БАГАТОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ

2. Вибираємо кнопку "Лабораторна робота №3" (рисунок 7.1).

Рисунок 7.1 - Початкова екранна заставка комп’ютерної моделі

генератора результатів вимірювань

3. За завданням викладача вводимо термін часу, через який беруться партії ізоляторів Y1 (наприклад, 5 років) і кінцеве значення Y2 (25 років), номер першого підприємства Х1 (наприклад 1) і номер останнього, п’ятого підприємства Х2 ( наприклад 5), крок зміни номера підприємства (наприклад, 1), кількість кроків зміни років (наприклад, 5), а кількість кроків зміни номера підприємства (наприклад, 4), початкове значення швидкості ультразвуку Z1 (наприклад, 5200) та кінцеве значення швидкості ультразвуку Z2 (наприклад, 5650) та натискаємо кнопку "Генерувати" (рисунок 7.2). На наступній екранній вкладці натискаємо на кнопку "Зберегти" (рисунок 7.3).

4. Отримані результати із файлу переписуємо в розрахункову таблицю 2.

5. Зменшуємо всі результати вимірювань, наведені в таблиці 7.2 на 4800 м/с

y_1,1,1 = 5126-4900=226 м/с; y_1,4,10=5249-4900=349 м/c.

6. Підносимо отримані результати до квадрата

(м/c)²;

(м/c)².

Рисунок 7.2 – Вигляд на екрані "вікна" для введення меж зміни

вимірюваної величини.

Рисунок 7.3 - Запис імені файлу для збереження результатів вимірювань

7. Обчислимо середні арифметичні серій з m повторних спостережень для кожного об’єднання рівнів j і g факторів x₁ і x₂. Так для j=1 та g=1 знаходимо середнє значенняшвидкостей для 10 ізоляторів Вели-колуцького заводу, які були виготовлені п’ять років назад

=

=(226+61+157-80+42+172-26+324+337-126)/10=108,7 м/с.

8. Середні арифметичні по рядках з =4·10=40 паралельних спостережень для будь-якого j-го рівня фактора x₁ . Для всіх досліджуваних ізоляторів Великолуцького заводу

(108,7+103,3+144,7+108,4)/4=116,28 м/с.

9. Cередні арифметичні по рядках з =5·10=50 паралельних спостережень для будь-якого g-го рівня фактора x₂. Для всіх досліджуваних ізоляторів всіх заводів, які були виготовлені п’ять років назад

150,22 м/с.

10. Загальне середнє арифметичне всіх =5·4·10=200 спостережень для всіх =5·4=20 варіантів рівнів

=106 м/с.

ДВОФАКТОРНИЙ АНАЛІЗ

Рисунок 7.4 - Приклад вмісту файлу результату

11. Загальна сума квадратів характеризує розсіювання окремих спостережень у загальній сукупності за рахунок впливу усіх факторів

де

=3892505 (м/c)².

12. Сума квадратів відхилень "всередині серій". Сума характеризує розсіювання окремих спостережень за рахунок впливу фактора випадковості

=3544360 (м/c)².

13. Сума квадратів відхилень "між рядками". Сума σ² / (U₂×m) характеризує розсіювання середніх по рядках в результаті дії фактора випадковості (з дисперсією середнього рядка σ² / (U₂×m)), фактора x₁ (з дисперсією ) і фактора взаємодії (з дисперсією середнього для кожного рядка ) = 56532,02 (м/c)².

14. Сума квадратів відхилень "між стовпцями". Сума характеризує розсіювання середніх по стовпцях в результаті дії фактора випадковості (з дисперсією середнього стовпця ), фактора x₂ (з дисперсією ) і фактора взаємодії (з дисперсією стовпця ),

=132824,3 (м/c)².

15. Сума квадратів відхилень "між серіями". Сума характеризує розсіювання середніх серій в результаті дії фактора випадковості (з дисперсією середнього серії ) і фактора взаємодії (з дисперсією )

=158788 (м/c)².

Суми квадратів S, S₀, S₁, S₂, S₁₂, розділені кожна на відповідну їй кількість ступенів свободи n, n₀, n₁, n₂, n₁₂, дають незміщені оцінки дисперсії відновлення s².

16. Вибіркова загальна дисперсія за всіма спостереженнями

=

=19560 (м/c)²

з кількістю ступенів свободи =5·4·10-1=199.

17. Вибіркова дисперсія розсіювання "всередині серій", або залиш- кова оцінка, є середньозваженою дисперсією за всіма серіями спостережень =17811(м/c)²

з кількістю ступенів свободи

=5·4·(10-1)=180.

18. Вибіркова дисперсія розсіювання "між рядками"

=14133 (м/c)²

з кількістю ступенів свободи

=5-1=4.

19. Вибіркова дисперсія розсіювання "між стовпцями"

=33206 (м/c)²

з кількістю ступенів свободи

4-1=3.

20. Вибіркова дисперсія розсіювання "між серіями"

=12214 (м/c)²

з кількістю ступенів свободи

12.

Кількість ступенів свободи перевіряється за співвідношенням

.

21. Оцінка впливу факторів

Аналіз значимості впливу факторів x₁, x₂ і їхньої взаємодії x₁, x₂ проводиться за критерієм Фішера при обраному рівні значимості q=5% у такому порядку:

розрахункове значення критерію Фішера при оцінюванні впливу першого фактора - підприємства, яке виготовляє ізолятори

,

табличне значення

3,26,

як бачимо,

а тому вплив фактора підприємства на граничну швидкість ультразвуку – несуттєвий.

, (8.13)

де .

Пояснимо, як треба розуміти критерій D-оптимальності. Виявилося, що D-оптимальний план мінімізує об’єм довірчого еліпсоїда на безлічі всіх планів в області G. Довірчий еліпсоїд - це такий еліпсоїд, що накриває справжні значення коефіцієнтів з даним рівнем імовірності. Оскільки об’єм цього еліпсоїда V пропорційний , то мінімізація цього визначника по безлічі планів в області G забезпечить мінімальний об’єм.

Наведемо ще кілька критеріїв оптимальності:

1. А-оптимальність. План називається А-оптимальним, якщо його коваріаційна матриця має мінімальний слід (тобто мінімальну суму діагональних елементів). Це відповідає мінімумові середньої дисперсії оцінок параметрів.

2. Е-оптимальность. План називається Е-оптимальним, якщо він мінімізує максимальне власне число коваріаційної матриці оцінок .

3. G-оптимальність. План називається G-оптимальним, якщо він забез-печує найменшу за всіма планами величину максимальної дисперсії передвіщених значень рівняння регресії.

4. План, який мінімізує максимальний діагональний елемент коваріаційної матриці (тобто максимальну дисперсію оцінок параметрів).

Усі наведені критерії були сформульовані для точних планів, тобто для планів з фіксованою кількістю спостережень N.

Розглянемо тепер методи побудови D оптимальних планів.

При побудові D -оптимальних планів можливі дві постановки задачі. При першій з них задається кінцева кількість N спостережень і шукається таке розташування експериментальних точок, при якому буде виконана умова (8.13). Отримані в такий спосіб D-оптимальні плани називаються точними. Якщо ці плани концентруються в h£ N точках, в кожній з яких кількість вимірювань дорівнює N×L то частота повторень спостережень у l-ній точці буде . Тому . Основна властивість, яка характеризує точні плани, це те, що N_t - ціле число.

Можлива й інша постановка задачі. Вона зв’язана з поняттям узагальненого плану. Узагальненим (або безперервним) планом називається сукупність 2h чисел

(8.15)

.

Де - точки, в яких проводяться спостереження, а W_l - частка спостережень в даній точці при загальній кількості спостережень, прийнятій за одиницю.

В даному випадку

але - це будь-які дійсні числа, у тому числі й ірраціональні. Отже, такі плани не зв’язані з якоюсь конкретною кількістю спостережень.

Безперервні плани - це математична абстракція, що необхідна для спрощення задачі побудови D-оптимальних планів. Виявилося, що безперервні D-оптимальні плани можуть бути побудовані аналітично для деяких видів рівняння регресії.

Для безперервних D-оптимальних планів була сформульована і доведена теорема еквівалентності, відповідно до якої безперервний D-оптимальний план є одночасно і G-оптимальним, тобто мінімізує , причому

, (8.16)

де k - кількість коефіцієнтів регресії;

N - кількість точок експериментального плану. Рівняння (16) дозволяє оцінювати відхилення даного плану від D-оптимального. Відносне відхилення можна оцінити за формулою:

. (8.17)

На основі теореми еквівалентності була створена розрахункова процедура, яка дозволяє будувати безперервні D-оптимальні плани для довільного виду рівняння регресії і довільної форми області планування G.

Надалі будемо розглядати лише безперервні D-оптимальні плани. При реалізації безперервних D-оптимальних планів на практиці застосовується послідовна стратегія експериментування, при якій точка постановки нового експерименту визначається, виходячи з результатів попередніх експериментів.

При цьому виникають дві основні проблеми:

- доцільність продовження експерименту для уточнення оцінок параметрів;

- вибір наступної експериментальної точки з точок D-оптимального плану, якщо прийнято рішення про продовження експерименту.

Послідовний D-оптимальний експеримент організується так:

- вибирається початковий план, який є підмножиною точок D-оптималь-ного плану;

- перевіряється виконання умови припинення експериментування (як буде

показано нижче, момент припинення не залежить від результатів експерименту y_g );

- якщо не прийняте рішення про припинення спостережень, то вибирається

найкраща точка постановки наступного експерименту.

Розглянемо реалізацію правила припинення. Будемо вважати, що нам дана допустима точність визначення оцінок :

(8.18)

де — оцінка після D-спостережень, яка повинна бути забезпечена з деякою заданою імовірністю. Умова (8.18) означає, що точка дійсних значень коефіцієнтів з імовірністю Р знаходиться в середині сфери радіуса r з центром у точці Область у просторі параметрів, обмежену сферою (8.18), позначимо через W_N і назвемо її допустимою. Спостереження припиняються, коли N досягне такого значення, при якому

. (8.19)

Скористаємося поняттям довірчого еліпсоїда. Довірчий еліпсоїд визначає область у просторі , яка накриває вектор дійсних значень параметрів з імовірністю P. Рівняння довірчого еліпсоїда записується так:

, (8.20)

де - відсоткова точка розподілу s² для кількості ступенів свободи k.

Умова припинення (8.19) буде виконана, якщо довірчий еліпсоїд знаходиться в середині сфери (8.18), яка визначає допустиму область.

Це буде матиме, коли

, (8.21)

де l_{N, min} - мінімальне власне число матриці .