Проведення експерименту і обробка його результатів

Після планування проводять безпосередньо сам експеримент. Для

кожного прийнятого поєднання факторів вимірюють значення параметрів оптимізації. За цими значеннями вже відразу приблизно видно, комбінація яких значень факторів є найкращою (близькою до оптимальної), а яка найгіршою. Однак перед тим, як перейти до оптимізації, необхідно виконати низку операцій з аналізування отриманих даних [7].

Насамперед, потрібно враховувати, що результати кожного досліду мають статистичну невизначеність. Вона існує за рахунок похибки вимірювання значень факторів і самого параметра Y, впливу неврахованих факторів і т.п. Тому якщо відтворити декілька разів дослід при одних і тих самих значення факторів, то кожний раз значення параметра оптимізації Y будуть різними. Звичайно, що дослідники намагаються при кожному сполученні значень факторів (“в кожній точці”) проводити по декілька повторних дослідів (n). Спочатку проводять обробку дослідів за звичайними формулами:

. (4.56)

де q – поточний номер повторного досліду (із загальної кількості n) при визначеному поєднанні значень факторів.

Потім можна порівнювати дві будь-які серії по n дослідів: щоб оцінити їх значимість, тобто зрозуміти суттєво чи ні відрізняються значення y при двох комбінаціях значень факторів (“в двох точках”); щоб визначити, чи дійсно ця відмінність мала порівняно з розкидом при відтворенні n дослідів при одних і тих самих значеннях факторів. Якщо в кожній точці похибки дослідів практично однакові, то використовується t-критерій (критерій Стьюдента):

, (4.57)

- середнє значення дослідів при визначеному поєднані значень факторів;

- середнє значення дослідів при іншому поєднані значень факторів

s- розкид значень y (однаковий в і ) дослідах.

Обчислене значення t порівнюють з табличним, яке знаходять для кількості ступенів свободи і рівня значимості a (часто приймають ). Якщо розрахункове значення t менше табличного, то з вірогідністю можна вважати, що різниці між серіями дослідів і немає, тобто їх відмінність незначна.

Обробка експериментальних результатів, врахування при необхідно-сті декількох складових похибок, виключення грубих помилок і т.п. вико-нується за методом теорії похибок .

Крім дисперсії в серії з n дослідів обчислюється також загальна дисперсія параметра оптимізації , яка інакше називається дисперсією відтворюваності експерименту . Цю дисперсію визначають за формулою:

, (4.58)

де i=1, 2, 3, …, N;

q=1, 2, 3, …,

n- кількість повторних дослідів, однакова по всій матриці.

При різній кількості дослідів n доводиться користуватися середнім зваженим значенням дисперсій, взятим з урахуванням кількості степенів свободи:

, (4.59)

де f₁ - кількість ступенів свободи в кожній серії дослідів (f₁=n-1).

Остання формула справедлива тільки в тому випадку, коли дисперсії s_i однорідні, тобто, серед них немає таких, які значно перевищують всі ін-ші. Перевірку однорідності часто проводять за різними критеріями. Для двох дисперсій застосовують критерій Фішера (F-критерій), який є відношенням більшої дисперсії до меншої. Якщо отримані значення відношення більше наведеного в таблиці для відповідних ступенів свободи і, відповідно, до вибраного рівня значимості, то дисперсії суттєво відрізняються одна від одної, тобто вони неоднорідні.

Приклад. Нехай

;

.

Розв’язок. Критерій Фішера .

Для ступенів свободи f₁=6, f₂=5 і рівня значимості 0,05 з таблиці А1 знаходимо значення 4,95. Значить, дисперсії неоднорідні.

Якщо порівнювана кількість дисперсій більша двох і одна дисперсія значно перевищує решту, можна скористатися критерієм Кохрена. Цей критерій використовується у випадках, коли кількість дослідів у всіх точках однакова. При цьому обчислюється дисперсія в кожному горизонтальному рядку матриці . Потім з усіх дисперсій вибирають найбільшу , яку ділять на суму всіх дисперсій. Критерій Кохрена G знаходять за формулою

(4.60)

і порівнюють з табличним значенням. Якщо табличне значення більше, ніж розраховане за цією формулою, то дисперсії однорідні (табл. А.2).

Приклад. Для результатів експерименту

. (4.61)

Таблиця 4.11 - Результати експерименту

№ досліду
	1,444	1,444	0,062	1,62	0,046	0,246	0,246	0,106

Табличне значення , тобто більше розрахункового. Отже, дисперсії однорідні:

. (4.62)

Якщо ж виникає припущення про наявність неоднорідності дисперсій, то цю неоднорідність потрібно перевірити. Для цього можна скористатися критерієм Бартлета (для розподілу, близького до нормального). Він доволі складний, тому іноді використовують (для кількості дисперсій більше двох) критерій Фішера. Тоді порівнюють з усієї низки дисперсій найбільшу і найменшу дисперсії. Якщо вони дещо відрізняються, то це означає, що всі дисперсії однорідні.

Щоб уникнути впливу систематичних похибок, викликаних зовнішніми умовами (фактори, що стають на заваді), необхідно досліди, які заплановані матрицею, проводити у випадковій послідовності. Цей прийом називається рандомізацією. Найпростіший спосіб полягає у використанні таблиці випадкових чисел, за якою вибирається послідовність проведення всіх дослідів, включаючи і дослідів в кожній точці.

Іншій підхід полягає в розбиванні матриці на блоки. Якщо експериментатор знає про зміну зовнішніх умов, він може планувати експеримент так, щоб ефект впливу цих умов був пов’язаний з визначеним впливом, яким можна знехтувати. Наприклад, матрицю 2³ можна розбити на два блоки таким чином, щоб ефект впливу умов позначився на величині трифакторної взаємодії, а усі лінійні коефіцієнти і парні взаємодії були вільні від цього впливу.

Після проведення експерименту проводять аналіз адекватності (відповідності) вибраної моделі (виду полінома) дослідним даним. Потім перевіряють значимість коефіцієнта за t-критерієм Стьюдента або побудовою довірчих інтервалів.

Прийняття рішень

Після проведення експерименту і обробки результатів подальші дії повинні будуватися на тому, щоб знайти оптимальне поєднання факторів і наблизити дослідну систему (процес) до оптимальної. При цьому, зазвичай, виділяють три етапи:

1) прийняття рішень після побудови моделі;

2) високе сходження по поверхні відгуку;

3) прийняття рішень після крутого сходження.

За адекватну модель приймають поліном, коефіцієнти якого є похідними параметрами оптимізації за відповідними змінними. Отриману математичну модель для попереднього аналізу перекладають на мову експериментатора (це називається інтерпретацією моделі). На першому етапі за коефіцієнтами роблять висновок про те, як і з яким знаком впливає фактор на параметр оптимізації. Якщо шукаємо максимум функції Y, то при цьому мають зростати додатні коефіцієнти. Якщо шукаємо мінімум Y, то при цьому мають зростати від’ємні коефіцієнти. Далі фактори розташовують в ряд за силою їх впливу на Y. Коефіцієнти, значення яких не впливають на результат, можна не враховувати.

Зміна інтервалів варіювання призводить до зміни коефіцієнтів регресії. Абсолютні значення коефіцієнтів регресії зростають зі збільшенням інтервалів. Знаки лінійних коефіцієнтів до екстремальної точки не змінюються, але вони можуть змінюватися, якщо ми “проскочимо” екстремум функції Y. Далі аналізуються ефекти взаємодії. Якщо ефект взаємодії двох факторів має додатний знак, то для збільшення Y потрібно одночасне збільшення або зменшення факторів, а для зменшення Y значення факторів повинні одночасно змінюватись в різних напрямках. Якщо ефект взаємодії має від’ємний знак, то для збільшення Y значення факторів повинні одночасно змінюватися в різних напрямках, а для зменшення Y потрібно одночасне збільшення або зменшення значень факторів.

Варіантів розв’язків є дуже багато, в залежності від поєднання можливих дій і ситуацій щодо адекватності, значимості коефіцієнтів і положення оптимуму. Серед “типових” рішень виділяють: рух по градієнту, план другого порядку, зміну інтервалів варіювання, відсівання незначних факторів, паралельні досліди, добудовування плану і інші [17]. Складові градієнта (найкоротший шлях до оптимуму) є похідними, оцінками яких є коефіцієнти регресії. Змінюючи незалежні змінні пропорційно величинам цих коефіцієнтів, будемо рухатися в напрямку градієнта найкоротшим шляхом. Така процедура називається високим сходженням. При цьому незначні фактори залишаються на вихідному рівні (+1 або –1), тоді як значимі змінюються з визначеним кроком. Щоб отримати значення Y, що лежить на градієнті, при зміні одного значимого фактора потрібно відповідний коефіцієнт помножити на крок варіювання. Значення кроку вибирається кожний раз конкретно з урахуванням необхідної точності знаходження оптимуму і можливої області зміни фактора. Приклад розрахунку високого сходження з використанням матриці планування результатів серії дослідів наведений нижче.

Приклад. Проведена серія експериментів. Отримані результати наведені в таблиці 4.12.

Таблиця 4.12 - Результати експерименту

Досліджуваний Фактор	х1	х2	Y (середній з двох паралельних дослідів)	Досліджуваний Фактор	х1	х2	Y (середній з двох паралельних дослідів)
Основний рівень	1,5	7,0	-	bj	-2,0	-4,5	-
Інтервал варіювання	0,5	1,0	-	bjx (інтервал варіювання)	-1,0	-4,5	-
Верхній рівень	2,0	8,0	-	Крок при зміні х2 на 0,5	-0,11	-0,5	-
Нижній рівень		6,0	-	Округлення	-0,1	-0,5	-
Кодування значень змінних	х1	х2	-	Досліди:
Досліди:			1,4	6,5	-
	-1	-1	95,0		1,3	6,0	-
	+1	-1	90,0		1,2	5,5	-
	-1	+1	85,0		1,1	5,0	-
	+1	+1	82,0		1,0	4,5	-

В результаті першої серії дослідів отримано адекватне рівняння регресії: тобто .

Всі коефіцієнти регресії значимі. Потрібно знайти значення Y, яке може досягти 99-100, тобто досягти таких значень, при яких область мінімуму була близькою. Необхідно здійснити високе сходження, тобто провести нову серію дослідів з такою варіацією , яка б дозволила знайти такі значення , при яких Yбуде максимальним.

Розглянемо етапи розрахунку високого сходження. Спочатку обчислимо складові градієнта, помножуючи відповідні коефіцієнти регресії на крок варіювання: .

Тепер додамо складові градієнта до основного рівня факторів. Тоді для досліду 5 отримаємо: . Для досліду 6 вже будемо мати нереальні, недопустимі значення : .

Отже, крок руху дуже великий, його потрібно зменшити в декілька разів. Відомо, що множення (ділення) складових градієнта на будь-яке додатне число дає точки, які також знаходяться на градієнті. Вибір кроку суворо не формалізований і визначається на підставі практичних міркувань. В даній задачі для Х₂ зручно вибрати крок 0,5, тобто зменшити складову градієнта в дев’ять разів порівняно з вибраною спочатку. В стільки ж разів потрібно зменшити і складову градієнта за Х₁,тобто взяти її такою, яка дорівнює 0,11, а з урахуванням округлення – 0,1.

Далі необхідно планувати досліди шляхом послідовного додавання складових градієнта до основного рівня. В результаті отримаємо серію дослідів високого сходження (в таблиці досліди 5-9). Ці досліди називаються "уявними" тому, що вони обчислюються, але не завжди проводяться. Іноді виконують розрахунок в якому-то уявному досліді параметра оптимізації. В даному прикладі це можна зробити, використовуючи рівняння регресії Y=88-2Х₁-4,5Х₂, підставивши замість Х₁ і Х₂ кодовані значення

.

Наприклад, для досліду 7 маємо: Х₁=-0,6; Х₂=-1,5; Х₇=95,95.

Для досліду 8: Х₁=-0,8; Х₂=-2; Х₈=98,6.

Експериментальні значення можуть і не співпадати з розрахунковими.

Реалізацію дослідів часто здійснюють послідовно. Для адекватної моделі починають з досліду, умови якого виходять за область експерименту хоча б за одним з факторів. Для неадекватної моделі досліди 1 і 2 виконуються в області експерименту. Після проведення перших дослідів проводять оцінку результатів і приймають рішення про припинення або подальше проведення експериментів (послідовний пошук).

Після високого сходження приймають рішення про подальші дії. Залежно від ситуації, що склалася, вони можуть бути різними.

Якщо високе сходження ефективне (тобто значення Y суттєво наближається до екстремуму) і область оптимуму близька, можливі два рішення: закінчення дослідження або добудова лінійного плану до плану другого порядку з метою більш точного опису області оптимуму. Якщо область оптимуму далека, рішення одне: побудова лінійного плану нового циклу. При незрозумілій ступені близькості потрібно переходити до нового лінійного плану. Якщо високе сходження виявилось неефективним, то при лінійній неадекватній моделі потрібно для грубої оцінки членів рівняння регресії проводити досліди для значень аргументів, які знаходяться в середині області їх зміни. При значимій величині квадратичних членів це свідчить про близькість до майже стаціонарної області. В такому випадку потрібно приступати до побудови плану другого порядку або закінчувати дослідження. При незначній сумі квадратичних членів рішення вибрати важко, тому переходять до побудови лінійного плану нового циклу.