Решение задачи кинематического анализа

Плоского рычажного механизма средствами MathCAD

Определить положение звеньев нецентрального кривошипно-ползун­ного механизма для ряда положений его кривошипа (см. рис. 2.1). Механизм имеет следующие размеры звеньев: м, м, м, = 180°, начальное положение механизма задано углом .

При решении задачи предполагается, что угловая скорость ведущего звена незначительно отклоняется от постоянной величины. Она задана соотношением , угловое ускорение кривошипа , угол поворота кривошипа для любого момента времени определяется соотношением:

.

Требуется для каждого положения механизма, заданного углом , вычислить параметры и , определяющие положение шатуна АВ и ползуна В.

При выполнении задания необходимо изобразить механизм в двух положениях: произвольном положении механизма, заданном углом и начальном положении, заданном углом . На рис. 2.4 и 2.5 изображен механизм в этих двух положениях. Схема механизма строится в масштабе следующим образом:

– с неподвижным основанием механизма (стойкой) связывается прямоугольная система координат Oxy. Центр О системы координат совпадает с неподвижным шарниром О кривошипа ОА. Ось вращения Oz кривошипа направлена перпендикулярно плоскости, параллельно которой движутся звенья механизма (плоскость чертежа);

– изображается направляющая MN, по которой движется ползун В. Для этого от оси Ox откладывается угол , получается луч OP.
На этом луче откладывается отрезок , перпендикулярно которому проводится линия MN;

– изображается произвольное положение кривошипа ОА, заданное углом . Траекторией точки А будет окружность, центр которой находится в точке О, и радиус равен длине кривошипа ;

– изображается возможное положение ползуна В на направляющей MN. Для этого из точки А радиусом, равным длине шатуна , делаются засечки на направляющей MN. Это точки В и . Из этого следует, что возможны две сборки механизма для одного положения кривошипа.
На рис. 2.4 изображен один из возможных вариантов сборки механизма.

Подобным образом строится кинематическая схема механизма для заданного начального положения (рис. 2.5).

Рис. 2.4. Кинематический механизм	Рис. 2.5. Начальное положение кинематического механизма

Путем измерения на чертеже (рис. 2.4) определяются угол и расстояние S. Это будут их начальные значения: м.

Составим уравнения замкнутости контура (рис. 2.4) в проекциях на декартовые оси координат Oxy:

. (2.4)

Образуем целевую функцию . Она имеет вид

(2.5)

где – угол, определяющий положение кривошипа в заданный момент времени; и – неизвестные параметры, определяющие положения шатуна АВ и ползуна В. Они могут быть определены при решении системы уравнений (2.4) или минимизации функции (2.5).

Подготовим теперь исходную информацию для решения задачи.

Размеры звеньев механизма

см, см, см, .

Постоянные уравнения вращения кривошипа

; .

Начальные приближения искомых величин: см.

Интервал времени с.

Любому положению ведущего звена соответствует время , где i – номер положения кривошипа.

Определение скоростей звеньев механизма.

Дифференцируем уравнения замкнутости векторного контура (2.4) по времени

, (2.6)

где – угловая скорость кривошипа ОА; – угловая скорость шатуна АВ; – скорость ползуна В.

Систему уравнений (2.6) представим в матричной форме , где

.

Решение системы выполняется с помощью матричного уравнения

, где , .

Определение ускорений звеньев механизма.

Дифференцируем повторно уравнение замкнутости векторного контура

, (2.7)

где – угловое ускорение кривошипа ОА; – угловое ускорение шатуна АВ; – ускорение ползуна В.

Матричная форма системы линейных уравнений (2.7) .

Матрицы C, D, Z системы уравнений имеют следующий вид

,

где .

Решение системы уравнений (2.7) выполняется с помощью матричного уравнения .

Кинематическое исследование механизма

Графоаналитическим методом

Рекомендуется для одного положения механизма его кинематический анализ выполнить графоаналитическим методом. Рассмотрим положение механизма, заданное углом . Схема механизма в заданном положении изображена на рис. 2.6, исходные данные приведены в табл. 2.1.

Рис. 2.6. Кинематическая схема механизма в заданном положении

Таблица 2.1

Исходные данные положения механизма(рис. 2.6)

Величина							S
Численное значение				35,996°	31,404	3,822∙105	18,303	94,423°

Определение скоростей точек и угловой скорости звена АВ.

Вычисляем скорость точки А кривошипа ОА:

см/с.

Скорость точки А направлена перпендикулярно кривошипу ОА.
Скорость ползуна В направлена по направляющей MN. Мгновенный центр скоростей Р шатуна АВ находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям.

Вычислим угловую скорость звена АВ ( )

,

где см, см.

Скорость точки В

см/с,

где см, см.

Определение ускорений точек и углового ускорения звена АВ.

Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры:

.

Ускорение точки А ( ) складывается из нормального и касательного ускорений:

,

где см/с²; см/с².

Ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А складывается из нормального и касательного ускорений

,

где см/с², .

Вектор направлен от точки В к точке А. Модуль вектора пока нельзя вычислить, так как неизвестно по величине угловое ускорение шатуна АВ. Но можно изобразить вектор , он направлен перпендикулярно шатуну АВ. Вектор направлен вдоль направляющей. Теперь запишем

. (2.8)

Уравнение (2.8) позволяет вычислить величины и . Для этого выберем оси координат x и y, как показано на рис. 2.6, и спроецируем уравнение (2.8) на эти оси.

Целесообразно указанные векторы изобразить приложенными в одном центре (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Диаграмма ускорений точек механизма

Получим:

● в проекции на ось Ox

; (2.9)

● в проекции на ось Oy

, (2.10)

где .

Из уравнения (2.9) получаем см/с². Знак (+) указывает, что истинное направление вектора касательного ускорения соответствует показанному на рисунке. Из уравнения (2.10) находим см/с².

Угловое ускорение шатуна АВ определяется по формуле

, 1/с².

Угловое ускорение направлено по ходу часовой стрелки, что соответствует машинному расчету 1/с².

Учитывая, что положительным направлением отсчета углов и принято считать направление против хода часовой стрелки, то по результатам машинного счета следует, что шатун вращается против хода часовой стрелки ( 1/с).

Результаты машинного и графоаналитического расчетов хорошо согласуются.