Аналитическое выравнивание по показательной кривой

В некоторых случаях, например, в процессе ввода в действие и освоения новых производственных мощностей, для динамического ряда может быть характерно быстрорастущее изменение уровней, т.е. цепные темпы роста уровней могут существенно повышаться. При графическом изображении такого ряда эмпирическая линия по форме приближается к экспоненте (показательной кривой). С учетом этих и других особенностей характера динамики аналитическое выравнивание уровней, т.е. расчет их теоретических значений, может быть проведен путем применения способа показательной кривой.

Онавыражается следующим уравнением:

(9.29)

где: – выровненное значение уровня динамического ряда; а, в – параметры уравнения; t – отклонения порядкового номера уровня от срединного номера.

Это выражение путем логарифмирования можно превратить в уравнение прямой линии: .

Поскольку в уравнении прямой линии (9.20) параметр а параметр то соответственно этому Если рассчитать значения логарифмов, то нетрудно найти параметры уравнения показательной кривой.

Например, необходимо выравнять динамический ряд производства яиц на птицефабрике за 2006 – 2010 гг. по способу показательной кривой. Вспомогательные расчеты по выравниванию ряда приведены в табл. 9.10.

Значения параметров уравнения показательной кривой определим следующим образом:

Следовательно, уравнение показателей кривой, характеризующей общую тенденцию уровней выровненного динамического ряда, можно представить в виде:

(9.30)

Т а б л и ц а 9.10. Аналитическое выравнивание производства яиц

На птицефабрике

Показатели	Символы	2006г.	2007г.	2008г.	2009г.	2010г.	Итого
Производство яиц, млн. шт.	У	4,2	5,7	6,7	8,1	9,5	ΣУ=34,2
Логарифмы уровней динамического ряда		0,6232	0,7559	0,8261	0,9031	0,9777
Порядковый номер уровней ряда	n						n=5
Отклонение порядкового номера уровня от среднего номера	t	-2	-1				Σt=0
Квадрат отклонения	t2						Σt2=10
Произведение значений	t gУ	-1,2464	-0,7559		0,9031	1,9554	Σt gУ= =0,8562
Логарифм уровней выровненного ряда		0,6460	0,7316	0,8172	0,9028	0,9884	-
Выровненный ряд производства яиц, млн. шт.		4,43	5,39	6,56	7,99	9,74	=34,2

Подставляя в это уравнение значение отклонений t и логарифмируя его, нетрудно определить уровни выравненного ряда динамики производства яиц на птицефабрике; например, млн. шт.; млн. шт. и т.д.

Аналитическое выравнивание по показательной кривой может найти широкое применение при статистическом прогнозировании многих показателей.

Аналитическое выравнивание по параболе второго порядка

Если изучаемый динамический ряд характеризуется положительными абсолютными приростами, с ускорением развития уровней, то выравнивание ряда может быть проведено по параболе второго порядка.

По ней рассчитывают теоретические траектории движения артиллерийских снарядов, баллистических ракет, искусственных спутников и др.

Уравнение параболы второго порядка имеет следующий вид:

(9.31)

где: – выровненное значение уровней динамического ряда; t – периоды или моменты времени, к которым относятся уровни; а, в, с – параметры уравнения (искомой параболы), которые следует определить.

Положив в основу вычисления параметров а, в, с способ наименьших квадратов, получим следующую систему нормальных уравнений:

Приняв срединный уровень ряда условно за начальный, будем иметь Σt=0; Σt³=0, а систему уравнений можно привести к упрощенному виду:

Из этих уравнений можно найти параметры а, в, с, которые в общем виде выразятся следующим образом:

Отсюда видно, что для определения параметров а, в, с необходимо рассчитать следующие значения:

Выравнивание динамического ряда по параболе второго порядка покажем на примере изменения объема травяной муки (табл. 9.11).

Т а б л и ц а 9.11.Аналитическое выравнивание поставки травяной