3(sin t t×cos t) p/4
– 1
1 – t 2 1 – t 3
ln(1 + t 2) t – arc tg t
t t×sin t t×cos t
3×cos t 4×sin t p/4
t t 4 t 2t 3
t 3 + 1 t 2+ t + 1
2cos t sin t p/3
2tg t 2sin2t + 2sin 2t p/4
t 3 + 1 t 2 – 2
sin t e t
sin t cos 2t p/6

 

4. Применяя правило Лопиталя, найти , если:

j(x) y(x) a
x – arc tg x x 3
p – 2arc tg x ln
x – sin x x – tg x
p – 2arc tg x ln
p – 2arc sin x sin 3(x – 1)
e x – e x sin x × cos x
1 – sin(px/2) ln x
sin(px/2) ln (1 – x)
x ln xx + 1 (x – 1)×ln x
a 2x 2 ctg a
– 1 cos x – 1
ln(sin 2x) ln(sin x)
x×cos xx×sin x x×sin x
– 1
a xb x
1 – cos 2x cos 7x – cos 3x
ln x 1 + 2ln(sin x) +0
e 3x – 3x – 1 sin2 5x
cos x × ln(x – 3) ln (e x – e 3) 3 + 0
tg(px/2) ln(1 – x) 1 – 0
e x – e x – 2x x – sin x
e 2x – 1 arc sin x
e x – 1 – x x×(e x – 1)
(x – 2p)2 tg(cos x – 1) 2p
cos x p/2
1– sin x (p/2 – x)2 p/2
tg xx sin xx
1 – sin x
ln x x a ¥
ln(1 + x 2) ln(p/2 – arc tg x) ¥

 

Справочный материал

к 8-й лабораторной работе

1. Производная функцииу = у(х) по переменной х в точке х0 – конечный двусторонний предел отношения изменения значения функции у = у(х) к соответствующему бесконечно малому изменению значения аргумента х этой функции в окрестности точки х = х0: у¢ (х0) = = = = . Значение производной у¢ (х0) равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции у = у(х) при х = х0 относительно положительного направления координатной оси х. Если s(t) – зависимость перемещения материальной точки от времени, то (t) = = v(t) – мгновенная скорость этой материальной точки в момент времени t.

2. Дифференцируемость функцииу = у(х): если в каждой точке х интервала (а; b) существует производная у¢(х), то функция у = у(х) называется дифференцируемой на этом интервале.

3. Правила дифференцирования – производная алгебраической суммы: (u ± v)¢ = ± ; (u ± v ± w)¢ = ± ± ; производная произведения: (u×v)¢ =×v + u×; (u×v×w)¢ = ×v×w + u×v¢×w + u×v×w¢ ; производная дроби: (u/ v)¢ = (×vu×)/ v2.

4. Производная параметрически заданной функцииx = x(t), y = y(t): (x) = (t) / (t).

5. Производная сложной функции: если y = u(v(w(x))), то = . Последовательность дифференцирования сложной функции обратна последовательности вычисления значения функции, в частности, на калькуляторе. Например, при вычислении значения функции у = sin2(ln(x3+ )) в точке х алгебраические операции выполняются в следующей последовательности: куб х, квадратный корень из х, сумма куба и квадратного корня, логарифм суммы, синус логарифма, квадрат синуса, следовательно, нахождение производной у¢ (х) сводится к произведению производных, определяемых в последовательности: производная квадрата синуса, производная синуса логарифма, производная логарифма суммы, производная суммы, равная сумме производных куба х и квадратного корня из х, т.е. каждая следующая дифференцируемая функция является аргументом предыдущей.

6. Таблица производных основных элементарных функций

 

Вид функции Формула функции Производная функции
1) Постоянная y = C для всех х Î С¢ = 0
2) Линейная y = х, хÎ y = ах ± b, хÎ х¢ =1R (ах ± b)¢ = а
3) Степенная y = х а, х > 0, а Î y = х – а, х > 0, а Î y= 1/х, х ¹0 , х > 0 , х > 0, n Î \ {1} (х а )¢ = аха – 1R (х– а )¢ = –ах – а –1 (1/х)¢ = –1/x2 ( )¢ = 1/( ) ( )¢ = 1/( )
4) Показательная y = а х, а > 0, а ¹1, х Î y х, х Î y – х, х Î (а х )¢ = а х×ln аR х )¢ х– х)¢ = – е– х
5) Показательно-степенная y = u(х) v(х) (uv)¢ = (v×uv–1 + (uv×ln u
6) Логарифмическая y =log а х, а > 0, а ¹1, х > 0 y =ln х, х > 0 (log а х)¢ = 1/(x×ln a) (ln х)¢ =1/ х
7) Тригонометрическая y =sin x х Î y =cos x х Î y = tg x х Î y = ctg x х Î (sin x)¢ = cos x (cos x)¢ = – sin x (tg x)¢ = 1/cos2x (ctg x)¢ = – 1/sin2 x
8) Обратная тригонометрическая y =arc sin x –1 £ х £ 1 y = arc cos x –1 £ х £ 1 y = arc tg x х Î y = arc ctg x х Î (arc sin x)¢ = 1/ (arc cos x)¢ = – 1/ (arc tg x)¢ = 1/(1 + x2) (arc ctg x)¢ = – 1/(1 + x2)
9) Гиперболическая y =sh x х Î y =ch x х Î y = th x х Î y = cth x х¹0 (sh x)¢ = ch x (ch x)¢ = sh x (th x)¢ = 1/ch2x (cth x)¢ = – 1/sh2 x

7. Уравнение касательнойк кривой у = у(х)в точке М(х0; у0), где y0 = y(x0): y = y0 + у'(х0)×(xx0).

8. Уравнение нормали к кривой у= у(х)в точке М(х0; у0): y = y0 ×(xx0).

9. Правило Лопиталя: = , где а – любое конечное число или ∞. Правило Лопиталя можно использовать только для неопределенностей вида и . Правило Лопиталя можно использовать многократно, если при его использовании снова возникает одна из указанных неопределенностей.

 

 

Примеры выполнения заданий лабораторной работы

1o. Вычислить производную функции , если а) j(x) = ctg x, y(x) = log4x, k = 3, m = 2, n = 2; б) j(x) = arc sin x, y(x) = 2x5, k = 2, m = 3, n = 1.

 

Решение.

 

а) Дано: .

Согласно правилу дифференцирования дроби:

= . Имеем: u(x) = ctg(log4x), v(x) = .

Находим производные (x) и (x) согласно правилу дифференцирования сложных функций:

(x) = ;

(x) = .

Подставляем функции u(x), v(x) и их производные в формулу производной дроби:

у¢ (х) = =

.

 

б) Дано: .

Согласно правилу дифференцирования произведения:

у¢ (х) = (u(хv(х))¢ = (хv(х) + u(х (х). Имеем: u(x) = arc sin 2x5, v(x) = .

 

Находим производные (x) и (x) согласно правилу дифференцирования сложных функций:

(x) = ;

(x) = .

Подставляем функции u(x), v(x) и их производные в формулу производной произведения:

у¢ (х) = .

 

Ответ: а) у¢ (х) = ;

б) у¢ (х) = .

 

2o. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y (x) = в точке x = n, где r = 3, m = – 13, n = 5.

 

Решение.

 

Дано: . Уравнение касательной к графику функции у = у(х)в точке М(х0; у0), где y0 = y(x0): y = y0 + у'(х0)×(xx0). Уравнение нормали к графику функции у = у(х) в точке М(х0; у0): y = y0 ×(xx0).

Поскольку х0 = 5, то получаем = 1/2.

Находим производную = , т.е. у¢ (5) = 49/260.

Записываем уравнение касательной к кривой у = у(х)в точке М(5; 1/2): y = 0,5 + ×(x – 5); записываем уравнение нормали в точке М(5; 1/2): y = 0,5 – ×(x – 5).

 

Ответ:y = 0,5 + ×(x – 5) – уравнение касательной;

y = 0,5 – ×(x – 5) – уравнение нормали.

 

3o. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = y(x), заданной параметрически: в точке М(х(t0); y(t0)), где x(t) = 5 2ctg t, y(t) = 1 + cos 2t , t0 = p/4.

Решение.

 

Дано: Уравнение касательной к графику функции у = у(х)в точке М(х0; у0), где x0 = x(t0), y0 = y(t0): y = y0 + у'(х0)×(xx0). Уравнение нормали к графику функции у = у(х) в точке М(х0; у0): y = y0 ×(xx0).

Поскольку t0 = p/4, то получаем: x0 = x(p/4) = 5 – 2ctg (p/4) = 3, y0 = y(p/4) = 1 + cos(p/2) = 1.

Находим производную = = – sin 2t × sin2t, т.е. у¢ (x0) = – sin(p/2)×sin2(p/4) = – 1/2.

Записываем уравнение касательной к кривой у = у(х)в точке М(3; 1): y = 1 ×(x 3), или у = 2,5 – 0,5х; записываем уравнение нормали в точке М(3; 1): y = 1 +2×(x – 3), или y = 2х – 5.

 

Ответ:y = 2,5 –0,5x – уравнение касательной;

y = 2x – 5 – уравнение нормали.

 

4o. Применяя правило Лопиталя, найти , если: а) j(x) = x3 1, y(x) = ln x, a = 1; б) j(x) = x2, y(x) = е2х, a = + ¥.

Решение.

 

а)Предел в окрестности точки х = 1 имеет неопределенность . Следовательно, для нахождения этого предела можно использовать правило Лопиталя (переход к пределу, определяемому по правилу Лопиталя, будем обозначать как ):

= = = = 3.

 

б) Предел имеет неопределенность , следовательно, для нахождения этого предела можно использовать правило Лопиталя:

= = = = = = 0.

 

Ответ: а) 3; б) 0.

 

 

Литература

1. Баранова Е.С., Васильева Н.В., Федотова В.П. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2008. – 320 с.

2. Беклемишев Д.В.Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 312 с.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по математическому анализу. – СПб.: Профессия, 2005.– 432 с.

4. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. – М.: Дрофа, 2006. – 236 с.

5. Вербина Л.М., Самарин В.И., Якунина Н.Ф. Высшая математика, ч. 1.: Элементы высшей алгебры и аналитической геометрии. Функции одной переменной и их дифференциальное исчисление: Методические указания и контрольные задания для студентов специальности 290500 «Городское строительство и хозяйство». – Сочи: РИО СГУТиКД; СППО, 1997. – 124 с.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1; Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1986. – 306 с.

7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие. – М.: Наука, 1990. – 624 с.

8. Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2012. – 372 с.

9. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2008. – 600 с.

10. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учебное пособие. – М.: Наука, 1986. – 224 с.

11. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: ООО «Изд-во Астрель», 2004. – 654 с.

12. Куринной Г.Ч. Математика: Справочник. – Харьков: Фолио; Ростов н/Д: Феникс, 1997. – 463 с.

13. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: Учебник. – М.: Наука, 1971. – 432 с.

14. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс: Учебное пособие. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 576 с.

15. Малугин В.А. Линейная алгебра. – М.: Рид Групп, 2011. – 464 с.

16. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 608 с.

17. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006. – 384 с.

18. Самарин В.И. Математика: Практикум для студентов-дизайнеров: Учебное пособие. – Сочи: РИЦ СГУ, 2012. – 300 с.

19. Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М. Практикум по высшей математике. –Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 640 с.

20. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для бакалавров. – М.: Изд-во Юрайт, 2012. – 607 с.

21. Яковенко Т.Ю., Якунина Н.Ф. Высшая математика. Лекции по математике для студентов в двух частях. Часть 1: Учебное пособие. Сочи: СГУТиКД, 2008. – 80 с.

22. Яковенко Т.Ю., Якунина Н.Ф. Математика для студентов. Учебно-тренировочные тесты (теория): Учебное пособие. – Сочи: СГУТиКД, 2009. – 34 с.

Оглавление

 

Лабораторная работа №1: Матрицы и определители…………………………………… 3

Теоретический минимум……………………………………………………………… 3

Задания…………………………………………………………………………………. 3

Справочный материал к 1-й лабораторной работе………………………………….. 7

Примеры выполнения заданий лабораторной работы…………………………….. 11

Лабораторная работа №2: Системы линейных алгебраических уравнений………….. 16

Теоретический минимум…………………………………………………………….. 16

Задания……………………………………………………………………………..…. 16

Справочный материал ко 2-й лабораторной работе………..………………..…….. 19

Примеры выполнения заданий лабораторной работы…………………………….. 21

Лабораторная работа №3: Векторы………………………………………….………….. 27

Теоретический минимум…………………………………………………………….. 27

Задания……………………………………………………………………………..…. 27

Справочный материал к 3-й лабораторной работе…..……..………………..…….. 39

Примеры выполнения заданий лабораторной работы…………………………….. 41

Лабораторная работа №4: Собственные значения и собственные векторы

квадратной матрицы……………………………………………………………....…. 43

Теоретический минимум…………………………………………………………….. 43

Задания……………………………………………………………………………..…. 43

Справочный материал к 4-й лабораторной работе………..…..……………..…….. 44

Примеры выполнения заданий лабораторной работы…………………………….. 46

Лабораторная работа №5: Прямая и плоскость…………………………….…………... 50

Теоретический минимум…………………………………………………………….. 50

Задания……………………………………………………………………………..…. 50

Справочный материал к 5-й лабораторной работе…………………………..…….. 53

Примеры выполнения заданий лабораторной работы…………………………….. 56

Лабораторная работа №6: Кривые второго порядка………………………..………….. 61

Теоретический минимум…………………………………………………………….. 61

Задания……………………………………………………………………………..…. 61

Справочный материал к 6-й лабораторной работе…………………………..…….. 65

Примеры выполнения заданий лабораторной работы…………………………….. 68

Лабораторная работа №7: Пределы и непрерывность функций одной

переменной…………………………………………………………………………… 79

Теоретический минимум…………………………………………………………….. 79

Задания……………………………………………………………………………..…. 80

Справочный материал к 7-й лабораторной работе………....………………..…….. 86

Примеры выполнения заданий лабораторной работы…………………………….. 91

Лабораторная работа №8: Дифференциальное исчисление функций одной

переменной ……………………………………………………………………….….. 95

Теоретический минимум…………………………………………………………….. 95

Задания……………………………………………………………………………..…. 95

Справочный материал к 8-й лабораторной работе……..…..………………..…….. 98

Примеры выполнения заданий лабораторной работы……………………...……. 100

Литература ……………………………………………………………………………… 103

 

Горлова Ольга Юрьевна,

Самарин Виктор Иванович,

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-28

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...