Методи перевірки гіпотез про вид закону розподілу

Перевірка гіпотези про закон розподілу проводиться таким же чином, як і перевірка гіпотези про параметри розподілу, тобто на основі критерію перевірки виду невідомого розподілу, який називають критерієм згоди.

Існує кілька критеріїв: c² Пірсона чи w² Мізеса - Смірнова та інші. Розглянемо спочатку критерій Пірсона, якийможе бути використаний не лише для перевірки нормальності розподілу, але й для перевірки гіпотез про іншівиди розподілів.

1.1.7.1 Критерій c² Пірсона.

З метою перевірки розглядатимемо емпіричні (виміряні) n_i та теоретичні (розраховані) частоти - попадання величини X в часткові інтервали (х_і, х_1+i) однакової довжини, на які ділять весь інтервал спосте-режуваних значень величини [10]. При рівні значимості необхідно перевірити нульову гіпотезу: генеральна сукупність розподілена за зако-ном А.

В якості критерію перевірки нульової гіпотези приймають випадкову величину

(1.21)

де s - кількість часткових інтервалів. Якщо під час вимірювань результати спостерігаються менше ніж очікувану кількість раз n_i < , то значення c² зростає, а значить нульова гіпотеза не підтверджується.

Чим менше відрізняються емпіричні (виміряні) та теоретичні (розра-ховані) частоти, тим менша величина критерію, тобто він характеризує від-

мінність емпіричного та теоретичного розподілів.

Доведено, що при n®∞ закон розподілу величини незалежно від того, за яким законом розподілена генеральна сукупність, наближається до закону розподілу c² з k=s-r-i ступенями свободи, де r - кількість параметрів закону розподілу, які наведені в результатах вимірювань. Критичні точки розподілу c² наведені в таблиці 1.2. Правостороння критична область для критерію Пірсона c²>c² _кр.(a, k) це -область неприйняття нульової гіпотези, а c² <c²_кр.(a, k) - область прийняття нульової гіпотези.

Таким чином, якщо необхідно перевірити, чи розподілена генеральна сукупність нормально, можна скористатися критерієм Пірсона. Один із способів вирішення цього завдання полягає в такому:

1. Весь інтервал значень величини X, одержаних при спостережен-нях, розбивають на s часткових інтервалів (x_і, х_і+1). В якості частоти п_і і-го інтервалу вибирають кількість значень, які потрапили в і-ий інтервал. При цьому кількістьспостережень п повинна бути достатньо великою, не менше 50. Кожен частковий інтервал повинен містити не менше 5 значень, а інтервали з меншою кількістю значень об’єднують;

2. Розраховують середнє значення х та статистичну оцінкусеред-нього квадратичного відхилення S_x ряду результатів спостережень;

3. Нормують величину X, тобто переходять до величини

і розраховують межі нових інтервалів (z_i; z_i+1)

, (1.22)

причому за z₁ приймають - ¥, а за z_s+1 (права границя останнього часткового інтервалу) + ¥;

4. Розраховують теоретичні ймовірності р_i попадання X в інтервал (x_i , x_i+])з рівняння

, (1.23)

де Ф(z)- нормована функція Лапласа, і знаходять теоретичні частоти

.

Таблиця 1.2 - Критичні точки розподілу c²

Продовження таблиці 1.2

Подальша процедура цілком зрозуміла.

Складений критерій

Складений критерій при перевірці нормальності розподілу результа-тів спостережень використовують, якщо кількість спостережень 15<n< 50 .

При перевірці нормальності розподілу за допомогою складеного кри-

терію спочатку знаходять відношення

(1.24)

де S^*- зміщена оцінка середнього квадратичного відхилення, яка розрахо-вується за формулою

. (1.25)

Вважають, що гіпотеза про нормальність розподілу не суперечить експериментальним даним, якщо

, (1.26)

де та - квантілі розподілу, які знаходять з таблиць [10], причому

a₁ -заданий рівеньзначимості.

Таблиця 1.3 - Статистика d

Якщо гіпотеза про нормальність розподілу по d-критерію не від-кинута, то додатково перевіряють різниці . Вважають, щорезуль-тати спостережень належать нормальному розподілу, якщо не більше m різниць перевищують значення t(P)× S_x . Тут t(P) - квантіль нор-мального розподілу. Він дорівнює m-1при 10<n<20 та m-2 при 21<n<49.

Значення ймовірності Р, в залежності від вибраного рівня значи-мості α та кількості спостережень п, знаходять з таблиці 1.4.

Якщо рівень значимості відрізняється від табличного, тоді значення Р знаходять шляхом інтерполяції.

Оскільки для d-критерію вибраний рівень значимості α₁, a для пере-вірки різниць - α₂, то рівень значимості складеного критерію

α <= α ₁ + α ₂ . (1.27)

Таблиця 1.4 - Значення Р для знаходження t(p)