Количественные характеристики надежности

Основные понятия теории надежности

Надежность — свойство объекта сохранять во времени в установ­ленных пределах значения всех параметров, характеризующих способ­ность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транс­портировки.

В зависимости от условий решаемой задачи один и тот же объект может именоваться системой или элементом. Под системой (системой элементов) обычно понимают объект, в котором необходимо и возмож­но различать определенные взаимозависимые части, соединенные вое­дино. Элемент — определенным образом ограниченный объект, рас­сматриваемый как часть другого объекта.

Основные понятия:

1) Исправность - состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией (НТД).

2) Неисправность - состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований, установленных НТД.

3) Работоспособность - состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров (параметров, характеризующих способность объекта выполнять заданные функции) в пределах, установленных в НТД.

4) Неработоспособность - состояние объекта, при котором значение хотя бы одного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям, установленным НТД.

Работоспособность и неработоспособность могут быть полными или частичными. Полностью неработоспособный объект применять по назначению невозможно, а частично работоспособный можно, но при этом эффективность его использования снижается.

Работоспособный объект может быть неисправным, однако отклонения от требований НТД при этом не настолько существенны, чтобы нарушалось нормальное функционирование. Например, внешний вид не соответствует требованиям НТД, но это никак не отражается на функционировании объекта.

5) Предельное состояние - состояние объекта, при котором его дальнейшее применение по назначению должно быть прекращено из-за неустранимого нарушения требований безопасности или неустранимого отклонения заданных параметров за установленные пределы, недопустимого увеличения эксплуатационных расходов или необходимости проведения капитального ремонта.

Признаки предельного состояния устанавливаются НТД на данный объект. Обычно это один из следующих признаков:

Для невосстанавливаемых объектов:

- возникновение отказа

- достижение заранее установленного предельно допустимого значения срока службы или суммарной наработки, устанавливаемых из соображений безопасности эксплуатации (в связи с необратимым снижением эффективности использования ниже допустимой или в связи с увеличением интенсивности отказов, закономерным для объектов данного типа после установленного периода эксплуатации).

Для восстанавливаемых объектов:

- невозможность поддержания безопасности, безотказности или эффективности объекта на минимально допустимом уровне.

- в результате изнашивания и/или старения объект пришел в такое состояние, при котором ремонт требует недопустимо больших затрат или не обеспечивает необходимой степени восстановления исправности или ресурса.

6) Повреждение - нарушение исправности объекта, при сохранении его работоспособности.

7) Отказ - нарушение работоспособности объекта.

8) Критерий отказа - отличительный признак или совокупность признаков, согласно которым устанавливается факт отказа.

9) Восстановление - процесс обнаружения и устранения отказа (повреждения) с целью восстановления работоспособности (исправности) объекта.

10) Восстанавливаемый объект - объект, работоспособность которого в случае возникновения отказа подлежит восстановлению в рассматриваемых условиях.

11) Невосстанавливаемый объект - объект, работоспособность которого в случае возникновения отказа не подлежит восстановлению в рассматриваемых условиях.

Один и тот же объект в зависимости от особенностей или этапов эксплуатации может считаться восстанавливаемым или невосстанавливаемым. Если в рассматриваемой ситуации восстановление работоспособности данного объекта при его отказе по каким-либо причинам признается нецелесообразным или неосуществимым, то такой объект в данной ситуации признается невосстанавливаемым.

12) Наработка - продолжительность или объем работы объекта (если объект работает с перерывами, то говорят о суммарной наработке). Наработка может измеряться в единицах времени, циклах, единицах выработки и т.д. В процессе эксплуатации различают суточную, месячную наработку, наработку до первого отказа, наработку между отказами и т.д.

13) Технический ресурс - наработка объекта от начала эксплуатации до достижения предельного состояния.

Если в НТД не указано, какой именно технический ресурс имеется ввиду (до капремонта, до списания и т.д.), то имеется ввиду ресурс от начала эксплуатации до достижения предельного состояния после всех ремонтов (т.е. до списания).

14) Срок службы - календарная продолжительность эксплуатации объекта от ее начала или возобновления после капитального ремонта до наступления предельного состояния.

15) Срок сохраняемости - календарная продолжительность хранения и/или транспортирования объекта в заданных условиях, в течение и после которой сохраняются значения установленных показателей (в т.ч. показателей надежности) в заданных пределах.

16) Надежность - свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки.

Надежность - это комплексное свойство, которое, в зависимости от назначения объекта, может включать в себя в различных сочетанияхтакие понятия, как безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость.

17) Безотказность - свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторой наработки или в течение некоторого времени.

18) Долговечность - свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния с необходимым прерыванием для техобслуживания и ремонтов.

19) Ремонтопригодность - свойство объекта быть приспособленным к предупреждению и обнаружению отказов и повреждений, к восстановлению работоспособности и исправности в процессе техобслуживания и ремонта.

20) Сохраняемость - свойство объекта непрерывно сохранять исправное и работоспособное состояние в течение и после хранения и/или транспортировки.

21) Показатель надежности - это техническая характеристика, количественным образом определяющая одно или несколько свойств, составляющих надежность объекта.

Для показателей надежности используются две формы представления: вероятностная и статистическая. Вероятностная форма обычно удобнее при априорных аналитических расчетах, а статистическая - при экспериментальных исследованиях.

Характеристики безотказности

· вероятность безотказной работы P(t);

Вероятность безотказной работы - вероятность того, что в переделах заданной наработки отказа объекта не возникнет. В свою очередь наработка - продолжительность или объем работы объекта.

Обозначим вероятность безотказной работы Р(t). Пуст t –время, в течение которого необходимо определить вероятность безотказной работы (заданное время); Т₁ - время работы аппаратуры от ее включения до отказа.

Тогда согласно определению

Р(t) = Р(Т₁≥ t) (1)

Т.е. вероятность того, что время Т₁ от момента включения аппаратуры до его отказа будет больше или равно времени t , в течении которого определяется вероятность безотказной работы. Р(t) есть функция времени.

Основные свойства функции Р(t).

1.Является убывающей функцией времени.

2.0 ≤ P(t) ≤ 1.

3.Р(0) = 1, Р(∞) = 0.

· средняя наработка до отказа Тср;

· гамма-процентная наработка до отказа Тγ;

· Средняя наработка на отказ

· интенсивность отказов λ(t);

· параметр потока отказов ω(t);

Характеристики долговечности

СС – сложная система - система является сложной, если она состоит из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов и способна выполнять сложную функцию

Долговечность - Свойство объекта сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта.

1. Уникальность и малосерийностъ большой номенклатуры конструктивных элементов СС.

2.Функциональная избыточность. Простая система может находиться только в двух состояниях: состоянии работоспособности (исправном) и состоянии отказа. При отказе любого элемента простая система либо полностью прекращает выполнение своей функции, либо продолжает СС выполнение в полном объеме, если отказавший элемент резервирован СС при отказе отдельных элементов и даже целых подсистем, как правило не теряет работоспособность, зачастую только снижаются характеристики СС эффективности. Это свойство СС обусловлено их функциональной избыточностью и. в свою очередь, затрудняет формулировку понятия отказа системы.

3.Большая длительность эксплуатации. Эта особенность СС выдвигает на мерный план проблему обеспечения не только их высокой безотказности. но и долговечности.

4. Высокая надежность элементов Отказы СС являются крайне редкими событиями. Объем статистической информации о работоспособности СС в процессе эксплуатации невелик.

Характеристики сохраняемости

Сохроняемость - Свойство объекта сохранять в заданных пределах значения параметров, характеризующих способности объекта выполнять требуемые функции, в течение и после хранения или транспортирования.
Ее основными показателями являются:
- средний срок сохраняемости (среднее время хранения, в течение
которого изменения параметров системы или ее элементов не превышают
допустимых);
- гарантированный (гамма-процентный) срок сохраняемости, т.е. срок
сохраняемости, достигаемый с заданной вероятностью γ, выраженной в
процентах.

Проверка и испытание программ

Испытания программ на надёжность и испытания изделий на надёжность их программного обеспечения - обязательные этапы при проверке надёжности систем.

Испытания с целью проверки надёжности программ осуществляются с помощью специальных программ (тестирование) и специальных (имитационных) стендов. Проверяется при этом степень отработанности программы и её соответствие заданным требованиям.

Испытания с целью проверки надёжности изделий, работающих под управлением программ, осуществляются при совместной работе программы и изделия. Проверяются при этом и степень отработанности программы в соответствии с заданными требованиями, и корректность этих требований, и согласованность взаимодействий программы и аппаратуры.

Степень отработанности программы может проверяться различными методами. Чем выше требование к достоверности проверки, тем более сложен метод проверки.

Рассмотрим один из наиболее простых методов. В процессе проверки “корректности” программы (с помощью наблюдений за работой либо изделия, либо имитирующего устройства, либо на специальном стенде с помощью тестов) фиксируются времена обнаружения ошибок в программе. Результаты проверки обрабатываются при следующих предположениях: 1) ошибки программы независимы. Каждый раз после обнаружения они устраняются и в дальнейшем не проявляются. 2) интенсивность ошибок уменьшается по мере их обнаружения и устранения (ступенчато, как показано на рисунке 3.1).

Выявление и устранение ошибок производится до тех пор, пока значение будет меньше заданного значения. Заданное значение назначается с учётом требований к надёжности изделия. Ориетировочно можно исходить из того, что интенсивность программных ошибок, приводящих к отказу, на этапе отладочных испытаний должна быть не больше интенсивности аппаратурных отказов.

Положение о том, что при создании программного обеспечения больших систем возможно возникновение ошибок и что выявление программных ошибок - чрезвычайно трудная задача, не только не должно обезоруживать разработчиков систем, а наоборот, должно ориентировать их на максимальное сосредоточение сил для ликвидации программных отказов.

Влияние программных ошибок на надёжность изделия должно непрерывно уменьшаться с каждым новым этапом освоения программ (разработка - отладка - опытная эксплуатация - нормальная эксплуатация) так, чтобы на этапе нормальной эксплуатации объекта программная надёжность его была на уровне заданных требований.

Основные понятия теории вероятности и математической статистики

Вероятность - числовая характеристика степени возможности появления случайного события в определённых условиях, которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз.
Событие. Первичным (неопределяемым) понятием в теории вероятностей является понятие события. Под событием понимается всякое явление, о котором можно говорить, что оно происходит (имеет место) или не происходит.

Событиями являются и результаты различных опытов, наблюдений и измерений.

Например:

1) из ящика с разноцветными шарами наугад вытаскивают белый шар;

2) на один из приобретенных лотерейных билетов выпал выигрыш;

3) при бросании игральной кости выпала цифра 6.

События делятся на достоверные, случайные и невозможные.

Достоверным называется событие, если оно обязательно произойдет в данном испытании.

Случайным называется событие, если оно может произойти, но может и не произойти в данном испытании.

Невозможным называется событие, если оно не может произойти в данном испытании.

Наступление каждого события зависит от многих факторов, заранее учесть которые обычно невозможно. Однако в случае совокупности однородных (массовых) событий можно обнаружить закономерности, позволяющие предсказать, насколько достоверно наступление того или иного события, т.е. насколько это событие вероятно.

За единицу принимают вероятность достоверного события, а вероятность невозможного события считают равной нулю. Тогда вероятность Р любого события А удовлетворяет неравенству:

0≤Р(А)≤1.

Несовместными называются события, если появление одного из них

исключает появление другого (всех остальных)

Пример. Опыт состоит в подбрасывании монеты, событие А – выпадение орла, событие В – выпадение решки. Эти события несовместны, равновозможны и единственно возможны.

Равновозможными называются события, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Единственно возможными называются события, если в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит. Говорят, что единственно возможные события образуют полную группу событий.

Рассмотрим классический метод определения вероятности некоторого случайного события. Пусть в результате некоторого опыта могут наступить события А₁, А₂, А₃, …, А_n (элементарные исходы опыта), которые являются:

1)единственно возможными, т.е. в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит;

2)несовместными, т.е. появление одного из них исключает появление всех остальных;

3)равновозможными, т.е. не существует никаких причин, в связи с которыми одно из событий появлялось бы чаще, чем остальные.

Пусть при появлении некоторых из этих событий наступает событие А. Обозначим число таких событий k (k≤n). А при появлении остальных (n-k) событий событие А не наступает. Говорят, что k событий (элементарных исходов), при которых появляется событие А, благоприятствуют событию А, а остальные (n-k) событий не благоприятствуют ему.

Вероятностью события А называется отношение числа kэлементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов испытания n, если они равновозможны, несовместны и единственно возможны.

21. Сложные системы

Под системой в теории надежности понимается совокупность эле­ментов (или подсистем), объединенных конструктивно или функциона­льно в соответствии с заданным алгоритмом взаимодействия при вы­полнении определенной задачи в процессе применения по назначению. В теории систем считается, что система является сложной, если она со­стоит из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов (подсистем) и способна выполнять сложную функцию. Сложная система состоит из множества подсистем и имеет функциональную избыточность. Сложная система при отказе отдельных элементов и даже целых подси­стем не всегда теряет работоспособность, зачастую только снижаются характеристики ее эффективности. Отказ сложной системы целесообразно определять как событие, обусловленное выходом харак­теристик эффективности за установленный допустимый предел. Для сложных систем предположение о "близости структурной и функциона­льной надежности неприемлемо. Это объясняется тем, что на показате­ли надежности сложных систем большое влияние оказывают не струк­турные факторы, а математическое и программное обеспечение, работа операторов и т.п.

характерные особенности:

• уникальный характер конструкции;

• большая сложность;

• широкий спектр конструктивных элементов и подсистем (меха­нических, электрических, радиоэлектронных и других);

• высокая безотказность элементной базы;

• разнообразие действующих нагрузок (механических, тепловых, радиационных, электромагнитных и других);

• разнородность процессов, протекающих в элементах;

• структурная и функциональная избыточность;

• большое количество точек контроля и объектов управления;

• разнообразие отказов (по характеру, экономическим потерям, экологии, престижности и т.п.);

• восстанавливаемость и плановая профилактика;

• наличие человека в контуре управления.

22. Надежность оператора. Отказ оператора. Ошибка оператора.

Оперативный персонал(оператор) является неотъемлимой частью контура управления сложными системами. Его надежность непосредственно влияет на надежность системы вцелом.

Надежность оперативного персонала(процессуальная) – способность оперативного персонала безотказно работать.

Надежность оперативного персонала(прагматическая) – свойство достигать результат, независимо от того как складывался процесс деятельности.

Надежность оператора характеризуется показателями:

• безотказности — вероятность безотказной работы в течение оп­ределенного отрезка времени, процент выполненных (не со­рванных отказами) заданий, вероятность появления отказа в результате совершения ошибки, интенсивность и частота отка­зов в заданный момент времени, среднее время работы до пер­вого отказа, среднее время работы между двумя отказами (нара­ботка на отказ), общее число отказов за данный промежуток времени;

• безошибочности — вероятность безошибочной работы в течение определенного отрезка времени, общее число ошибок за данный промежуток времени, вероятность ошибки как отношение коли­чества совершенных ошибок к числу возможных ошибок;

• своевременности — вероятность своевременного выполнения ра­боты, т.е. фактическое время выполнения функции меньше пре­дельно допустимого (оценка своевременности опирается на оцен­ку быстродействия, показателем которого является время решения задачи или выполнения функции);

• готовности — коэффициент готовности оператора (вероятность включения оператора в работу в нужный момент времени);

• восстанавливаемости — вероятность исправления допущенной ошибки, среднее время восстановления.

Отказ оператора - полная или частичная потеря ра­ботоспособности, в результате которой человек перестает удовлетворять хотя бы одному из требований, установленных для данного вида деяте­льности;

Ошибками оператора называются все его неправильные действия, которые не влекли за собой отказ системы, а если и влекли, то были своевременно исправлены или парированы самим же оператором.

Основные понятия теории надежности

Надежность — свойство объекта сохранять во времени в установ­ленных пределах значения всех параметров, характеризующих способ­ность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транс­портировки.

В зависимости от условий решаемой задачи один и тот же объект может именоваться системой или элементом. Под системой (системой элементов) обычно понимают объект, в котором необходимо и возмож­но различать определенные взаимозависимые части, соединенные вое­дино. Элемент — определенным образом ограниченный объект, рас­сматриваемый как часть другого объекта.

Основные понятия:

1) Исправность - состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией (НТД).

2) Неисправность - состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований, установленных НТД.

3) Работоспособность - состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров (параметров, характеризующих способность объекта выполнять заданные функции) в пределах, установленных в НТД.

4) Неработоспособность - состояние объекта, при котором значение хотя бы одного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям, установленным НТД.

Работоспособность и неработоспособность могут быть полными или частичными. Полностью неработоспособный объект применять по назначению невозможно, а частично работоспособный можно, но при этом эффективность его использования снижается.

Работоспособный объект может быть неисправным, однако отклонения от требований НТД при этом не настолько существенны, чтобы нарушалось нормальное функционирование. Например, внешний вид не соответствует требованиям НТД, но это никак не отражается на функционировании объекта.

5) Предельное состояние - состояние объекта, при котором его дальнейшее применение по назначению должно быть прекращено из-за неустранимого нарушения требований безопасности или неустранимого отклонения заданных параметров за установленные пределы, недопустимого увеличения эксплуатационных расходов или необходимости проведения капитального ремонта.

Признаки предельного состояния устанавливаются НТД на данный объект. Обычно это один из следующих признаков:

Для невосстанавливаемых объектов:

- возникновение отказа

- достижение заранее установленного предельно допустимого значения срока службы или суммарной наработки, устанавливаемых из соображений безопасности эксплуатации (в связи с необратимым снижением эффективности использования ниже допустимой или в связи с увеличением интенсивности отказов, закономерным для объектов данного типа после установленного периода эксплуатации).

Для восстанавливаемых объектов:

- невозможность поддержания безопасности, безотказности или эффективности объекта на минимально допустимом уровне.

- в результате изнашивания и/или старения объект пришел в такое состояние, при котором ремонт требует недопустимо больших затрат или не обеспечивает необходимой степени восстановления исправности или ресурса.

6) Повреждение - нарушение исправности объекта, при сохранении его работоспособности.

7) Отказ - нарушение работоспособности объекта.

8) Критерий отказа - отличительный признак или совокупность признаков, согласно которым устанавливается факт отказа.

9) Восстановление - процесс обнаружения и устранения отказа (повреждения) с целью восстановления работоспособности (исправности) объекта.

10) Восстанавливаемый объект - объект, работоспособность которого в случае возникновения отказа подлежит восстановлению в рассматриваемых условиях.

11) Невосстанавливаемый объект - объект, работоспособность которого в случае возникновения отказа не подлежит восстановлению в рассматриваемых условиях.

Один и тот же объект в зависимости от особенностей или этапов эксплуатации может считаться восстанавливаемым или невосстанавливаемым. Если в рассматриваемой ситуации восстановление работоспособности данного объекта при его отказе по каким-либо причинам признается нецелесообразным или неосуществимым, то такой объект в данной ситуации признается невосстанавливаемым.

12) Наработка - продолжительность или объем работы объекта (если объект работает с перерывами, то говорят о суммарной наработке). Наработка может измеряться в единицах времени, циклах, единицах выработки и т.д. В процессе эксплуатации различают суточную, месячную наработку, наработку до первого отказа, наработку между отказами и т.д.

13) Технический ресурс - наработка объекта от начала эксплуатации до достижения предельного состояния.

Если в НТД не указано, какой именно технический ресурс имеется ввиду (до капремонта, до списания и т.д.), то имеется ввиду ресурс от начала эксплуатации до достижения предельного состояния после всех ремонтов (т.е. до списания).

14) Срок службы - календарная продолжительность эксплуатации объекта от ее начала или возобновления после капитального ремонта до наступления предельного состояния.

15) Срок сохраняемости - календарная продолжительность хранения и/или транспортирования объекта в заданных условиях, в течение и после которой сохраняются значения установленных показателей (в т.ч. показателей надежности) в заданных пределах.

16) Надежность - свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки.

Надежность - это комплексное свойство, которое, в зависимости от назначения объекта, может включать в себя в различных сочетанияхтакие понятия, как безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость.

17) Безотказность - свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторой наработки или в течение некоторого времени.

18) Долговечность - свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния с необходимым прерыванием для техобслуживания и ремонтов.

19) Ремонтопригодность - свойство объекта быть приспособленным к предупреждению и обнаружению отказов и повреждений, к восстановлению работоспособности и исправности в процессе техобслуживания и ремонта.

20) Сохраняемость - свойство объекта непрерывно сохранять исправное и работоспособное состояние в течение и после хранения и/или транспортировки.

21) Показатель надежности - это техническая характеристика, количественным образом определяющая одно или несколько свойств, составляющих надежность объекта.

Для показателей надежности используются две формы представления: вероятностная и статистическая. Вероятностная форма обычно удобнее при априорных аналитических расчетах, а статистическая - при экспериментальных исследованиях.

Количественные характеристики надежности

Показатели надежности — это количественная характеристика од­ного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта. Если показатель надежности характеризует одно из свойств надежности, то он называется единичным, если же несколько свойств — комплексным показателем надежности. Единичные показатели надежности объектов приведены в таблице:

Вероятность безотказной работы. Под вероятностью безотказной работы (ВБР) объекта понимается вероятность того, что в пределах за­данной наработки отказ объекта не возникнет. ВБР является основной количественной характеристикой безотказности объекта на заданном временном интервале. Если обозначить через Р время непрерывной ис­правной работы объекта от начала работы до первого отказа, а через t — время, за которое необходимо определить ВБР, то ВБР записывает­ся в виде:

P(t) = P{T ≥ t}, t ≥ 0.

Случайная величина Т является неотрицательной и имеет дискрет­ное или непрерывное распределение. Функция ВБР наиболее полно определяет надежность объекта. Она обладает следующими очевидными свойствами:

1) 1 ≥ P(t) ≥ 0; 2) P(0) = 1, P(∞) = 0

Статистически ВБР равна:

где N₀ — число объектов в начале испытаний; п, — число отказавших объектов в интервале времени Δt, t — время, для которого определяется ВБР; N(t) — число объектов, исправно работающих на интервале [0,t].

Вероятность того, что отказ объекта произойдет за время, не превы­шающее заданной величины t, т.е. что Т < t, как вероятность события, противоположного тому, при котором t≤ Т, равна

Q(t) = Р{Т< t} = 1 – P(t), 0 < t.

Функция Q(t) представляет собой интегральную функцию распреде­ления случайной величины, т.е. Q(t) — F(t). Если функция Q(t) диффе­ренцируема, то производная от интегральной функции распределения есть дифференциальный закон (плотность) распределения случайной величины Т — времени исправной работы:

dF(t)/dt = dQ(t)/dt = f(t), f(t) = - dP(t)/dt

Таким образом, безотказность объекта также можно характеризо­вать плотностью вероятностей момента первого отказа. Статистически вероятность отказа равна:

Плотность вероятности f(t) статистически определяется по формуле:

f( ) = /(N₀

где Δn(Δt) — число отказов за интервал времени Δt. Очевидно, что:

Q(t) = ( )d и P(t) = ( )d

Средняя наработка до отказа. Функции распределения (интеграль­ная функция или плотность) полностью характеризуют случайную ве­личину. Однако для решения некоторых задач достаточно знать только несколько моментов случайной величины. Напомним, что моментом k-го порядка называют интеграл:

m_k =

если величина этого интеграла конечна. В теории надежности чаще все­го используют моменты первых двух порядков. Момент первого поряд­ка (математическое ожидание) наработки до первого отказа m₁{T} обозначают Т_ср и называют средней наработкой до отказа (или средним временем безотказной работы):

T_ср = .

Статистическая средняя наработка до отказа однотипных объектов равна:

T_cp ≈ 1/N₀

Где t — время исправной работы j-го объекта.

Гамма-процентная наработка до отказа Т_у% — это наработка, в тече­ние которой отказ объекта не возникнет с вероятностью у, выраженной в процентах. Гамма-процентная наработка определяется из уравнения:

При у ⁼ 100% гамма-процентная наработка называется установлен­ной безотказной наработкой, при у — 50% гамма-процентная наработка называется медианной наработкой.

Средняя наработка на отказ — это отношение наработки восстанав­ливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки

T₀ ≈ 1/n

где t_срi — время исправной работы между (i- 1)-м и i-м отказами объ­екта; п — число отказов объекта.

При достаточно большом числе отказов t_ср будет стремиться к сред­нему времени между двумя соседними отказами. Если испытания про­водятся не с одним, а с несколькими однотипными объектами, то сред­нее время между отказами можно определить из выражения:

T₀ ≈ 1/M

где М — число объектов.

Интенсивность отказов — это отношение числа отказавших объек­тов в единицу времени к среднему числу объектов, продолжающих исп­равно работать в данный интервал времени:

Λ(t) = ,

где Δn(Δt) — число отказов объекта за промежуток времени от (t - Δt/2) до(t + Δt/2)

N(t) = (N_i-1+N_i)/2,

N_i-1 — число исправно работающих объектов в начале интервала време­ни Δt; — число исправно работающих объектов в конце интервала времени Δt.

Параметр потока отказов — это отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к зна­чению этой наработки. Параметр потока отказов ω(t) используют в ка­честве показателя безотказности восстанавливаемых объектов, эксплуа­тация которых может быть описана следующим образом: в начальный момент времени объект начинает работу и работает до отказа; после от­каза происходит восстановление работоспособности и объект вновь ра­ботает до отказа и т.д. При этом время восстановления не учитывается: принимается, что восстановление работоспособности происходит как бы мгновенно. Для таких объектов моменты отказов на оси суммарной наработки или на оси непрерывного времени образуют поток отказов. В качестве характеристики потока отказов используют «ведущую функ­цию» Ω (f) данного потока — математическое ожидание числа отказов за время t:

Ω(t) = M{n(t)}.

Параметр потока отказов ω(t) характеризует среднее число отказов ожидаемых на малом интервале времени, и равен:

ω(t) = Ω’(t) =

Параметр потока отказов связан с ведущей функцией соотношением:

Ω(t) =

Статистически параметр потока отказов можно определить по формуле:

ω(t) = n₁( )/(N₀ ,

где n₁( ) – общее