Кулисного механизма графоаналитическим методом

После завершения анализа механизма численным методом (методом замкнутого векторного контура) рекомендуется определить скорости и ускорения звеньев механизма графоаналитическим методом. Этот метод основан на теории плоскопараллельного движения твердого тела и сложного движения точки (рис. 4.2).

Входные параметры .

Выходные параметры – скорость и ускорение ползуна относительно кулисы АВ; – угловая скорость и угловое ускорение кулисы АВ.

Выполним анализ сложного движения ползуна С (рис. 4.2):

– относительное движение – движение ползуна С по стержню АВ,
– относительная скорость ползуна;

– переносное движение – вращение кулисы АВ вокруг оси А стойки; – переносная скорость ползуна;

– абсолютное движение – движение ползуна С относительно стойки по окружности радиуса ОС, – абсолютная скорость ползуна.

Рис. 4.2. Картина скоростей и ускорений звеньев механизма

Скорости , , – связаны векторным уравнением

.

Из этих трех скоростей может быть вычислен модуль вектора

.

Вектор направлен перпендикулярно ОС в сторону вращения стержня ОС.

Вектор направлен вдоль кулисы АВ.

Вектор направлен перпендикулярно кулисе АВ.

На рис. 4.2 построен параллелограмм скоростей. Из треугольника СЕА следует, что

.

Абсолютное ускорение точки С определяется векторным уравнением

. (4.2)

Рассмотрим абсолютное ускорение .

Траектория абсолютного движения – окружность радиуса ОС, поэтому представляется в следующем виде:

, (4.3)

где , .

Вектор направлен от точки С оси О; вектор направлен перпендикулярно ОС в сторону углового ускорения .

Переносным движением является вращение стержня АВ вокруг оси А, поэтому переносное ускорение представим составляющими

,

где , .

Вектор направлен от точки С к оси А, – искомая величина.

Вектор направим перпендикулярно АС по скорости в предположении, что дуговая стрелка углового ускорения направлена против хода часовой стрелки. Если в результате решения значение получим со знаком плюс, то предположение о направлении справедливо. Если получится отрицательным, то имеет противоположное направление.

Траектория относительного движения – прямая АВ. Искомое ускорение направим вдоль АВ от С к В, считая, что относительное движение – ускоренное. По знаку судят о действительном направлении вектора .

Ускорение Кориолиса определяется по формуле

.

Вектор , т. е. переносной угловой скоростью будет угловая скорость кулисы , модуль и направление вектора , а также вектора определены при решении задачи о скоростях.

Модуль ускорения Кориолиса определяется по формуле

.

Векторы и образуют прямой угол.

Для определения направления вектора , согласно правилу
Н.Е. Жуковского, следует вектор повернуть на 90º в сторону переносного вращения. Картина скоростей и ускорений звеньев механизма изображена на рис. 4.2.

Уравнение (4.2) с учетом соотношения (4.3) можно представить в таком виде

. (4.4)

В этом уравнении неизвестными являются величины и . Для их определения проецируем уравнение (4.4) на оси координат (рис. 4.2)

Матричная форма полученной системы уравнений .

Решение системы уравнений осуществляется операцией .

Решение всех перечисленных задач кинематического анализа кулисного механизма выполняется в системе Mathcad.

Манипуляторы

После ознакомления с методикой кинематического анализа кулисных механизмов целесообразно выполнить решение одного варианта задания из учебного пособия [5].

Пример. Определение положения угловых скоростей и угловых ускорений звеньев механизма манипулятора по заданному движению рабочей точки (рис. 4.3).

На рис. 4.3 изображён в начальном положении механизм манипулятора и показаны направления отсчёта , определяющие положения звеньев ОА, АВ, DC, и расстояние S, которое определяет положение ползуна С. Размеры звеньев – в метрах. В заданной системе координат известны уравнения движения рабочей точки В

(4.5)

Движение точки В происходит в течение времени .

Требуется определить значения углов и расстояние для указанного промежутка времени. Вычислить также угловые скорости ; угловые ускорения , относительную скорость , относительное ускорение точки С.

Вычисления произвести для моментов времени 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1 с.

Для начала произведем расчёт положений звеньев механизма.

Составим уравнения замкнутости контуров для любого положения механизма.

Уравнение замкнутости контура

. (4.6)

Запишем уравнение (4.6) в проекциях на оси координат Oxy

(4.7)

Выразим

Величины найдём из условия минимума целевой функции

.

После преобразований целевая функция принимает вид

Уравнение замкнутости контура

.

Представим это уравнение в проекциях на оси координат

(4.8)

Выразим

Величины найдём из условия минимума целевой функции .

После преобразований целевая функция принимает вид

После решения первой задачи о положениях звеньев механизма переходят к вычислению их скоростей и ускорений. Для этого дифференцируют уравнения замкнутости (4.7), (4.8) контуров OABO и DACD дважды по времени (рис. 4.4).

Система уравнений скоростей контура OABO

где .

Матричное уравнение системы скоростей контура OABO

,

где ; ; .

Решение системы уравнений скоростей .

Система уравнений ускорений контура OABO

где .

Матричное уравнение системы ускорений .

Решение системы уравнений ускорений контура OABO .

Система уравнений скоростей контура DACD

где .

Решение системы скоростей контура DAСD .

Аналогично решается матричное уравнение системы ускорений контура DACD .

Далее приводится пример кинематического анализа манипулятора численным методом в среде MathCad.

Вопросы для самоконтроля

1. Чему равен вектор скорости точки в данный момент времени и какое направление он имеет?

2. Чему равна проекция вектора скорости точки на касательную к ее траектории и модуль ее скорости?

3. Как определяются проекции вектора скорости точки на неподвижные оси в декартовой системе координат?

4. Что представляет собой годограф скорости точки?

5. Чему равен вектор ускорения точки и как он направлен по отношению к годографу скорости?

6. Как направлены естественные оси координат в каждой точке траектории?

7. Чему равны проекции ускорения точки на естественные оси координат?

8. Что характеризуют собой касательное и нормальное ускорения точки?

9. Как классифицируются движения точки по ускорениям?

10. Как определяются проекции вектора ускорения точки на неподвижные оси декартовой системы координат?

11. Какое движение твердого тела называется поступательным и какими свойствами оно обладает?

12. Какое движение твердого тела называется вращательным вокруг неподвижной оси?

13. По каким формулам определяются угловая скорость и угловое ускорение вращающегося тела?

14. Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении тела вокруг неподвижной оси?

15. По каким формулам определяются модули скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

16. Какое движение твердого тела называется плоскопараллельным?

17. Укажите способы перемещения плоской фигуры в собственной плоскости из одного положения в другое.

18. Зависят ли поступательное перемещение плоской фигуры и ее поворот от выбора полюса?

19. Сформулируйте теорему о сложении скоростей точек плоской фигуры и ее следствия.

20. Что такое план скоростей точек плоской фигуры?

21. Что представляет собой отрезок, соединяющий две вершины плана скоростей?

22. Сформулируйте теорему о сложении ускорений точек плоской фигуры и ее следствия.

23. Как выполняют определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев плоского механизма?

Заключение

MathCad является самым распространенным математическим пакетом. Он дает пользователю большой набор инструментов для решения на компьютере задач исследования сложных механических систем численными методами. Он позволяет студенту, который не владеет в полной мере алгоритмическими языками программирования, самостоятельно выполнять громоздкие вычисления, решать содержательную часть задачи, рассматривать за короткое время значительное количество вариантов.

Материал, изложенный в пособии, позволяет внедрить в учебный процесс элементы научно-исследовательской работы студентов.

Приобретенный опыт решения задач кинематики в среде MathCad будет использоваться в дальнейшем при изучении раздела «Динамика» курса теоретической механики, а также при изучении дисциплин «Прикладная механика», «Детали машин», «Теория машин и механизмов».

Библиографический список

1. Дьяконов, В.П. MathCad 8-12 для студентов / В.П. Дьяконов. – М. : Солон-Пресс, 2005. – 632 с.

2. Дьяконов, В. MathCad 2001 : специальный справочник / Владимир Дьяконов. – Спб. : Питер, 2001. – 592 с.

3. Лойцянский, Л.Г. Курс теоретической механики : учеб. пособие.
В 3 т. Т. 1 / Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. – М. : Изд-во технико-теоретической литературы, 1987. – 379 с.

4. Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах : учеб. пособие / М.И. Бать, Г.Ю. Джонелидзе, А.С. Кользон. – М. : Гос. изд-во физико-математической литературы, 1961. – 479 с.

5. Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике : учеб. пособие / под ред. А.А. Яблонского. – М. : Высш. шк., 1985. – 376 с.

Оглавление

Введение........................................................................................................ 3

1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 4

1.1. Способы задания движения точки................................................... 4

1.2. Решение задач кинематики точки в среде MathCAD................... 5

2. Кинематический анализ

плоских четырехзвенных рычажных механизмов

и его реализация в среде Mathcad............................................ 11

2.1. Основные положения теории механизмов.................................. 11

2.2. Основные задачи кинематического анализа

рычажных механизмов..................................................................... 12

2.3. Решение задачи кинематического анализа

плоского рычажного механизма средствами MathCAD............. 17

2.4. Кинематическое исследование механизма

графоаналитическим методом....................................................... 20

2.5. Аналитический метод кинематического анализа

плоских рычажных механизмов..................................................... 23

3. Кинематический анализ

кулисно-рычажных механизмов............................................... 40

3.1. Методы анализа кулисно-рычажных механизмов..................... 40

3.2. Кинематический анализ кулисно-рычажных механизмов

графоаналитическим способом..................................................... 49

4. Кинематический анализ

четырехзвенных кулисных механизмов.............................. 65

4.1. Основные задачи кинематического анализа.............................. 65

4.2. Кинематический анализ одноконтурного кулисного механизма

графоаналитическим методом....................................................... 73

4.3. Манипуляторы................................................................................... 80

Вопросы для самоконтроля............................................................ 90

Заключение................................................................................................ 91

Библиографический список............................................................. 92

Учебное издание