Категории:
ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника
Випадок нерівнокількісних спостережень
Вище ми розглянули випадок тільки рівнокількісних серій спостережень на всіх рівнях фактора x. Ця обставина не суттєва для теорії дисперсійного аналізу, а тому (за різної кількості mj паралельних спосте-режень на різноманітних j-х рівнях) схема проведення та основні прийоми аналізу залишаються такими самими. Змінюється лише вигляд наступних виразів:
1) загальна кількість спостережень
(2.30)
2) результати спостережень по серіях
(2.31)
3) середнє серії
(2.32)
4) загальне середнє
(2.33)
5) співвідношення для сум 
(2.34)
6) співвідношення для кількості ступенів свободи
(2.35)
7) дисперсія фактора x обчислюється за значного впливу фактора за формулою
. (2.36)
Розрахункові формули для суми
Обчислювальний алгоритм однофакторного дисперсійного аналізу спрощується, якщо для розрахунку сум квадратів відхилень використову-вати перетворення
. (2.37)
Тоді для сум отримуємо зручні розрахункові формули:
(2.38)
(2.39)
. (2.40)
Таким чином, для проведення дисперсійного аналізу достатньо зробити наступні попередні обчислення:
1) підсумки спостережень по серіях
(2.41)
2) сума квадратів усіх спостережень
(2.42)
3) сума квадратів підсумків по серіях, поділена на кількість спостережень в серії
(2.43)
4) квадрат загального підсумку, поділений на кількість всіх спостережень
(2.44)
БАГАТОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ
Теоретичні відомості
Постановка задачі
Розглянемо вплив двох одночасно діючих факторів x1 і x2 на резуль-тат спостережень 
(лабораторна робота 3).
Результати експерименту наведені в таблиці 3.1 і містять 
спостережень параметра 
де j - порядковий номер рівня варіювання фактора 
g - порядковий номер рівня варіювання фактора 
l - порядковий номер досліду, який дублюється в серії при кожному jg сполученні рівнів двох факторів,
(для спрощення розрахунків розглянемо спочатку випадок рівнокількісних спостережень при всіх можливих сполучень рівнів, тобто 
).
Обчислимо середні арифметичні 
серій з m повторних спостере-жень для кожного сполучення рівнів j і g факторів x1 і x2
; (3.1)
середні арифметичні 
по рядках з 
паралельних спостережень для будь-якого j-го рівня фактора x1
(3.2)
середні арифметичні 
по рядках з 
паралельних спостережень для будь-якого g-го рівня фактора x2
(3.3)
загальне середнє арифметичне 
всіх 
спостережень за всіма 
сполученнями рівнів
(3.4)
При вказаному розташуванні спостережень їхнє розсіювання в кож-ній серії щодо середнього тієї ж серії, обумовлене дією тільки випадкових причин (з дисперсією s). Розсіювання ж самих середніх серій за всіма можливими сполученнями рівнів x1 і x2 навколо загального середнього крім фактора випадковості викликано впливом фактора взаємодії x1x2 (з дисперсією 
). Крім цих факторів на розсіювання середніх по рядках впливає тільки один фактор x1 (з дисперсією 
), а на розсіювання середніх по стовпцях - тільки один фактор x2 (з дисперсією 
), тому що всі рівні іншого фактора в кожному з цих випадків усереднені.
Таблиця 3.1 - Результати експерименту
| № g рівня фактора x2 № j рівня фактора x1 | ... | g | ... | u2 | 
| ||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| y111 | y121 | … | y1g1 | … | 
| 
| |
| y112 | y122 | … | y1g2 | … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| y11l | y12l | … | y1gl | … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| y11m | y12m | … | y1gm | … | 
| ||
| y211 | y221 | … | y2g1 | … | 
| 
| |
| y212 | y222 | … | y2g2 | … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| y21l | y22l | … | y2gl | … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| y21m | y22m | … | y2gm | … | 
| ||
| . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
| j | yj11 | yj21 | … | yjg1 | … | 
| 
|
| yj12 | yj22 | … | yjg2 | … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … |
Продовження таблиці 3.1
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||
| yj1l | yj2l | … | yjgm | … | 
| ||||||||
| … | … | … | … | … | … | ||||||||
| yj1m | yj2m | … | yjgm | … | 
| ||||||||
| . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | ||||||
| u1 | 
| 
| … | 
| … | 
| 
| ||||||
| 
| … | 
| … | 
| ||||||||
| … | … | … | … | … | … | ||||||||
| 
| … | 
| … | 
| ||||||||
| … | … | … | … | … | … | ||||||||
| 
| … | 
| … | 
| ||||||||
| 
| 
| … | 
| … | 
| 
| ||||||
Розклад сум квадратів
У відповідності з основною ідеєю дисперсійного аналізу розкладемо суму S квадратів відхилень спостережень від загального середнього на компоненти, що відповідають перерахованим факторам.
 | |||||
 | |||||
 |
де
(3.5)
- загальна сума квадратів характеризує розсіювання окремих спостережень 
у загальній сукупності за рахунок впливу усіх факторів,
(3.6)
- сума квадратів відхилень "усередині серій". Сума характеризує розсі-ювання окремих спостережень за рахунок впливу фактора випадковості.
(3.7)
- сума квадратів відхилень «між рядками». Сума 
характеризує розсіювання середніх за рядками в результаті дії фактора випадковості (з дисперсією середнього рядка ), фактора x1 (з дисперсією 
) і фак-тора взаємодії (з дисперсією середнього для кожного рядка 
)
(3.8)
- сума квадратів відхилень "між стовпцями". Сума 
характеризує роз-сіювання середніх 
по стовпцях в результаті дії фактора випадковості (з дисперсією середнього стовпця 
), фактора x2 (з дисперсією 
) і фак-тора взаємодії (з дисперсією стовпця 
),
(3.9)
- сума квадратів відхилень "між серіями". Сума 
характеризує розсію-вання середніх 
серій в результаті дії фактора випадковості (з диспер-сією середнього серії 
) і фактора взаємодії (з дисперсією 
).
Оцінка дисперсій
Суми квадратів S, S0, S1, S2, S12, розділені кожна на відповідну їй кількість степенів свободи n, n0, n1, n2, n12, дають незміщені оцінки диспер-сії відтворення s2.
1) вибіркова загальна дисперсія за всіма 
спостереженнями
(3.10)
з кількістю степенів свободи
,
2) вибіркова дисперсія розсіювання "усередині серій", або залишкова оцін-ка є середньозваженою дисперсією за всіма серіями спостережень
(3.11)
з кількістю степенів свободи
3) вибіркова дисперсія розсіювання "між рядками"
(3.12)
з кількістю степенів свободи
4) вибіркова дисперсія розсіювання "між стовпцями"
(3.13)
з кількістю степенів свободи
5) вибіркова дисперсія розсіювання "між серіями"
 |
(3.14)
з кількістю степенів свободи
Кількість степенів свободи перевіряється за співвідношенням
(3.15)
Оцінка впливу факторів
Аналіз значимості впливу факторів x1, x2 та їхньої взаємодії x1, x2 проводиться за критерієм Фішера при обраному рівні значимості q у наступному порядку:
1) вплив факторів x1 і x2 відповідно з дисперсіями
(3.16)
визнається значущою 
якщо виявиться значущою відповідно відмінність 
від 
і 
від , тобто якщо відповідний критерій
(3.17)
Якщо одне з цих дисперсійних відносин, тобто вплив відповідного фактора, незначний 
або 
, то для дисперсії 
ми одержимо дві оцінки і або і відповідно, які можна об’єднати в зведену оцінку
(3.18)
або
(3.19)
з великою кількістю степенів свободи
Якщо два дисперсійних відношення, тобто впливи обох факторів, незначні і 
, то оцінки , і для дисперсії можна об’єднати в зведену
(3.20)
з великою кількістю степенів свободи
2) вплив взаємодії x1x2 з дисперсією
(3.21)
визнається значним 
якщо відмінність і 
виявиться знач-ною, тобто якщо критерій
(3.22)
У протилежному випадку вплив взаємодії вважається незначним 
і обидві оцінки і для s2 можна об’єднати в одну
(3.23)
з великою кількістю степенів свободи 
Якщо вплив факторів x1, x2 і їхньої взаємодії x1x2 незначні, то диспер-сію відновлення можна оцінити вибірковою загальною дисперсією s2.
Розрахункові формули для сум
Для практичних обчислень сум зручно користуватися їх перетворе-ними виразами за наступних позначень:
1) підсумки спостережень за рядками Yj і стовпцями
(3.24)
2) сума квадратів усіх спостережень
(3.25)
3) сума квадратів за рядками, розділена на кількість спостережень у рядку
(3.26)
4) сума квадратів підсумків за стовпцями, розділена на кількість спостере-жень у стовпці,
(3.27)
5) сума квадратів підсумків за клітинками, поділена на кількість спостере-жень в клітинці,
(3.28)
6) квадрат загального підсумку, розділений на кількість всіх спостережень
(3.29)
При цьому ці суми квадратів відхилень визначаються співвідношеннями
(3.30)
Ми описали процедуру двофакторного дисперсійного аналізу. Під час багатофакторного аналізу послідовність операцій аналогічна, але знач-но ускладнюються таблиці спостережень і розрахункові формули.
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-20
lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...